关于积分中值定理的一点说明与推广

<正> 引言众所周知积分中值定理(理、工科院校教材)为,若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在闭区间[a,b]上至少有一点ξ,使成立。下面我们将证明这个定理中的ξ一定可以取在开区间(α,b)上。并把这个定理推广到f(x)     

一个有关凸函数的不等式及其应用

<正> §1主要结果 定义.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,如果对任意x_i∈[a,b](i=1,2)及满足α+β=1 的α>0,β>0,均有     

二重极限的一致收敛性判别法

本文将复杂的二元函数的极限问题转化为较简单的一元函数极限是否一致收敛的问题考察之。定理　设 f( x,y)在 ( 0 ,0 )点的某去心邻域内有定义 ,则 limx→ 0y→ 0f ( x,y) =A的充分必要条件是 :当r趋于 0时 ,f ( rcost,rsint)在 [0 ,2π]上一致收敛于常数 A。证明　必要性　由 limx→ 0y→ 0f( x,y) =A,知对任意 ε>0 ,存在 δ>0 ,当 0 相似文献   

积分中值定理的一个证法

积分中值定理是这样叙述的:设函数f(x)在[a,b]上连续,则在(a,b)内至少存分点ξ,使integral from n=a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a)目前各类高校教材及教学参考书,对该定理的证明通常都是利用积分估值定理与闭区间上连续函数的介值定理完成的.这种证法只能证出ξ∈[a,b],不能证出ξ∈[a,b].现介绍一种证法,分两步:     

关于积分中值定理的一点改进

<正> 在一般的理工科教材中,关于积分中值定理叙述如下: 定理1 若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在闭区间[a,b]上至少有一点ξ,使得∫_a~b f(x)dx=f(ξ)·(b—a) 定理2 若f(x,y)在闭区域D上连续,则在区域D上至少有一点(ξ,η),使得∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)·σ其中σ表示闭区域D的面积。关于定理1,黄炳生同志在f(x)的条件削弱了的情况下,证明了其中的ξ可以取到开区间(a,b)内。本文一方面推广了黄炳生的证明方法,证明了定理2中的(ξ,η)也可以取     

中值定理的两个新证法

本文的证法都利用了下列定理 :达布中值定理　若函数 f (x)在区间 [a,b]内可导 ,并且设 f′(a)≠ f′(b) ,不妨设 f′(a)f (b) -f (a)b-a 或 f′(x) …     

关于等角写像的边界性质

<正> 一个函数f(x)在[a,b]上定义,我们记 f(x)∈H_x~a(0<α≤1),表示f(x)是满足α级 Lipschitz-H(?)lder 条件的函数,下标表示所涉及的自变量,而f(x)∈H_x~(1-0表示f(x)之连续模满足条件ω(δ,f)≤kδ|log δ|,(k为常数).我们记(?)是其连续模满足条件     

一类可积函数

<正> 从实分析观点说:有界函数f(x)在闭区间[a,b]上可积的充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点的全体是一个零测度集。此文是在《高等数学》或《数学分析》课程的内容范围内给出并证明两个命题:     

再谈柯西中值定理

将柯西中值定理改叙并证明之：如果f(x)和F(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F（a)≠F(b),则在（a,b)内至少存在一点ξ,使f′（ξ）=f(b)-f(a)/F(b)-F(a) F′（ξ），进一步地，若F′（ξ）≠0,则有f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f′（ξ)/F′（ξ）。     

对一道全国高中数学联赛题的思考

20 0 0年全国高中数学联合竞赛第 14题是 :若函数 f( x) =- 12 x2 + 132 在闭区间[a,b]上的最小值为 2 a,最大值为 2 b,求[a,b].由于对于给定的二次函数 f ( x)和给定的正常数 k,并不一定存在闭区间 [a,b],使f( x)在 [a,b]上的最小值为 ka,最大值为 kb,由此使笔者想到 :命题者是如何找到 f( x)的 ?其相应闭区间的存在性是否有一般性的判别法则 ?当闭区间存在时 ,其个数问题能否确定 ?事先可否对闭区间提出一些特殊要求 ?经探索 ,笔者获得了如下结论 :定理　存在闭区间 [m,n]( m 相似文献   

关于介值性、连续性与原函数的存在性的几点注记

众所周知，闭区间上的连续函数具有介值性。本文要讨论具有介值性的函数的连续性问题，同时还要讨论介值性与原函数的存在性之间的关系。首先指出，在区间［a，b］上具有介值性的函数不必在［a，hi上连续。例如，函数在区间上具有介值性，但却在x=0点不连续。在区间[a，b]上具有介值性的函数在[a，b]上虽然不一定连续，但我们有如下定理：定理1若函数在区间[a，b]上有定义，且在[a，b]上具有介值性，则函数f（x）在区间[a，b]上必不存在跳跃间断点。证用反证法。假设f（x）在区间[a，b]上存在一个跳跃间断点x0，即f（x0－0）、f（x0＋0）都…     

罗尔定理的一种推广形式

罗尔定理是说,若f（x）满足：（1）在闭区间[a,b]上连续,（2）在开区间（a,b）内可导,（3）区间端点处的值相等,即f（a）=f（b）,则至少存在一点,使得．如果将定理的条件（2）改成f（x）在（a,b）内右导数存在,其它两条不变,是否也存在一点,使得呢？一般不可以．考察函数．显然,（1）f（X）在上连续,切我们有下面定理：定理若函数f（x）在闭区间上连续;在开区间（a,b）内右导数存在且连续（即：存在且连续）;且f（a）=f（b）,则至少存在一点,使得证明由f（x）在[a,b]上连续,必取到最大值M,最小值m,这样只有两种情形…     

关于凸函数的Hadamard不等式

1893年 Hadamard证明了闭区间[a,b]上连续的凸函数f(x),成立着如下不等式 f((a+b)/2)≤1/(b-a)∫_a~b f(x)dx≤(f(a)+f(b)/2)。本文得到了两个定理,作为上述结果的推广。     

简化形式的积分中值定理另一种表述

阐述了简化形式的积分中值定理中f(x)不要求连续的情况下成立的条件.即"设函数f(x)在闭区间[a,b]上可积,同时f(x)在[a,b]上有原函数,则存在ξ∈(a,b),使∫ from x=a to b f(x)dx=f(ξ)(b-a)成立",并且给出了简洁的证明.     

MAXIMAL CALDERóN-ZYGMUND SINGULAR INTEGRAL ON RBMO

§1Introduction Letk(x,y)beafunctiononRd×Rd\{(x,y)∶x=y}whichsatisfiesthesize condition:|k(x,y)|≤C1|x-y|n,(2)andLipschitzcondition:thereexistsarealnumberγ>0,if|x-y|>2|y′-y|,|k(x,y)-k(x,y′)|+|k(y,x)-k(y′,x)|≤C2|y′-y|γ|x-y|n+γ.(3)Givenalocallyintegrablefunctionf,let Tε,Nf(x)=∫ε<|x-y|ε>0|Tε,Nf(x)|.HereT*f(x)maybeinfinite.Itisobviousthatlimε→0,N→∞T*ε,Nf(x)=T*f(x).Wesay k(x,y)aCalder n-Zygmundkerneli…     

正确理解和运用第一积分中值定理

第一积分中值定理是微积分中基本定理之一。在逻辑证明方面,有着广泛的应用。 该定理应叙述为: 定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使 integral from n=a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a) a<ξ相似文献   

拉格朗日中值定理的一个证明

拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献   

关于积分中值定理的逆定理

<正> 著名的积分中值定理可叙述为: 积分第一中值定理若函数f(x)在[a,b]上连续,函数g(x)在[a,b]上可积且不改变符号,则存在ξ∈[a,b],使     

关于积分中值定理的中间值

我们知道有下面的 Riemann积分中值定理(见 [1 ,P.1 0 6]) :如 f(x)在 [a,b]上连续 ,那么存在ξ∈ [a,b],使∫baf (x) dx =f(ξ) (b - a) (1 )1 982年 ,Jacobson[2 ]研究了中间点ξ的渐近性质 .他证明了定理 A　如 f(t)在 [a,x]上连续 ,在 a点可微且 f′(a)≠ 0 ,ξx 由 (1 )式所确定 ,那么limx→ aξx - ax - a=12 .1 997年 ,Zhang[3]推广了定理 A,他得到定理 B　设 f (t)在 [a,x]上连续 ,且在 a点 k次可微 ,满足 f( i) (a) =0 ,(i =1 ,2 ,...,k - 1 ) ,f( k) (a)≠ 0 .如ξx由 (1 )式所确定 ,那么 limx→ aξx - ax - a= 1k k 1 .本文…     

关于柯西中值定理的矢量法证明

柯西(Cauchy)中值定理又称一般中值定理.本文给出关于这个定理的一个有别于一般证法的矢量法证明,并给出它在三维空间矢量分析中的一个推广。柯西中值定理设函数f(t)、F(t)在闭区间[a,b]上连续,f′(f)、F′(t)在开区间(a,b)内存在,且F′(t)在(a,b)内每一点均不为零,则存在一点§∈(a,b),使得