运动稳定性的研究进展和趋势

本文概述运动稳定性学科在力学系统、控制系统、大系统、冲击系统、不确定系统以及一般理论等方面的研究进展和趋势。      

对加速度能量物理意义的探讨

从牛顿运动定律出发,得到力学系统加速度能定理的两种表述,阐明了加速度能量的物理意义,证明了系统加速度能定理两种表述的等价性,并指出系统加速度能量的一种可能的计算方法．     

论长期稳定性和动力稳定性

根据Lejeune-Dirichlet定理,力学系统处于静平衡情形的稳定的充要条件是系统的势能在平衡位置具有极小值。对于旋转的力学系统(机械系统或液体系统)就不象这样简单了。早在100年前Thomson和Tait就指出了旋转力学系统具有长期稳定性(secular stability)和动力稳定性(dynamiC stability)的重要差别。对于旋转液体星准稳演化过程到底按哪一种稳定性判断,是一个争论近百年的问题。在本世纪50年代以前,Thomson,Tait,Poincare,Liapounoff,Darwin,Teans和Lamb等,主张“长期稳定是真实的稳定”,“是天体演化学唯一感兴趣的稳定”。基于这种观点建立的Jeans-Darwin双星分裂理论曾      

我国运动稳定性研究的新进展

综述了近年来我国运动稳定性(包括力学系统、控制系统、人口系统、生态系统和大系统的稳定性)及其一般理论的研究进展。      

变质量可控力学系统中的Nielsen算子和Euler算子

1.引言变质量的非完整系统动力学和可控系统动力学是非完整系统力学的重要专题,变质量可控力学系统的研究也引起了人们的注意,本文将分析力学中有关Nielsen算子和Euler算子的结果推广到变质量可控力学系统,得到的主要理论结果是(3.1)和(3.2)式,     

Nabla导数下Hamilton系统的约化

提出并研究nabla导数下Hamilton系统的约化问题.依据nabla导数下力学系统的Hamilton原理,建立Hamilton系统的正则方程,给出系统的能量积分和循环积分;并利用这些积分,约化系统的Hamilton正则方程.结果表明:约化后的方程仍保持系统的Hamilton正则方程形式,Nabla导数下力学系统的约化理论是连续和离散力学系统的约化理论的统一和拓展.文中讨论了时间尺度等于实数集和整数集两种特殊情形下Hamilton系统的约化,并举例说明了结果的应用.     

有约束阻尼的非保守力学系统的稳定性

利用Ｌｙａｐｕｎｏｖ直接法，研究了有势力、陀螺力、Ｒａｙｌｅｉｇｈ阻尼和约束阻尼同时作用的非线性非保守力学系统的稳定性．假设陀螺力依赖某参数ｈ，得到系统渐近稳定的两个定理．     

相空间中非保守系统的Herglotz广义变分原理及其Noether定理

与经典变分原理相比,基于由微分方程定义的作用量的Herglotz广义变分原理给出了非保守动力学系统的一个变分描述,它不仅能够描述所有采用经典变分原理能够描述的动力学过程,而且能够应用于经典变分原理不能适用的非保守或耗散系统.将Herglotz广义变分原理拓展到相空间,研究相空间中非保守力学系统的Herglotz广义变分原理与Noether定理及其逆定理.首先,提出相空间中Herglotz广义变分原理,给出相空间中非保守系统的变分描述,导出相应的Hamilton正则方程;其次,基于非等时变分与等时变分之间的关系,导出相空间中Hamilton-Herglotz作用量变分的两个基本公式;再次,给出Noether对称变换的定义和判据,提出并证明相空间中非保守系统基于Herglotz变分问题的Noether定理及其逆定理,揭示了相空间中力学系统的Noether对称性与守恒量之间的内在联系.在经典条件下,Herglotz广义变分原理退化为经典变分原理,与之相应的相空间中的Noether定理退化为经典Hamilton系统的Noether定理.文末以著名的Emden方程和平方阻尼振子为例说明上述方法和结果的有效性.     

变质量可控力学系统的Gauss原理和Appell方程

力学系统的运动依赖于力和约束,人们可以借助于力来控制运动(称为动力学控制),也可以借助于约束来控制运动(称为运动学控制)。我们研究一类力学系统,它的约束依赖于某些控制参数。得到可控力学系统的Lagrange方程、Hamilton方程和AppelI方程,用Gauss原理导出一阶非线性非完整系统广义坐标下的Appell 方程。本文考虑非线性非完整系统,导出了变质量可控力学系统在广义坐标和准坐标下的Gauss原理及Appell方程,最后举例说明其应用。本文主要结果是(1.5),(1.6),(1.20),(2.1),(3.13)及(3.14)。     

变质量完整力学系统的Hojman守恒量

研究完整力学系统由Noether对称性导致的Hojman守恒量．列写系统的运动微分方程；在时间不变的特殊无限小变换下，研究系统的Noether对称性与Lie对称性，给出Noether对称性为Lie对称性的条件；将Hojman定理推广至变质量系统，并举例说明结果的应用．     

力学系统的扩散运动及量子化

研究位形由扩散过程定义的力学系统．利用变分的路径计算给出系统广义坐标表示的动力学方程，该方程连同连续方程描述系统量子波动随时间演化的概率进程．文末的表示定理指出，在满足适当正规条件的扩散过程和Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ方程的解（波函数）之间存在一一对应关系     

非保守力学系统的Lie对称性和守恒量

本文讨论非保守力学系统的Ｌｉｅ对称性，给出由Ｌｉｅ对称性得到力学系统守恒量的条件，并给出了说明性的例子，在文章最后，还说明对于非保守系统，它的Ｎｏｅｔｈｅｒ对称性并不一定是其自身的Ｌｉｅ对称性。     

橡胶环直径方向受压大变形问题

本文基于变形梯度和分解定理(S-R定理)和拖带坐标描述法,应用有限元方法,计算了橡胶环直径方向受压接触大变形问题。并将结果与Durelli的实验进行了系统的比较,取得了令人满意的相符结果。表明了本程序在计算大变形问题时具有较高计算速度和精度之优点。     

用具有负定矩阵的梯度系统构造稳定的变质量力学系统

随着科学技术的发展,对喷气飞机、火箭等变质量系统动力学的研究显得越来越重要,并且总是希望变质量系统的解是稳定的或渐近稳定的.而通用的研究稳定性的Lyapunov直接法有很大难度,因为直接从微分方程出发构造Lyapunov函数往往很难实现.本文给出一种研究稳定性的间接方法,即梯度系统方法.该方法不但能揭示动力学系统的内在结构,而且有助于探索系统的稳定性、渐进性和分岔等动力学行为.梯度系统的函数V通常取为Lyapunov函数,因此梯度系统比较适合用Lyapunov函数来研究.列写出变质量完整力学系统的运动方程,在系统非奇异情形下,求得所有广义加速度.提出一类具有负定矩阵的梯度系统,并研究该梯度系统解的稳定性.把这类梯度系统和变质量力学系统有机结合,给出变质量力学系统的解可以是稳定的或渐近稳定的条件,进一步利用矩阵为负定非对称的梯度系统构造出一些解为稳定或渐近稳定的变质量力学系统.通过具体例子,研究了变质量系统的单自由度运动,在怎样的质量变化规律、微粒分离速度和加力下,其解是稳定的或渐近稳定的.本文的构造方法也适合其他类型的动力学系统.     

完整力学系统的共形不变性与守恒量

将Birkhoff方程的共形不变性和共形因子的概念拓展到完整力学系统,研究一般完整力学系统在无限小变换下的共形不变性与守恒量.给出了一般完整力学系统的共形不变性的定义和确定方程;研究了系统的Noether对称性与共形不变性之间的关系,研究表明,当Noether对称变换的生成元和非势广义力满足一定条件时,变换也是共形不变的,给出了相应的共形因子表达式,得到了一般完整力学系统的共形不变性直接导致的Noether守恒量;研究了系统的Lie对称性与共形不变性之间的关系,给出了与Lie对称性相应的无限小变换共形不变的充分必要条件,得到了一般完整力学系统的共形不变性直接导致的Lutzky守恒量.文中还举例说明结果的应用.     

时间尺度上Lagrange系统的Hojman守恒量

利用对称性和守恒律, 可以简化动力学问题甚至求解力学系统的精确解, 更好地理解其动力学行为. 时间尺度分析将连续和离散动力学模型统一并拓展到时间尺度框架, 既避免了重复研究又可揭示两者之区别和联系. 因此, 通过对称性来探寻在时间尺度的框架下新的守恒定律很有必要. 本文首先建立了时间尺度上Lagrange方程, 利用时间尺度微积分性质导出了时间尺度上Lagrange系统的两个重要关系式; 其次, 依据微分方程在单参数Lie变换群下的不变性, 建立了时间尺度上Lie对称性的定义和确定方程; 最后, 建立了时间尺度上Lie对称性定理并利用上述关系式给出了证明, 得到了时间尺度上Lagrange系统的新守恒量. 当时间尺度取为实数集时, 该守恒量退化为著名的Hojman守恒量. 文末考察了一个两自由度时间尺度Lagrange系统, 在3种不同时间尺度情形下得到了该系统的Hojman守恒量, 数值计算结果验证了定理的正确性.      

用具有负定矩阵的梯度系统构造稳定的变质量力学系统

随着科学技术的发展,对喷气飞机、火箭等变质量系统动力学的研究显得越来越重要, 并且总是希望变质量系统的解是稳定的或渐近稳定的. 而通用的研究稳定性的Lyapunov直接法有很大难度, 因为直接从微分方程出发构造Lyapunov函数往往很难实现. 本文给出一种研究稳定性的间接方法, 即梯度系统方法. 该方法不但能揭示动力学系统的内在结构, 而且有助于探索系统的稳定性、渐进性和分岔等动力学行为. 梯度系统的函数V通常取为Lyapunov函数, 因此梯度系统比较适合用Lyapunov函数来研究. 列写出变质量完整力学系统的运动方程,在系统非奇异情形下,求得所有广义加速度. 提出一类具有负定矩阵的梯度系统, 并研究该梯度系统解的稳定性. 把这类梯度系统和变质量力学系统有机结合,给出变质量力学系统的解可以是稳定的或渐近稳定的条件, 进一步利用矩阵为负定非对称的梯度系统构造出一些解为稳定或渐近稳定的变质量力学系统. 通过具体例子,研究了变质量系统的单自由度运动,在怎样的质量变化规律、微粒分离速度和加力下,其解是稳定的或渐近稳定的. 本文的构造方法也适合其它类型的动力学系统.      

一种新的形状灵敏度分析方法——具有两类变量的伴随方程法

本文将所考虑的问题视为具有两类独立变量的力学系统,通过建立具有两类变量的伴随系统方程,得到了定义在变化边界上的目标或约束泛函的敏度分析公式,由此建立了完全边界型的形状优化方法。     

关于运动稳定性理论研究进展

1.严格地说,任何一个力学和物理系统都有运动稳定性的问题。运动稳定性理论研究某些干扰作用对运动状态的影响,从而建立判别运动状态是稳定的或不稳定的法则。我们仅就第二方法(直接法)的某些发展及其应用作一个简单的介绍。19世纪末,由于生产技术的需要和数学、天体力学的发展,在Poincaré理论的基础上产生了的运动稳定性理论。它从理论上对运动稳定性问题作了严格的论证和系统的分析。其第二方法是定性的方法,由于它近年来在控制系统、陀螺力学、航空和宇宙飞行方面的广泛应用,受到越来越大的重视和进一步的研究。2.第二方法在严格的分析概念的基础上,建立了运动稳定性的基本定理,即稳定的定理、渐近稳定的定理和不稳定的定理等。设受扰运动微分方程可以化为正则形式:     

基于Herglotz型微分变分原理研究相空间中非保守系统的守恒律

为了进一步探究非保守系统的Herglotz变分问题与其守恒律之间的关系,该文提出并研究基于Herglotz型微分变分原理构建相空间中非保守力学系统的守恒律.首先,基于相空间中非保守系统的Herglotz变分问题,建立该系统的Herglotz型微分变分原理;其次,利用广义变分与经典等时变分之间的关系,给出微分变分原理不变性条件的变换,并建立非保守系统的守恒定理,得到了该系统基于Herglotz变分问题的守恒量及其存在条件;再次,导出守恒定理的逆定理,由相空间中非保守系统的已知守恒量可找到无限小变换的空间和时间的生成元.文末举例说明结果的应用.