一道数学竞赛题的解答和拓展

<正>~~     

三解一道竞赛题

题目已知α为锐角,求证：1/sinα＋3√3/cosα≥8.     

一道竞赛题的巧解与思考

原解 简称这种数为“好数”,则一位好数有3个;两位好数有3&#215;4=12个;三位好数有3&#215;4^2=48个;…,k位好数有3&#215;4^k-1个;k=1,2,…,记Sn=3∑n k=1 4^k-1,因S5〈2007〈S6,2007-S5=984,     

一道女子奥赛题的多种证法

<正>如图1,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,延长O1A交⊙O2于点C,延长O2A交⊙O1于点D,过点B作BE∥O2A交⊙O1于点E,若DE∥O1A,求证:DC⊥CO2.这是2014年中国女子数学奥赛第一题,笔者从多角度来添设辅助线证明本题,供同学们参考.证法一如图1,分别连接DB、O1O2、AB,延长EB交⊙O2于H,连接AH.∵∠ABH=∠EDA=∠O1AO2=∠DAB,     

一道竞赛题及其推广形式的另解

针对第67届（2006年）美国大学生数学竞赛题中的一道求最大值的问题及其推广形式,从泛函的视角,给出另一种解法．     

也解一道竞赛题

2008年全国高中数学联赛吉林省预赛最后一题：正数a．b,c满足2a＋4b＋7c≤2abc,求a＋b＋c的最小值． 正如文[1]所言,此题的难度非常大．笔者也有同感．所谓“难度非常大”可以理解为这个不等式证明的“技巧性相当的大、灵感要求也相当的高”．这就是不等式的特点,特别是数学竞赛的不等式试题．     

一道高等数学竞赛题的一题多解

陕西省第四次高等数学竞赛 (初赛 ) ( 2 0 0 1年 9月 )有这样一道选择题 :已知limx→ 0x2 f ( x) +cosx-1x4 =0 ,则limx→ 02 f ( x) -12 x2 =(　　 )( A) 0　　 ( B) -12 4　　 ( C)不存在　　 ( D) 11 2下面给出这道题的三种解法 ,希望对读者能有所启发。解 1　选 ( B)。由cosx=1 -12 x2 +x44!+0 ( x4 )得0 =limx→ 0x2 f ( x) +cosx -1x4 =limx→ 0x2 f ( x) -12 x2 +x44!+0 ( x4 )x4 =limx→ 0 (f ( x) -12x2 +14 !+0 ( x4 )x4 ) =limx→ 0f ( x) -12x2 +12 4所以　　　　　　　 limx→ 02 f ( x) -12 x2 =-12 4评注　利用 cosx的带 …     

一道竞赛题的另解

试题在△ABC中,∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分线,求证:BC=AC+AD.该试题是2012年四川初二数学竞赛(初赛)试题,所给参考答案如下:图2如图2,将A沿CD反射到BC上得A′,则∠CA′D=∠A=2∠B=∠B+∠A′DB,故∠B=∠A′DB,AD=A′D=A′B,故BC=A′C+A′B=AC+AD.在老师的指导下,我得到了该试题的另外2种漂亮解答,如下:另解1如图3,延长BA至E使AE=AC,连结,因为     

解一道竞赛题的思维历程

1．问题呈现 题目：若不等式√x＋√y≤k√2x＋y对于任意正实数x,y成立,求k的取值范围。 这是2009年全国高中数学联赛江苏初赛第13题,本文将以该题为对象再现笔者真实的解题思维历程,为大家提供一个可供借鉴的实践性解题案例．     

一道竞赛题的新简解与关联分析

2011年中国西部数学奥林匹克竞赛第1题为：     

一道圆锥曲线上四点共圆高考题的探析

圆锥曲线上四点共圆问题是高考常见考点,从2021年的一道高考题入手,对这一问题进行再研究,得出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件,并用直线的参数方程法对圆锥曲线上四点共圆进行证明.     

解一道竞赛题的意外收获

题目：在△ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN—BM,连AN、CM交于P点．试求么APM的度数,并写出你的推理证明的过程．（1993年北京市数学竞赛初二复赛题）     

一道竞赛题的推广

20 0 1年全国高中数学联赛题 5为 :若 (1+ｘ +ｘ2 ) 10 0 0 的展开式为ａ0 +ａ1ｘ +ａ2 ｘ2 +… +ａ2 0 0 0·ｘ2 0 0 0 ,则ａ0 +ａ3+ａ6 +ａ9+… +ａ1998的值为 (　　 )(Ａ) 3333.　　　 (Ｂ) 36 6 6 .(Ｃ) 3999. (Ｄ) 32 0 0 1.该题构思巧妙 ,解法灵活 ,可谓独具匠心 .笔者经研究发现 ,此处ａ1+ａ4 +ａ7+… +ａ1999=ａ2 +ａ5+ａ8+… +ａ2 0 0 0 =3999,因此 ,此题结论可以推广 .推广 1　设 (1+ｘ +ｘ2 ) ｎ(ｎ∈Ｎ)的展开式中 ,指数能被 3整除的项的系数和为Ａｎ,除以 3余 1的项的系数和为Ｂｎ,除以 3余 2的项的系数和为Ｃｎ,则Ａｎ=Ｂｎ=…