双重幻方

幻方(magic Spuare)我国古代叫做纵横图,通常是指n~2个自然数排成n行n列的方阵,各行各列及对角线上各数之和都相同。这里所载的两个幻方,不但具有一般幻方的性质,而且各行各列及对角线上各数的连乘积也都相等。可称为双重幻方。 8阶双重幻方各行各列及对角线上8个数之和是26840,连乘积是     

稀世瑰宝——六角幻方

幻方是将从1开始的n~2个自然数按一定布局排列成一个n行n列的正方形方阵,使其各行、各列及两条对角线上的数字之和正好都相等。既然有正四边形的幻方,那么,你有没有想过能否排列出一个正六边形的幻方呢?大约从1910年起,一个叫克利福德·亚当斯的英国青年开始研究这种“六角幻方”。     

半幻阵

首先解释题目.我国古代传说中的九宫图把从1至9这最初九个自然数排列成一个3×3的方阵,使得三个行,三个列以及两个对角线的和都等于15.这一奇妙的事实引出了人们对“幻方”的研究:能否和如何把前n~2个自然数(或者更一般些,把预先指定的n~2个整数)排列成一个n×n方阵,使得n个行和、n个列和以及两个对角     

“幻和图”如何变成“幻积图”

<正>将n×n个数(通常是不同的整数),填到n×n个小正方形中,使得各行、各列、对角线上的各数之和均相等,则称所得图形为"n阶幻和图",其中各行、各列、对角线上各数之和为"幻和".图1、图2就是常见的3阶与4阶幻和图,其幻和分别是15与34.     

Goldbach数的例外集合(Ⅱ)

本文把能表成二个奇素数之和的偶数称为Goldbach数,以F(x)记作不超过x的非Goldbach数的数目,证明了E(x)=O(x^0.96)。 在1742年,Goldbach在写给Euler的信中提出了任一超过2的偶数都是二个素数之和的猜想。文中称能够表成二个奇素数之和的偶数为Goldbach数,并以E(x)表示所有不超过x的非Goldbach数的数目。在文献[1]中,证明了对于充分大的x,有 E(x)=O(x^0.99)。本文将证明: 定理.对于充分大的x,有 E(x)=O(x^0.96)。     

迷人的幻方

<正>在小学数学中常会遇到这样的问题,如图一,把这个3×3的方格中每一横行,每一竖行,每一斜行的数相加会发现它们的和始终为15.像这样把n~2个连续的自然数填入到n×n的正方形表格中使得纵、横、斜线上的数字之和相等,由此得到的的图形西方人称为"幻方"或"奇方"或"魔方",日本人称之为"方阵",我国称像图一这样的三阶(三行三列)的幻方为"纵横图"或者是"九宫算".     

一种特殊的幻方

为了写起来方便,我们把幻方写成矩阵的形式: 其中a_(ij)对于不同的足指数ij,分别等于从1到n~2中不同的自然数。我们知道,一般幻方的定义是(a)每行、每列的数字之和为一常数P。(b)两主对角线上数字之和也都等于P。在这里,我们将讨论一种具有下列性質的     

Goldbach数的例外集合(Ⅲ)

本文把能表成两个奇素数之和的偶数称为Goldbach数,以E(x)记作不超过x的非Goldbach数的数目,并且证明了E(x)=O(x~(0.95)     

Goldbach数的例外集合

我们把能表成二个奇素数之和的偶数称为Goldbach数,以E(x)记作不超过x的非Goldbach数的数目,本文证明了E(x)=O(x^9.99).     

方程组dx/dt=(sum from 0≤i+k≤2 a_(ik)x~iy~k,dy/dt=(sum from 0≤i+k≤2 b_(ik)x~iy~k)的分界环线之构造

<正> 其中P,Q为連續实函数,在全平面上仅有有限个零点,且适合軌綫的存在唯一条件. 如所周知,(E)的任一軌綫的极限集必为下列之一:孤立奇点;极限环綫;奇点及某些軌綫組成之閉曲綫.为了研究最后这一情形中的閉曲綫的构造,首先应該考察最簡单     

初中数学奥林匹克技巧杂谈(二)

6 利用数字化解题 例14 将正方形ABCD分割为,n~2个相等的小正方格(n是自然数),把相对顶点A、C染成红色,把B、D染成兰色,其它交点任意染成红兰两色中的一种颜色。证明,恰有三个顶点同色的小正方格的数目必是偶数。     

数学金字塔之谜(续)

(上接2010年11期) 3表演杂技各有高招 九头鸟主持人第二个问题,金字塔各行、各斜列之间的数与数,隐藏着哪些秘密关系? 小学生乙金字塔各行数的和,从上到下的关系为"依次乘2":     

梅森素数简介

素数又叫质数,是除了1与它本身外,不能被其他自然数整除的自然数。1644年,法国数学家梅森指出:若P≤31,仅当P=2,3,5,7,13,17,19,31时,2p-1是素数,而211-1及225-1均不是素数,后来,人们把形如2p-1(P是素数)的素数,称为梅     

自然数分拆的存在性问题

自然数分拆的存在性问题西安市西光中学刘康宁把一个自然数按照某种要求表示成若干个自然数之和的形式称作自然数的分拆．这类问题常见的有两种情形：一是在什么条件下可以分拆？二是在可分拆的情况下有多少种分法？前者称作分拆的存在性问题，后者称为分拆数（计数）问题...     

自然数是否为素数的两个判定方法

本文通过"试验、猜想、论证"的数学实践过程,发现素数的一个性质并引出检测自然数是否为素数的两个判定方法,经历计算π(300)及判断一些较大数是否为素数的过程,初步体验命题在应用过程中的准确性、优越性,这两个方法是否为一般化的方法并具有推广价值,还需要我们在今后的实践中去验证.     

埃拉托塞尼与素数筛子

自然数是人们最早研究的数学对象,又是最有扭力的、从中能产生无穷多个问题的数学对象,而且从不同的角度探讨自然数,就会形成不同的问题．例如,从自然数所含的因数的个数来看,可把所有的自然数分为三个部分：（1）仅有一个因数的数工;（2）有且仅有两个因数的数,即除1和自身以外,没有别的因数的数,如2,3,5,7,…等,称为素数（质数）;（3）有三个以及多于三个不同的因数的数,即除1和自身以外,还有其他因数的数,如4,6,8,ZO。…等,称为复合数,简称合数．如我们已经知道的,素数就构成了数学中的许许多多重要的课题,如…     

数学问题解答

518 我們把交点在正六边形內的正六边形的两条相交对角綫叫做正六边形的內交对角綫,正六边形的两条內交对角綫将正六边形分成四个部分,每个部分我們叫做一个区域,試証:在边长为R的正六边形中任作一曲綫L,L的两端在这正六边形的边上,如果曲綫L的长l≤1.7R,則在这正六边形中必存在两条內交对角綫,使这曲綫L在这两条內交对角綫的某个区域內(除去曲綫的两个端点)。     

对角方阵的变换群

在不改变对角方阵各行、各列、主对角线、次对角线的元素之集的条件下,其变换群是n次对称群S_n的直积S_n×S_n的子群,因对角拉丁方、对角拉丁方正交侣、幻方、高次幻方、加乘幻方均属此类方阵,本文对构作这类对象及研究它们的计数有重要意义.     

玩幻方

引言用自然数列1到9可排成三行正方形图1,图1的各行各列及各对角线上三个数的和都等于15.图1,在汉代已经出现,被称为"九宫",现称"三阶幻方".古书上说它"二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中尺",俨然四肢健全穿鞋戴帽的人.本文介绍幻     

Cauchy多边形数定理的一个简短证明

本文对下述事实给出一个简单的证明:每个自然数是m+2个m+2边形数之和. 设m≥1,一个m+2边形数是形如 Pm(k)=m/2(k2-k)+k,(k=0,1,2,…)的数.Fermat[3]断言:每一个自然数是m+2个m+2边形数之和.对于m=2,Lagrange[5]证明了每一个自然数是4个平方数P2(k)=k2之和.对于m=1,Gauss [4]证明了每一个自然数是3个三角数P1(k)=1/2(k2+k)之和,或等价的,每一个满足n≡3(mod 8)的正整数n都是3个奇数平方之和,Cauchy[1]对所有的m≥3证明了Fermat的断言,Legendre[6]进一步细化和推广了这一结果.对于m≥3且n≤120m,Pepin [8]给出了将n写成m+2个m+2边形数之和的显示表达的表,其中至少有m-2个取值于0或1.