问题征解

(一)1980年第三期数学问题: 1 .3‘”‘是几位数?末位数是什么数?若31。‘各位数字之和为A,刃的各位数字之和为B,B的各位数之和为C,求C。 2。已知f(mn)=f(阴) f(n),求证f(勃·f(m卜‘卿3.若抛物线顶点为A(一Zm1 优2,1一mZ1 川z)它与,轴正向,目交。女口果抛物线平移后所得的方程是y二x“ 1试确定二的范围。 以上提出者:江苏盐城第一师范肖秉林、,廿、, .一丫、4·已知e’一e一’=2‘g,(。<‘<晋)求证:i)e劣 。一器=2 seC甲-2’“”‘n,g(备 署)(二)1980年第二期数学问题解答,·解方程组{logox一logoy=0劣2一y一45二O(1)(2)解:由(1)知:二>…     

问题与解答

(一)本期问题 1已知一个止整数M的四次幂等于某个5位数ABCDE,其中不同的子母不必代表不同的数码,且A+C十E二B+D,求正整数M. 2设a》,/8,求证方舀硕不丙万了‘丁而不万万东二+刁a一(a+,)/3一了J而蕊二万兀飞l 3已知一木无穷数列x,,xZ,劣,,…,x,,(x,年0)在。>3时,满足条件(川刁一心+.二十二茗一,)(心十嘴+.“+心),(x:x:+x:“3+…+二。一,x。)2.求证这无穷数列是等比数列. 大庆市二十八中李世君一提供 ;化简刁厄一干万百~. 5设f(,)是一个整系数多项式,且f(0)与j(l)都是奇数,则f(二)=。不能有整数根. 福建周宁四中叶润才提供 6证明(军1)(4/…     

问题与解答

一、本期问题 1若f(二+1)=!万一1:,求f(1987)=? 2对之1 im(1.+2“+3“+…+1985t)笼In 3求函爹刀二(x一1):十(x一2广+…十 (x一3969)忍取得最小值时的x值. 大悟县三中郭炳坤提供 4己知,为任意实数,求二次方程二名+二x+(”*1)〔”+2)(”+3)(”+4)+5/4=0恒有实根时佗的取值范围. 5已知△ABC的三边为a、b、e,且a,+b,+C,二ab+西c+ca,问△A刀c是怎样的三角形? 6在△ABC中,已知乙A二600,a=1,求证b十‘(2. 江西泰和中学凌全华提供 7已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,AD》BC,BE》AC,求证CF二AB/2。 8等腰三角形的面积和周长被平行于底边的…     

问题征解

,叱写七口写云月巴舀七里‘云日巴‘七洲云理弓石月巨写七口弓七口S之绝写2岁 一、本期问题征解 编者按为满足广大初中读者要求,本栏从这一期起,增加初中内容的题目,希踊跃参加并给我们来稿. 1.设aZ+a+1=o,求证a’“吕“+a,””’+x=3. 2.设a,b,c都是整数,求证口+b+a“b“ec》(a bc)-万--一.a忿+bZ=7,‘2+dZ=1,ac+bd=0:求ab十cd之值.设 4.求证‘到垫睡巫兰燮丛竺竺亘巫匕业 了1983是整数.“ 5.设实系数二次式f(二)=二2+a二十b,求证: lj(z)1,!f(2)},If(3)I中至少有一个不小于冬 -一26.计算(1+tgl。)(一+tgZ’)…(1+tg44’). 薪春二中肖继…     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

钻畏题 或毛用居卜省民 学期 反证法 初中三年级 2004一2005 学年度第二学期 训练目的 昧求 =l数 …粤一牌二为整数滋x=0:二- 二次函数y一a扩+bx+。的值都是奇 证:二次方程a扩+bx+。~O没有整数根. 一’证明士一。时,1夕一仑为奇数; x二l时,四于只十b七今为奇数,、 a十b为偶数.。、、州- 若a扩+bx+‘~O有整数根x。,则有 ax。2+bx。+c=0, (呼+b)x。’一b二。’+bx。+犷。; 添呱二缨鄂罐 巍蘸蘸蘸蘸蘸蘸蘸蘸蘸蘸潺 缪嘛狐赢 纂蘸薰矍翼 随堂测试 .证明:涯是无理数. 学生课后练习 1.已知自然数a、b、‘的公约数为1, 且az+夕~产,求证:‘必为奇数…     

课外练习

商一年级一‘_、___。1 .9匕却二户U,y户U,且丁十万~求证:4x+y妻25.2.若关于二的方程sin”x+51。一a一O有实数解,实 数a的最大值为m,最小值为n,求砂.3.求证cosZ;十妥而盖乏不蕊,)9·商二年级1.现有一个按以l一口2,口3规律存在的无限集合A二咬al,a:,a3…).a,是关于+a,~0的一个根,a,自x的方程xZ一(a,十a:)x=aZ,al+a:+a:=且1 im(a.+a:+a:十+…)之值.…)存在,试求lim(a,+a:+a3肠卜亡人二2.求c抓一”+C沈+。的值.3.已知实数“,b满足“+b一2一。,实数。,d满足。,十 护一4c十4d一7,求k一}(a一。)+(b一d川的最小 值和最大值.商三年级1.如图示,复…     

问题征解

本期问题征解__一a+bL匕知石二乙 b+e一b一c (2)e十aC-a,求证:《1)a+b+e=0;aZ+bZ+eZ=0;、3)告十言+告“。. 2.△ABC内接于半径为1的圆,则此三角形必有一边不大于侧3. 3.若。〔N,且eo:na,sfona都不为0,又(eo:a+xsfoa)“+aeo:。a+bxs玄。。a能被二么+1整除,求a,b的值. 4.求证12,2122,111222,11rl2222,…中任一项都是两个相邻整数之积. 安徽淮南基建七中谢志文提供 5.设二、y、二为三个互不相等的非零实数,且同时满足方程:x”+,x十,=。,y“+。y+”二0,二3+,二+一。.试求令+会+合的值·6.已知x十刀+‘=5,x夕+夕‘+之劣二3,44且二、夕为实数,…     

十二 综合练习

1.已知z=eoss+isin夕,口([0,二],w=1一分1一之且}w}=l,试确定口的大小. 2.已知函数f(x)二109。(矿一l)(a>o,且a手0,a为常数). (l)求刃x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性; (3)解方程f(2x)=f’(x). 3.已知函数f(x)=109:(x+一).当点(x,夕)在夕=f(x)的图象上运动时,(音,誉)运动所成曲线就是函数夕一不x)的图象. (1)写出函数娜x)的表达式; (2)若娜x)一f(x))O,求x的取值范围; (3)限于(2)中x的取值范围,求娜x)一f(x)的最大值. 4.设xl和掩是方程了一xsin口+sinZa二0的两个实数根.(口为锐角).连接A且召CCI),ACAD.DB. (l)求证:平面ABC工平面AO场…     

自我检查练习题

一、初中自我检查练习题①填空(用适当的数、式或符号填到横线上)z)若a(b乙B>艺C.那末匕月_60’,乙B_45。,乙C_60’. 9)口A厅CD的对角线的交点为。,在较长的对…     

一道导数题的求证感悟

题目已知函数f(x)=ax2-2x+lnx.(1)若f(x)无极值点,但其导函数f’(x)有零点,求a的值;(略)(2)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(x)的极小值小于-3/2.     

函数迭代中的循环现象

一、从一道例.谈拐金一l 劣例l已知函数I(二)=公一l 劣对于,〔N,解:(l)丫了式:)一了〔了:(·)〕一了(宁)-劣一l 劣定义f:(‘)=I(二),j.(x)=了叶一,(x)〕,(l)求f一(二);(2)求证:f。(x)=fa(x). l1一公1991年第9期数学通报‘吕‘·,一‘〔‘2‘·,〕一‘仁、)-六一,一万一=劣1一2.’.f一(x)二f[f:(工)〕二f(x)即了;(x)二(2)由(l)可知f:(x)=z f。(:)二f!(:).‘.f。(x)=f〔f;(x)〕二f〔f,(x)〕二fZ(x).‘.fe(x)二f〔fs(x)〕=f〔fZ(x)j二f3(x).从例1的解题过程可以发现:f,(x)二f一(I)=…=fa。,,(x)=劣一l 劣人(x)二人(x)二f。(二)二f。(x)二一…     

综合题新编选登

题158已知函数f(x)的导数f′(x)满足0α时,总有f(x)α,在α与β之间存在一点c,αα,所以f′(c)=1,与已知0相似文献   

问题征解

一、本期问题征解 1.已知。,b,。是三角形的三边,护R分别是内切圆和外接圆半径.求证2·司开瓢、*. 2.若二〔(1,2〕,解方程eos(ltlo夕2二“)一3eos(“10夕:二)+2=o 以上为江苏泰州中学薛大庆提供3.证明数29832。“”的末四位数是0001. 湖南吉首大学彭明海提供‘4.设夕(x)二二5+二‘+x3+二“+二+z,求z(二‘“)除以g(二)所得的余式 5.已知二,夕,二均为实数,试求满足不等式(二2+夕2+二2)簇。(二4+夕‘+二4)的最小整数。.问题征解@熊红英!黄冈~~…     

1993年高考试题解法集锦 理科第(29)题别证

题 :已知关于:的实系一数方程:,十‘I:十b二0的两实数根a、刀,证明: ①若}司<2,}川<2,则2}a}<4+b且!b,<4, ②若2 la}0,即(」+吞)2>4a2, 4+b)O,.’.2!a}(4+吞,即2!。}’<4+‘且}川<4成立. ②’.’2}u】<刁+6且1乙}(4,则(4+6)2一礴‘:,=(a,一4)(声2一d))0且1 al·}刀{(4, aZ(d,刀Z<刁…     

用微积分求组合数的和

利用微积分解决有关组合数的和的问题,往往能使解题过程大为简化.现列举数例介绍如下:一、利用微分法求组合数的和例2.求证:C二+ZC二+3C君+…+。C盆 =”.2一1证,i’(1+x)“=C盒+C孟劣+C二xZ+C沈x“+…+C器义” 故两边对x求一导,得 。(1+劣)一‘=C二+ZC盖二+3C寻x“+…+nC;x”一‘. 令,=1,则得 C二+ZC盖+3C盒+…+。C器=。·2”一’. 例2.求证:C只一ZC毛+3C二一4C盒+…+(一1)”(n+l)C盆二O(凡>2).证’:二(1一x).=C马x一C盖戈“+C二到一C二x峪+…+(一1).C竺x“+1.故两边对二求导,得(l一劣)”一nx(1一劣)“一‘二C日一ZC二盒x+3C…     

问题与解答

一、本期问题 1求不等式82a昌+65乙,十82:,十4d:+1(加+18a乙+144右c+4cd的解。 2求方程粼牙丁铸翻十万互筋「不二10的实根。 浙江象山岳浦中学顾海润提供 3证明方程(忿召丁co:250一1)tg苦。二(2训万:认舫。一1)tg3扩的所有解是整数。 4证明对任仁n)2,数“二了r军汤不污下六蓄厂是无理数。S已知点P(x,砂在曲线劣,+沪=t上运幼,求便才.+忍了丁x夕一,.的值最小的点。 6设O《t《万,把关于x的方程,一l:东称t+eos:!x+s::z‘o:t=o的较大的根表示成,的函数,并作出图象。 盆庆五中张正贵提供, 二、上期问肠解答 1若f(x+1)=l二一1!,求f(1987)- 解令x+…     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d.方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根1)求d的值;2)若a=0,求c的取值范围;3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.原参考答案1)d=0解答略.2)c∈[0,4).解答略.3)由d=0,f(1)=0得b=-c,f(x)=bx2 cx=-cx(x-1).g(f(x))=f(x).[f2(x)-c f(x) c].由f(x)=0可以推得g(f(x))=0,知方程f(x)=0的根一定是方程g(f(x))=0的根.当c=0时,符合题意.当c≠0时,b≠0,方程f(x)=0的根不是f2(x)-c f(x) c=0的根.因此,根据题意方程f2(x)-c f(x) c…     

问题与解答

一本期问题 1若x、万满足椭圆方程x“/1984十g活=1985,求证.x一卜岁.‘1985. 2求证‘鉴’4*,能被1 05。,整除,商为1 985汤。 3设x、夕)0,且x+,=1 986,求别‘’‘’的最大值。 南昌华东交大附中叶柯提供 4设无为正整数,且一元二次万程(无一1)x生一Px十k二o有两个正整数根,试求k“P(pp+无“)+l的值。 5第四世纪,有个希腊数学家在他所著的算术书中,有一道这样的问题: x‘一60为一个完全平方数,求x,你能不能解答? 6已知x、,、:为三个正实数,且x一卜y十z=3,1/x+1/,+r/z=3,求x“,忿+:,的值 皖祈门芦溪木材收购知长进球提供 7如果二、n、P是方程x…     

牛顿恒等式的多种应用

牛顿恒等式:对于数列{几}:‘。“A对+Bz全,若::,::是方程扩十a:十b二O的两根,则 t。=一at。-一bt。一:. 证明据条件得 二资=一a:,一b,x鑫二一axZ一b,故 一at。一,一bt。一:=一a(Azr一’+Bx瑟一’)一b(Axr一2+B劣罗一2) =A:贾一2(一ax:一b)+Bx套一2(一a:2一b) 二Azr一2·对十Bx罗一2·z若=A:梦十B二毖.即t。=一at。一:一bt。一2. 下面举例说明牛顿恒等式在解题中的多种应用.1求解有关方程问妞 例l不解方程求作一个关于g的一元二次方程,使它的首项系数为l,两根分别是方程砂十3:十1二0的两根的5次幂(上海市1984年初中数学竞赛第二试试题)…     

一道导数题错解剖析

例题已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2 在x=1处有极值10,求f(2)的值．错解依题意得解得剖析应注意f′(x)=0是可导函数f(x) 在x=x0处有极值的必要不充分条件,因此,解得的a、b并不保证f(x)在x=1处取得极值．事实上,若x=x0是方程f′(x)=0的偶次重根,则