Elastic-plastic stress distribution in a rotating solid shaft

Based on Tresca's yield condition and the associated flow rule, the stress distribution in a rotating solid cylinder of elastic-perfectly plastic material under plane strain is discussed. It is shown that the plastic core consists of two parts with different regimes of the yield condition. With increasing angular velocity, a second plastic zone forms at the boundary and spreads inwards.

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Zusammenfassung Untersucht wird die Spannungsverteilung in einem rotierenden Zylinder aus elastisch-ideal-plastischem Material unter der Voraussetzung des ebenen Verzerrungszustandes. Zugrundegelegt ist die Trescasche Fließbedingung und die zugeordnete Fließregel. Der plastische Kern besteht aus zwei Teilen mit unterschiedlichen Regimes der Fließbedingung. Bei Steigerung der Winkelgeschwindigkeit bildet sich am Rand eine zweite Fließzone aus, die nach innen wandert.

     

Instability of a half-space with frictional materials

The instability of an initially compressed half-space which consists of dilatant frictional materials is examined. It is assumed that the material response is governed by elastoplastic constitutive relations that include plastic compressibility (or dilatancy) and frictional effects, and hence involves a nonassociative flow rule. Stability limits are established, and it is shown that (unlike for elastic materials) for this class of materials folding by surface instability can be initiated at compressive forces that are considerably smaller than the initial shear modulus. The results are illustrated in terms of some published data on certain sandstones.

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Zusammenfassung Die Instabilität eines zusammengedrückten Halbraumes aus kompressiblem Material mit Reibung wird untersucht. Das Material soll elastisch plastischen Stoffgleichungen mit plastischer Kompressibilität und Reibungseffekten genügen. Die Fließregel ist demzufolge nicht jene des plastischen Potentials. Die Stabilitätsgrenzen sind aufgeteilt, und es wird gezeigt, daß im Gegensatz zu elastischen Materialien die Deformation infolge der Oberflächeninstabilität für das vorliegende Stoffverhalten schon bei Druckspannungen entsteht, welche im Vergleich zum Anfangswert des Schubmodulus viel kleiner sind. Die Resultate sind mit Hilfe von bereits publizierten Kennwerten von gewissen Sandsteinen numerisch ausgewertet.

     

Second-order effects in problems for a class of elastic materials

For a special class of elastic materials, the inverse deformation is always possible in the same material. This result is used to simplify the determination of second-order effects in problems for this special class. The second-order solution for indentation of a half-space by a smooth rigid sphere is determined. For indentation by a flat-ended circular punch it is found that the second-order solution for compressible materials is physically inadmissible, while the solution for incompressible materials involves a concentrated line load at the edge of the punch. A rigid spherical inclusion embedded in an elastic matrix with uniform stresses at infinity is considered, and the interface stresses are found to second order.

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Zusammenfassung Für seine Sonderklasse von elastischen Stoffen ist die inverse Verformung für das gleiche Material immer möglich. Dieses Resultat wird angewendet, um bei Problemen mit dieser Sonderklasse von Materialien die Ermittlung von Effekten zweiter Ordnung zu vereinfachen. Die Lösung zweiter Ordnung für das Kontaktproblem zwischen einem Halbraum einer glatten starren Kugel wird hergeleitet. Bei dem Kontaktproblem mit dem kreiszylindrischen starren Stempel findet man, daß die Lösung zweiter Ordnung mit kompressiblem Material physikalisch unzulässig ist, während für das inkompressible Material am Rand des Stempels eine konzentrierte Linienlast entsteht. Schließlich wird eine starre kugelförmige Inklusion betrachtet, welche in einer elastischen Matrix mit gleichförmig verteilten Spannungen im Unendlichen eingebettet ist. Die Spannungen am Rand der Inklusion werden bis zur zweiten Ordnung hergeleitet.

     

Plastic behavior of copper under impulsive heating

Zusammenfassung Es wird eine Methode zur Bestimmung der dynamischen Fließspannung in Abhängigkeit von der Temperatur beschrieben. Stossartig erzeugte Elektronenstrahlen werden benutzt, welche simultan Wärme und Stossenergie produzieren. Dabei wird kein hydrodynamisches Modell für das Material benützt. Die Methode wird auf die Bestimmung der Abhängigkeit von Fließspannung und Temperatur für Kupfer angewandt.     

A constitutive restriction related to convexity of yield surfaces in plasticity

Summary An implication of the work assumption of Naghdi and Trapp is established for finitely deforming elastic-plastic materials. For a special class of materials, for which the plastic strain rate is normal to the yield surface in stress space, the result ensures convexity of the latter yield surface.

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Zusammenfassung Unter der Voraussetzung der Arbeits-Hypothese von Naghdi und Trapp wird für endlich deformierbares elastisch-plastisches Material eine Konsequenz gezogen.Danach wird eine spezielle Klasse von Materialien betrachtet, für die die plastische Dehnungsrate senkrecht auf eine Fläche gerichtet ist. Diese Fläche umschließt den elastischen Bereich der sechsdimensionalen räumlichen Spannungen. Das Ergebnis zeigt, daß diese Konsequenz eine Konvexität dieser Fläche garantiert.

     

The shrink fit with fully plasticized hub rotating with supercritical angular speed

Based on Tresca's yield condition and the associated flow rule, the stress distribution in the fully plasticized hub of a shrink fit rotating with supercritical angular speed is discussed. It is shown that the plasticized hub consists of two parts governed by different regimes of the yield condition. At the inwards moving border separating these parts, the image points in the stress plane migrate from one side-regime through the corner into the adjacent side-regime of the Tresca hexagon. The problem is solved in closed form.

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Zusammenfassung Untersucht wird die Spannungsverteilung in der vollplastizierten Nabe eines Querpreßverbandes, welcher mit überkritischer Winkelgeschwindigkeit rotiert. Zugrundegelegt ist die Trescasche Fließbedingung und die zugehörige Fließregel. Die plastizierte Nabe besteht aus zwei Bereichen, in denen verschiedene Regime der Fließbedingung maßgebend sind. An der sich nach innen bewegenden Grenze zwischen diesen Bereichen wandern die Spannungsbildpunkte in der Spannungsebene von einem Seitenregime durch die Ecke in das benachbarte Seitenregime des Tresca-Sechsecks. Die Lösung liegt in geschlossener Form vor.

     

Thermal stress in an elastic-plastic disk exposed to a circular heat source

Based on Tresca's yield condition and the associated flow rule, the stress distribution in a circular disk of elastic-perfectly plastic material exposed to a circular heat source is discussed. After a certain time of exposure, stress image points of the plastic region migrate from one side regime through a corner to another side regime of the Tresca hexagon.

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Zusammenfassung Untersucht wird die Spannungsverteilung in einer elastisch-idealplastischen Kreisscheibe zufolge einer ringförmigen Wärmequelle. Zugrundegelegt ist die Trescasche Fließbedingung nebst zugeordneter Fließregel. Nach einer gewissen Erhitzungsdauer wandern Spannungsbildpunkte des plastischen Bereichs von einem Seitenregime durch die Ecke in ein anderes Seitenregime des TrescaSechsecks.

     

On a class of solutions in plane finite elasticity

Zusammenfassung Es werden endliche elastische Deformationen bei ebenen Verzerrungszuständen betrachtet, in welchen die Spannungen nur vom Azimut abhängen. Der allgemeine Charakter der Deformationen wird für inkompressible isotrope Materialien diskutiert; insbesondere werden zwei partikuläre Lösungen aufgestellt, die für alle Formen der Verzerrungsenergie gültig sind. Die Lösungen der ersten Klasse sind die erwarteten homogenen Deformationen, während diejenigen der zweiten Klasse in rotatorischen, von einem einzigen Parameter abhängigen Verformungen bestehen. Es wird die Lösung von Randwertproblemen für die Spannungen bei keilförmigen Gebieten im einzelnen für ein Mooney-Material untersucht und dabei gezeigt, dass gewisse besondere Eigenschaften der infinitesimalen Theorie auch in der nichtlinearen auftreten.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National Science Foundation.     

A shell of constant strength

Zusammenfassung Die Membranschalen gleicher Festigkeit können durch die Bedingung definiert werden, dass beide Hauptspannungen in jedem Punkt gleich der Fließspannung sind. In dieser Arbeit wird, unter benutzung dieser Bedingung, die Dicke und die Meridianform einer Membranschale gleicher Festigkeit, die eine in der Horizontalebene gleichmässig verteilte Lastq ₀ hat, bestimmt.     

A boundary-layer in an elastico-viscous fluid

Zusammenfassung Die Prandtlsche Grenzschichttheorie wird verallgemeinert, so dass sie die Nollschen «einfachen Flüssigkeiten» erfasst. Es wird bewiesen, dass bei Flüssigkeiten mit geringem «Erinnerungsvermögen» die in der Grenzschicht vorhandenen Spannungen denjenigen ähnlich sind, welche bei einer einfachen Schubbeanspruchung vorkommen.     

Stress singularity at a sharp edge in contact problems with friction

The paper discusses the nature of the singularity that arises at a sharp edge in contact problems with friction. The theoretical treatment is based on the Mellin transform of the elastic fields. The results regarding the power singularities confirm the previous work of Gdoutos and Theocaris, but it is shown that logarithmic singularities are always present. Some experimental observations in photoelasticity are also presented.

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Zusammenfassung Die Art der Spannungssingularität, die an einer scharfen Ecke in Berührungsproblemen erscheint, ist für den Fall mit Reibung untersucht. Die theoretische Behandlung stützt sich auf die Mellin-Transformation der elastischen Felder. Die Ergebnisse bezüglich der Potenzsingularitäten bestätigen die früheren Resultate von Gdoutos und Theocaris. Es wird jedoch gezeigt, daß logarithmische Singularitäten stets anwesend sind. Auch einige Beobachtungen von photoelastischen Versuchen sind dargestellt.

     

The generalized plane strain of an elasto-plastic material

Zusammenfassung Unter der Voraussetzung, dass der hydrostatische Druck nicht gross ist, tritt die Hauptspannung normal zur Ebene des verallgemeinerten ebenen Verzerrungszustandes in der Fliessbedingung vonTresca nicht auf. Man kann zeigen, dass die Spannungs- und Geschwindigkeitsgleichungen für ein elastisch-ideal-plastisches Material hyperbolisch sind, wobei die beiden Charakteristikenscharen paarweise koinzident sind. Die auf die Charakteristiken bezogenen Gleichungen unterscheiden sich von denjenigen des starr-plastischen Materials nur durch die Gegenwart von vier Zusatztermen in jeder der Geiringer-Gleichungen.Für ein Material mit Verfestigung werden nur kleine Spannungen berücksichtigt, und es wird angenommen, dass die Gleichungen zwischen den Spannungen und den Gesamtdehnungen verwendet werden können. Unter diesen Voraussetzungen werden die Gleichungen für die Spannungen und Verschiebungen elliptisch. Da alle Ableitungen stetig sind, existiert im plastischen Bereich eine Airysche Spannungsfunktion samt speziellen Ableitungen aller Ordnungen, und es kann gezeigt werden, dass sie einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung genügt. Für einige einfache Probleme, bei denen die abhängigen Veränderlichen nur Funktionen einer der beiden unabhängigen Variablen sind, werden die Lösungen angegeben.Der Einfluss von Temperaturschwankungen kann sowohl bei idealplastischen Materialien wie auch bei solchen mit Verfestigung mitberücksichtigt werden.     

Study of cylindrical piston problem in water using P-L-K method

Zusammenfassung Die in ruhendem Wasser durch die gleichförmige Ausdehnung eines Zylinderkolbens (Anfangsradius null) verursachten Druckwellen werden hier bei kleiner Machzahl nach der P-L-K-Methode untersucht. Es wird gezeigt, dass die Stoßstärke mit der vierten Potenz von der Kolbenmachzahl abhängt.     

Grundprobleme der Thermomechanik

Zusammenfassung In der Kontinuumsmechanik gilt das Energieprinzip in Form des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik. Umgekehrt ist die feldtheoretische Formulierung der Thermodynamik ohne kontinuumsmechanische Begriffe nicht möglich. Die beiden Gebiete lassen sich im allgemeinen nicht trennen, sondern verlangen eine geschlossene Behandlung, die zweckmässig als Thermomechanik bezeichnet wird.Bei der Aufstellung dieser geschlossenen Theorie zeigt es sich, dass man den Spannungstensor zweckmässig in einen quasikonservativen und einen dissipativen Teil aufspaltet. Der erste ist für reversible Vorgänge charakteristisch und wird durch die freie Energie bestimmt; der zweite tritt bei irreversiblen Prozessen auf. Das Fehlen gyroskopischer Spannungen in der klassischen Thermodynamik deutet darauf hin, dass sich die dissipativen Spannungen von der Dissipationsfunktion herleiten. Sie folgen dann bei elementaren Prozessen aus einer Orthogonalitätsbedingung, und das gleiche gilt für die ensprechenden Grössen beim Wärmestrom. Ferner bestehen gute Gründe für die Annahme eines allgemeineren Orthogonalitätsprinzips bei zusammengesetzten Prozessen. Akzeptiert man dieses Prinzip, dann werden die Stoffbeziehungen durch zwei skalare Funktonen völlig bestimmt: die freie Energie und die Dissipationsfunktion.

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In Continuum Mechanics the energy principle assumes the form of the first fundamental law of Thermodynamics. Conversely, the formulation of Thermodynamics as a field theory involves concepts of Continuum Mechanics. The two fields are generally inseparable; they require a unified treatment, properly denoted as Thermomechanics.In the process of establishing this unified theory one finds it convenient to decompose the stress tensor into the quasi-conservative stress, characteristic, for reversible processes and determined by the free energy, and the dissipative stress typical for irreversible processes. The absence of gyroscopic stresses in classical Thermodynamics suggests that the dissipative stresses are determined by the dissipation function. They then follow, at least in elementary processes, from an orthogonality condition, and the same is true for the corresponding quantities in heat flow. Moreover, there are strong reasons suggesting the validity of a more general orthogonality prinicple for complex processes. If one accepts this principle, the constitutive equations are entirely determined by two scalar functions: the free energy and the dissipation function.

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Herrn Professor Dr. Niklaus Rott zum 60. Geburtstag gewidmet.     

Boundary layer solutions for some nonlinear elastic membrane problems

Summary The method of matched asymptotic expansions is used to describe finite axisymmetric deformations of two thin elastic membrane problems: a circular membrane with a small radial traction at the edge, an annular membrane with a small circular hole at the center. In both problems, the surface load is assumed to be an axial pressure. There is a boundary layer at the outer edge in the first problem, and at the hole in the second problem.

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Zusammenfassung Mit Hilfe der in der singulären Störungsrechnung benutzten Methode einer inneren und äußeren asymptotischen Entwicklung werden endliche, axialsymmetrische Deformationen bei zwei Membranproblemen beschrieben: eine dünne elastische Kreismembran mit kleiner radialer Zugspannung am Rande, und eine Kreisringmembran mit einem kleinen konzentrischen Loch. In beiden Problemen wird die Belastung als ein axial gerichteter Oberflächendruck angenommen. Im ersten Problem zeigt die Lösung am äußeren Rand Grenzschichtverhalten, welches im zweiten Problem am Lochrand vorliegt.

     

Corner stresses in an elastic wedge bonded to a rigid wall

Zusammenfassung Es wird das Problem eines elastischen Keils behandelt, der an einem starren Fundament befestigt ist. Das Verhalten der Spannungen längs des starren Fundaments und nahe der Keilspitze wird für eine Reihe von spitzen Keilwinkeln ausgewertet. Die Ergebnisse zeigen, dass kritische Keilwinkel und Poisson-Verhältnisse existieren, bei denen das Verhalten der Spannungen an der Spitze von einem singulären in ein nichtsinguläres übergeht.     

Boundary effects on granular shear flows of smooth disks

Summary We obtain boundary conditions for two-dimensional flows of identical, nearly elastic, circular disks that interact with a flat wall to which identical, evenly spaced half-disks have been attached. Expressions for the transfer of momentum and energy from the boundary to the flow are obtained by statistical averaging over all possible wall-flow disk collisions. We improve upon the expressions derived by Jenkins and Richman [1986] by employing in the averaging process a more elaborate velocity distribution function obtained through the method of moments. In addition we expand the distribution function about a point near the flat wall that guarantees positive slip velocities. With these boundary conditions, we analyze a two-dimensional shear flow driven by parallel bumpy boundaries. The constitutive theory employed includes both the effects of particle collisions and particle transport on the transfer of momentum and energy throughout the flow. We demonstrate how the resulting profiles of velocity, granular temperature, and solid fraction are affected by changes in the geometry of the boundary. We also predict how the induced stresses vary with the geometry of the boundary and the average solid fraction within the flow.

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Zusammenfassung Wir erhalten die Randbedingungen für die zweidimensionale Strömung identischer, beinahe elastischer, runder Scheiben, die sich in Wechselwirkung mit einer geraden Wand befinden, an der in gleichmäßigen Abständen Halbscheiben angebracht sind. Es werden Ausdrücke für die Übertragung von Impuls und Energie vom Rand auf den Strom aufgestellt, die durch den statisch errechneten Durchschnitt aller möglichen Scheibenkollisionen Wand-Strom erhalten werden. Wir verbessern die von Jenkins und Richman (1986) entwickelten Ausdrücke dadurch, daß bei der Berechnung der Mittelwerte eine erweiterte Geschwindigkeitsverteilung, die auf der Momentmethode beruht, einbezogen wurde. Außerdem entwickeln wir die Verteilungsfunktion an einem Punkt so nahe an der Wand, daß positive Gleitgeschwindigkeiten garantiert sind. Wir untersuchen eine zweidimensionale Scherströmung mit diesen Randbedingungen, die durch die parallelen unebenen Ränder getrieben wird. Die konstitutive Theorie, die wir anwenden, beinhaltet sowohl den Einfluß der Teilchenkollisionen als auch den des Teilchentransports auf die Übertragung von Impuls und Energie innerhalb der Strömung. Wir zeigen, wie die Profile der Geschwindigkeit, der Granu-lartemperatur und des Festkörperanteils, die sich ergeben, durch Veränderungen der Randgeometrie beeinflußt werden. Weiterhin können wir voraussagen, wie die erzeugten Spannungen sich mit der Randgeometrie und dem im Strom enthaltenen Festkörperanteil verändern.

     

Zur Theorie der viskoplastischen Stoffe

Zusammenfassung Für viskoplastische Stoffe wird eine modifizierte Stoffgleichung der bekannten Ansätze von Perzyna [1] vorgeschlagen. Mit dieser Stoffgleichung gelingt es bei relativ langsam viskoplastischem Fließen die Eindeutigkeit der Lösungen nachzuweisen und zwei Extremalprinzipe anzugeben, die es gestatten, den wirklichen Spannungs- und Verzerrungsgeschwindigkeitszustand einzuschränken.

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Summary A modified form of the well-known equations from Perzyna [1] for viscoplastic material is presented. With these modified equations, one can prove the uniqueness of the solution and derive extremum principles for the problems having slow viscoplastic flow. Using these extremum principles, the upper and lower bounds for the actual stresses and the rate of change of strains can be given.

     

On the stability of finitely deformed elastic membranes

Zusammenfassung Die Arbeit befaßt sich mit einigen Stabilitätsproblemen bei elastischen Membranen unter endlichen Deformationen und konservativer Belastung. Im Teil I wird die Änderung der Verzögerungsenergie diskutiert, hervorgerufen durch eine kleine der endlichen Anfangsverformung übergelagerten Deformation. Im Hinblick auf spätere numerische Anwendungen folgt die Herleitung von empirischen Formänderungsfunktionen aus experimentellen Resultaten von Treloar für vulkanisierte Gummimembranen. Für ein Blatt unter gleichmäßigem Zug wird die Stabilität bei fehlender Belastung oder bei eingespanntem Rand untersucht.     

Elastic field of a deforming circular inclusion in an infinite strip

Present investigation analyzes the problem of an infinite elastic strip having a symmetrically situated circular inclusion which tends to undergo a spontaneous physical change. In the case when the straight edges of the strip are assumed traction free, the consequent elastic fields both in the inclusion and the strip are determined with the aid of complex variable technique. Expressions for complex potentials and stress components are derived in the form of infinite integrals. Numerical values of stress are computed in some cases of interest.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das Problem eines unendlichen elastischen Streifens untersucht, mit einer symmetrisch angeordneten kreisförmigen Einlage, an der plötzlich eine physikalische Änderung aufgeprägt wird. Für den Fall, daß die geraden Begrenzungen des Streifens spannungsfrei sind, werden die elastischen Felder sowohl in der Einlage als auch im Streifen berechnet. Ausdrücke für das komplexe Potential und für die Spannungskomponenten werden in Form von unendlichen Integralen angegeben. Numerische Werte von Spannungen werden für einige Fälle berechnet.