几种有理插值函数的逼近性质

1　引　　言在曲线和曲面设计中,样条插值是有用的和强有力的工具.不少作者已经研究了很多种类型的样条插值[1,2,3,4].近些年来,有理插值样条,特别是三次有理插值样条,以及它们在外型控制中的应用,已有了不少工作[5,6,7].有理插值样条的表达式中有某些参数,正是由于这些参数,有理插值样条在外型控制中充分显示了它的灵活性;但也正是由于这些参数,使它的逼近性质的研究增加了困难.因此,关于有理插值样条的逼近性质的研究很少见诸文献.本文在第二节首先叙述几种典型的有理插值样条,其中包括分母为一次、二次的三次有理插值样条和仅基于函数值…     

一类缺插值样条的分析方法

本文讨论一类缺插值样条的一种分析方法,它的基本思想,来自[1]中对五次样条的一些讨论. 作者运用这种方法已对一类特殊的三次样条和七次样条以及下文中要讨论的五次、11次样条进行了分析,发现这类样条都可以通过预定的、有限的步骤获得它们的一些渐近式、逼近度及饱和度的结果.从结果看,它们的这些性质是那样的相似,可以说它们是这类缺插值样条的本质特征. 本文从五次缺插值样条开始,在§1中给出它的一些新的结果.     

样条函数的渐近展开

本文通过Hermite插值样条和H-B插值样条的渐近展开,给出了几类样条的渐近展开。作为特例,很容易导出二次、三次插值样条的渐近展开。本文的方法有普遍的适用性,可用来导出各种样条的渐近展开。     

四次插值样条的逐项渐近展式及其叠样条格式

1 引言和辅助引理 关于样条插值的渐近展开,目前已有许多工作,这些工作主要限于周期样条插值和基样条(cardinal spline)插值情形,它们不仅给出了插值误差的渐近展开,而且获得了逐项渐近展开。对于实际中应用最多的有限区间上的样条插值的渐近展开问题,由于受端点条件的影响,呈现十分复杂的局面。目前的工作只是获得了渐近展开结果,并未获得逐项渐近展开,且主要针对二、三次这类低次样条插值情形,考虑高次样条有良好的逼近性质,特别是其中四、五次样条插值在实际应用中被广泛采用,本文致力于研究四次样条插值问题,获得了其误差     

第二类三次样条插值的渐近展开

[1]中详细讨论了一类样条插值的渐近展开问题,并且指出,使用[1]中方法导不出第二类三次样条插值的渐近展开式.本文绘出第二类三次样条插值的一项渐近展开式. 下面引进一些记号:     

非零角点扭矢对双三次零插值样条的误差估计

关于二维样条函数的理论,自1962年 C.de Boor提出了双三次插值样条以来,由于它实际应用日益广泛,已有了很大的发展.本文推广了关于一维自然三次插值样条的误差估计的有关结果,获得了关于非零角点扭矢对双三次零插值样条的误差估计式.     

一种保形C~1三次样条插值方法

本文得到了构造一个保形Ｃ１三次插值样条函数的充要条件，并给出了一种构造保形Ｃ１三次插值样条函数的方法．     

亏度为2的四次插值样条(Ⅰ)

在[1]中考虑了亏度为3的五次插值样条.郭竹瑞考虑了两类亏度为2的三次插值样条.本文的目的是考虑三类(分别记为Ⅰs,Ⅱs,Ⅲs)亏度为2的四次插值样条.本文利用多项式HB插值问题与Spline HB插值问题的密切联系,并以前者为基础,证明了Ⅰs—Ⅲs插值样条的存在唯一.结果表明,Ⅰs—Ⅲs插值法(整体属于c~2[a,b]的四次插值样     

一类带参数的有理三次三角Hermite插值样条

给出一种带有参数的有理三次三角Hermite插值样条,具有标准三次Hermite插值样条相似的性质.利用参数的不同取值不但可以调控插值曲线的形状,而且比标准三次Hermite插值样条更好地逼近被插曲线.此外,选择合适的控制点,该种插值样条可以精确表示星形线和四叶玫瑰线等超越曲线.     

复样条函数

本文主要是把复样条插值化为等价的实样条插值,在此基础上解决了复二次及复三次样条函数的插值问题(存在性、唯一性),它们的节点都是随意分布的.     

关于三次样条插值及其各阶导数的L~2误差的最佳先验界

随着样条函数的广泛应用和深入研究,三次样条插值误差的估计,在实用和理论上都具有重大的意义。本文首先给出Ⅰ型三次样条(一维与二维)的L~2误差估计,是文[1]相应部分的改进。然后证明所得结论是最佳先验界。进而把上述结果推广到Ⅲ型和Ⅳ型三次样条;最后还对Ⅲ型与Ⅳ型样条给出三阶导数误差的最佳先验界。     

关于三次插值样条函数的局部性质

近年来,三次插值样条函数的局部性质,受到了人们的注意,翁祖荫考察了在一般边界条件下三次插值样条的局部逼近性质及插值样条导数的局部界值,不过他对于分     

满足一般端点条件的二次和三次插值样条

本文在等距分划的情况下,得出了一般端点条件下二次和三次插值样条存在唯一的充要条件,并讨论了插值样条的适定性问题。     

关于混合插值样条

本文中我们提出一类特殊的H-B插值问题,即所谓混合插值.我们首先讨论五次样条,它是将Meir和Sharma的缺插值样条中的二阶导数的逐点插值换成一阶导数与二阶导数的交替插值.然后又讨论了三次样条,将[3]中讨论的(p)型插值改成一阶导数及函数值本身在节点处的交替插值.我们研究了这两类样条的存在、唯一性,并得到了它     

三个方向的网上的二元样条插值

对于三个方向的正规剖分,C.K.Chui和R.H.Wang曾系统地研究了三次和四次样条空间的维数和基底。本文的目的是探讨样条插值问题。由于二元样条函数空间基底构造的复条性,实现二元样条插值要比一元情形困难得多。因此寻求二元样条插值的适定条件和给出有效的计算方法是有意义的。     

二次箱样条空间中的零样条

本文讨论了全平面上三次箱样条空间中的零样条结构、符号特征,并给出了利用零样条构造插值基样条的方法。     

可调形三次三角Cardinal插值样条曲线

在三次Cardinal插值样条曲线的基础上,引入了三角函数多项式,得到一组带调形参数的三次三角Cardinal样条基函数,以此构造一种可调形的三次三角Cardinal插值样条曲线.该插值样条可以精确表示直线、圆弧、椭圆以及自由曲线,改变调形参数可以调控插值曲线的形状.该插值样条避免了使用有理形式,其表达式较为简洁,计算量也相对较少,从而为多种线段的构造与处理提供了一种通用与简便的方法.     

Ⅱ型三角剖分上一类C2-连续的三次样条插值与逼近

本文研究矩形区域在Ⅱ-型三角剖分下二元三次样条的C2-连续的插值问题.首先给出了一类具有C2-连续的二元三次样条插值格式,然后证明了分片样条的存在性与唯-性,并给出了它的表达式和逼近度.     

一类三次插值样条的余项估计

当p=α=1时,s(f,x)是通常的三次Hermite插值样条.[2,3]中的插值样条部是上述的特殊情形,本文给出了上述一般插值样条的较精确的逼近度,从中可见[2,3]中的插值样条正好都处在收敛性的临界情形.我们在讨论中利用了王兴华的基本工     

奇次周期样条插值的渐近式及其超收敛性

本文考虑了奇次周期样条插值,给出了插值样条及其导数的渐近展开,并由此求得样条插值及其导数的超收敛点.数值结果与理论相符。 设△为〔a,b〕的一个等距分划