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不等式的证明是高中数学的重要内容之一。由于不等式的证明灵活多样,技巧性强,因此有必要掌握几种特殊的证明方法或技巧,以提高证题能力. 相似文献
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一、放缩放缩是不等式证明中一种重要的变形技巧,它的一般形式是欲证A≥B,可借助一个或多个中间量通过适当的放大,使得 B≤B_1 ,B_1≤B_2,…,B_n≤B_n,B_n≤A或通过适当的缩小,使得 A≥A_1,A_1≥A_2,…,A_n1≥A_n,A_n≥B利用传递性达到目的。例1 已知a,b,c∈[0,1],求证: a/b c 1 b/c a 1 c/a b 1 (1-a)(1-b)××(1-c)≤1 证明显然,对不等式(1)左边进行通分会使问题变得更为复杂,由对称性,可令o≤a≤b≤c≤1,将左边放大 相似文献
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不等式是初等数学的重要内容 ,是研究方程和函数的重要工具 .不等式的证明题型多变 ,方法多样 ,技巧性强 ,无固定程序可循 .常用的不等式证明方法有比较法、综合法、分析法、函数法、放缩法、代换法、反证法、数学归纳法等等 .一、比较法 :比较法主要有作差比较法和作商比较法两种 .1.作差比较法 (简称比差法 ) :a、b、c≥ 0 ,求证 :a3 +b3 +c3 ≥ 3abc .证明 :a3 +b3 +c3 - 3abc=(a +b) 3 - 3ab(a +b) +c3 - 3abc=(a +b +c) 3 - 3(a +b)·c (a +b) +c -3ab(a +b +c)=(a +b +c) (a2 +b2 +c2 -ab -bc -ca)=12 (a +b +c)· (a -b) 2 + (b -c) … 相似文献
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一、练合分析法在不等式证明中,我们常常“由因导果”或“执果索因”。前者我们称之为综合法,后者则称之为分析法,具体地说,综合法证不等式就是指从已知条件出发,依据不等式性质、函数性质及重要不等式等逐步推导直至证得不等式,与综合法相反,分析法证不等式是从所欲求证不等式出发,层层推求使之能成立的充分条件,直至已知事实为止。例1 对所有正数x,利用x>sinx,证明x~2 πx 15/2πsinx>0。 相似文献
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证明不等式的几种特殊方法 总被引:2,自引:0,他引:2
文[1]给出了六种证明不等式的特殊方法.这里再给出四种,以解决一些不等式的证明问题.1 利用二项式定理证明对于有些不等式,可根据其结构特点,联想或构造二项式模型,利用二项式定理来证.例1 (第2 1届全苏数学竞赛)求证:对于任意的正整数n ,不等式(2n + 1) n ≥(2n) n + (2n - 1) n成立.证 由二项式定理,有 (2n + 1) n- (2n - 1) n=2 [C1n(2n) n -1+C3n(2n) n -3 +…]≥2C1n(2n) n -1=(2n) n,即(2n + 1) n≥(2n) n+ (2n - 1) n.例2 (1988年全国高中数学联赛)已知a ,b为正实数,且1a+ 1b =1.试证对于每一个n∈N都有(a +b) n-an-bn≥2 2n-… 相似文献
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不等式在数学的许多分支中是十分有用的,不等式又是一个技巧性很强的分支,它有许多极有趣味的问题,对培养学生对数学的爱好以及培养他们的能力是有益的,本文就证明不等式的方法与技巧说说个人的意见。 1 不等式的证明方法证明不等式的方法很多,主要有比较法、分析法、缘合法、反证法等,其中比较法与分析法应用较广,综合法经常要运用一些已被证明的不等式,特别是几个 相似文献
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不等式是数学的重要组成部分 ,它遍及数学的每一个分支学科 ,正如D .S密特利诺维奇在《解析不等式》一书中所说的 :“今天 ,不等式在数学的所有领域里起着重要的作用 ,并且提供了一个非常活跃而又有吸引力的研究领域 .”由于其证明的困难性和方法的多样性 ,不等式已成为各类数学竞赛的热门题型 .本讲通过一些具体的例子 ,讲授一些典型的不等式的证明方法与技巧 .例 1 设a ,b ,c为正实数 ,求证 : a +3ca +2b +c+4ba +b +2c- 8ca +b +3c≥ - 17+12 2 .分析 本题的难点是分母较复杂 ,可以尝试用代换的办法化简分母 .证 令x =a +2b +c,y =… 相似文献
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证明不等式的几种常用置换方法黄启林(华南师大附中510630)不等式是高中数学竟赛中的一个重要内容,证明不等式又是其中的一个难点,本文谈一谈证明不等式的几种常用置换方法.一、均值置换若条件中出现x1+x2+…+xn=a的形式,常可考虑如下置换:设x,... 相似文献
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浅谈不等式证明的几种特殊方法 总被引:1,自引:0,他引:1
不等式的证明在数学中是比较常见的题型 ,但有些不等式用常见的方法 (如比较法、分析法和综合法等 )很难证出来 ,或者根本证不出来 .这里介绍几种特殊的证法 ,解决一些不等式的证明问题 .1 数学归纳法数学归纳法是数学中解决证明题很重要的一种方法 ,在不等式证明中也不例外 ,对于与自然数有关的不等式都可以考虑这种方法 .例 1 证明 :|sinnx|≤n|sinx|对任何自然数都成立 .证 1 )当n =1时 ,不等式显然成立 ;2 )假设n =k时 ,不等式成立 ,即 |sinkx|≤k|sinx|成立 .当n =k +1时 , |sin(k +1 )x|=|si… 相似文献
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关于不等式的证明方法较多,这在很多书刊中都作过较详细的讨论。本文就用判别式来证明不等式探求几种思考方法,供大家在教学时参考。第一种方法:一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有实根的充要条件是判别式△≥0。用这个结论来证明不等式,其关键是根据已知条件来构造一个实系数二次方程,再利用二次方程有实根的条件判别式△≥0推出所要证的不等式。例1 已知x、y、z是实数,且满足等式 相似文献
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通过实例分别介绍利用函数单调性、最值、微分中值定理、凸函数、定积分的性质、基本不等式、幂级数展开式来证明积分不等式的一些方法. 相似文献
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在不等式证明中,三角代换是一种常见、有效的处理方法,它多用于条件不等式的证明,当所给条件结构比较复杂、变量比较多、变量之间的关系不甚明了时,可考虑三角代换,将多个变量用相对统一的角参数来表示,将复杂的代数问题转化为三角问题. 相似文献
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三角不等式的证明方法是多种多样的。有一类有关角与三角函数的不等式同学们往往无从下手,觉得角与三角函数之间的关系很难发现。下面就介绍一种这类题目的常用的证法——单位圆证法。这种证法的主要步骤是:在单位圆中将角与三角函数用它们对应的弧、线段表示出来,然后依靠图形直观地加以比较。这种方法简洁,易于掌握。 相似文献
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分式不等式的证明是高中数学中的难点之一,也是竞赛命题的热点,其方法多样、涉及的知识面广、灵活度大、技巧性强,是培养学生创新能力的好题型。 相似文献
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分式不等式的证明是高中数学中的难点之一,也是竞赛命题的热点.其方法多样、涉及的知识面广、灵活度大、技巧性强,是培养学生创新能力的好题型.证明分式不等式的基本方法和常用技巧主要有如下几种:1)利用非负实数的性质:a2≥0(a∈R).2)利用基本不等式.均值不等式、柯西不等式、 相似文献
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不等式是高中数学的重要内容之一,也是高考的重点和热点.本文就运用放缩法证明不等式的一些常用技巧做了深入浅出的总结,做到"放"不过,"缩"能及. 相似文献