Kinematisch-funktionales Denken als Ziel des höheren Mathematikunterrichts – das Scheitern der Meraner Reform

Zusammenfassung. Der Meraner Reform wird die Einführung der Funktionenlehre und der Differential- und Integralrechnung in den h?heren Mathematikunterricht zugeschrieben, und damit eine tiefgreifende Auswirkung auf die gymnasialen Curricula im 20. Jahrhundert. Von diesem Standpunkt sieht es so aus, als seien die Ideen der Reformer um Felix Klein seit Beginn des 20. Jahrhunderts inzwischen erfolgreich in die Schulpraxis eingeflossen. Der Funktionsbegriff steht im Zentrum der Sekundarstufe I, und der Analysisunterricht ist heute wesentlicher Bestandteil der Oberstufenmathematik. Mi?t man den Erfolg der Meraner Reform jedoch an deren ursprünglichem Hauptziel „Erziehung zur Gewohnheit des funktionalen Denkens”, so ergibt sich ein anderes Bild. Im folgenden soll gezeigt werden, da? vor diesem Hintergrund die Meraner Reform als gescheitert betrachtet werden kann. Um Belege und auch Ursachen für das Scheitern zu finden, ist es notwendig, zun?chst die Vielschichtigkeit des Begriffs „funktionales Denken” darzulegen. Was verstanden die Meraner Reformer unter „funktionalem Denken”? Eine Antwort soll im Rahmen didaktischer Vorbemerkungen aus dem Meraner Lehrplan und anhand zweier konkreter Beispiele aus dem damaligen Mathematikunterricht gegeben werden. Danach stellt sich aus heutiger Sicht die Frage, inwiefern die „alten” Ideen der Meraner Reformer gegenw?rtig für den schulischen Mathematikunterricht wirksam sind. Eingegangen am 07. Januar 2000 / Angenommen am 31. Januar 2000     

Ungleiche Partner in der Mathematik im „Dritten Reich” Heinrich Behnke und Wilhelm Süss

Zusammenfassung. Im Mittelpunkt des Berichts stehen die Mathematiker Heinrich Behnke und Wilhelm Süss. Zun?chst werden die Positionen von Behnke und Süss im „Dritten Reich” skizziert. Zwischen den beiden entwickelte sich im Zweiten Weltkrieg eine ungleiche Partnerschaft, die anhand von zwei Beispielen dargestellt wird: der von Süss angestrebten Reorganisation des mathematischen Zeitschriftenwesens und Behnkes Unterstützung für seinen Freund und Kollegen Henri Cartan. Eingegangen am 20. Juli 2001 / Angenommen am 13. September 2001     

Die Entwicklung der Symbolik in der Logik und ihr philosophischer Hintergrund

Zusammenfassung. Die Entwicklung angemessener Symboliken ist für die Entwicklung der Mathematik und ihrer Teildisziplinen zu jeder Zeit eine wichtige Bedingung gewesen. Ein langer und schwieriger Weg führte zu den heute in der Logik gebr?uchlichen Symbolsystemen. Er begann mit Buchstaben als Abkürzungen für S?tze und Eigenschaften bei Aristoteles und für kategorische S?tze in der mittelalterlichen Syllogistik. In seiner „characteristica universalis” formulierte Leibniz Grunds?tze für eine exakte Zeichensprache, die er mit der Idee einer Algebra dieser Zeichen verband („mathesis universalis”). Erst Boole, der die Unabh?ngigkeit logischer Beziehungen von der Bedeutung der Symbole erkannte, begann mit der Verwirklichung dieser Idee. Frege schlie?lich gelang 1879 die Analyse des Satzes. Er schuf die erste umfassende formale Sprache. Ihre schwierige zweidimensionale Symbolik jedoch entsprach nur wenig der allgemeinen Intuition logischer Beziehungen und verdeckte für lange Zeit die epochale Bedeutung der Arbeiten Freges. Die heute verwendeten Symbolsysteme gehen zurück auf Arbeiten Peanos. In seinem Projekt „Formulario”, alle S?tze der Mathematik zu symbolisieren, sah Peano die Idee der „characteristica universalis” verwirklicht. Eingegangen am 9.10.1992, angenommen am 9.6.1993     

Aspekte der Stirlingschen Zahlen zweiter Art

Zusammenfassung. Die Stirlingschen Zahlen zweiter Art spielen in der Differenzenrechnung (und damit auch in der Numerischen Mathematik) sowie in der Kombinatorik eine bedeutende Rolle. Verwiesen sei hierbei auf Jordan [2], der sie in seinem Buch über Differenzenrechnung als mindestens so bedeutend wie die Bernoullischen Zahlen erachtet, sowie im zweiten Fall u.a. auf die Bücher über Kombinatorik von Aigner [1] bzw. Riordan [3]. über eine Anwendung der Stirlingschen Zahlen zweiter Art in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sollen in der vorliegenden Arbeit neue Aspekte bezüglich der Darstellung gewisser Potenzsummen gewonnen werden. Ferner wollen wir herausarbeiten, da? diese Zahlen unter mehreren Gesichtspunkten als komplement?r zu den Binomialkoeffizienten betrachtet werden k?nnen. Dies wird an den entsprechenden Stellen durch „Argumente” hervorgehoben. Wie die folgenden Herleitungen zeigen werden, erweist sich die Einführung der Stirlingschen Zahlen zweiter Art über die Rekursionsformel als der einfachste Weg. Eingegangen am 5.5.1995 / Angenommen am 10.1.1996     

Aspekte eines didaktisch sensiblen Mathematikverständnisses

Zusammenfassung. „Wer die Mathematik verstanden hat, kann sie auch unterrichten.” Dieser oft ausgesprochene Satz postuliert einen Automatismus zwischen Fachkenntnis und Lehrqualit?t. Eine ebenso h?ufig anzutreffende Gegenthese dazu lautet: „Wer selbst Schwierigkeiten mit der Mathematik hatte, kann sich besser in die Probleme der Schüler/innen einfühlen.” Beide Positionen erfassen den Zusammenhang zwischen Fachwissen und Vermittlungsf?higkeit zu grob. Die vorliegenden Ausführungen m?chten sie deshalb umwandeln in eine Frage: „Wie muss man die Mathematik verstanden haben, damit man sie wirksam unterrichten kann?” Dazu sollen im folgenden einige Aspekte entfaltet werden. Eingegangen am 10.02.1998 / Angenommen am 06.07.1998     

Ulams Millionenspiel

Zusammenfassung. Angenommen, jemand denkt sich eine Zahl zwischen 1 und einer Million, und ein zweiter Spieler soll diese Zahl durch Fragen: „Ist ?” ermitteln. Da ist, kann die Zahl durch die übliche Halbierungsmethode mit 20 Fragen bestimmt werden. Was aber, wenn der erste Spieler einmal (oder ?fter) lügen darf? Wieviele Fragen werden dann ben?tigt? Dieses Spiel ist als „Ulams Liar Problem” bekannt geworden. Wir wollen das allgemeine Problem ( Zahlen, Lügen) studieren und insbesondere Ulams Problem für eine Lüge l?sen. Eingegangen am 18.4.1994, angenommen am 19.10.1994     

Was sollen und was sind Divisoren?

Zusammenfassung. Der von Leopold Kronecker (1823–1891) gepr?gte Begriff „Divisor” kann als Klammer für die Teilbarkeitstheorien von Kronecker, Richard Dedekind (1831–1916) und Egor Ivanovič Zolotarev (1847–1878) dienen. Die ausführliche Einleitung versucht, den Leserinnen und Lesern einen überblick über historiografische und mathematische Arbeiten etwa der letzten zwanzig Jahre zu einem allgemeinen, an Kronecker anknüpfenden Divisor-Begriff zu geben. Der erste Teil des vorliegenden Aufsatzes ist einem detaillierten Vergleich von Dedekind und Kronecker hinsichtlich der von ihnen benutzten Begriffe und der Rezeption ihrer Theorien gewidmet. Der zweite Teil entwickelt systematisch und fast lückenlos eine allgemeine Theorie von Integrit?tsringen mit zugeordneten gr?ssten gemeinsamen Teilern („Divisoren”) ihrer Elemente (die nicht notwendig im Ring selbst existieren). Die Darstellung ist in die kommutative Algebra einzuordnen, wird jedoch – abweichend von bestimmten einschl?gigen Teilen der rezenten Literatur – unter der Beschr?nkung ausgeführt, ?quivalente des Auswahlaxioms nicht zu benutzen, um alle überlegungen so konstruktiv wie m?glich zu gestalten. Eingegangen am 6. Mai 1999 / Angenommen am 24. September 2001     

Irren ist menschlich – oder: Der Satz über die Unimodalität stabiler Verteilungen, ein Theorem mit einer bewegten Geschichte

Zusammenfassung. Wohl wenige der bekannteren S?tze der Mathematik haben eine derart wechselvolle Geschichte hinter sich wie das Theorem über die Unimodalit?t (d.h. „Eingipfligkeit”) stabiler Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Von der ersten Behauptung durch Lévy bis zum endgültigen Beweis vergingen über 40 Jahre. Publiziert worden sind zwei falsche Beweise und ein falsches Gegenbeispiel; beteiligt waren unter anderem Leute wie Gnedenko, Kolmogorov und Ibragimov, also Mathematiker h?chster Reputation! Ziel dieses Artikels ist es, die historische Entwicklung des erw?hnten Problems nachzuzeichnen, die verschiedenen Beweisversuche zu beschreiben und insbesondere zu zeigen, wie die Fehler entstanden sind. Eingegangen am 5. Januar 1999 / Angenommen am 23. Juni 1999     

Plato and Mathematics

The philosopher Plato lived in Athens 428–348 BC. There are three starting points for his philosophy: the ethical considerations of his teacher Socrates and his disputes with the Sophists; the ontological (and logical) problems of Parmenides and his pupil Zeno; and the mathematical and physical theories of the Pythagoreans. For a period of about ten years (399–388) he lived in Sicily in close contact with Pythagoreans, especially the mathematician and statesman Archytas of Tarent. His complete work has come down to us in 27 dialogues, in many of which Socrates is the central speaker, and which are literary as well as philosophical masterpieces. (A handful more and some letters are thought to be spurious) The mathematician Theodorus, roughly contemporary with Socrates, is said to have been his teacher in mathematics. Plato knew many important theorems, which were collected in Euclid's ELEMENTS (ca. 300 BC).

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Zusammenfassung. Der Name Platons ist in der Philosophie der Mathematik unter der überschrift „Platonismus” st?ndig pr?sent. Man versteht darunter die (wie auch immer geartete) reale Gegebenheit mathematischer Objekte. In diesem Aufsatz wird nicht der „Platonismus” diskutiert, sondern es werden die Schriften Platons in Hinblick auf sein Verh?ltnis zur Mathematik sorgf?ltig studiert. Zun?chst werden die Platon bekannten mathematischen S?tze aufgelistet. Es folgt die Interpretation mathematikphilosophischer Stellen aus den Dialogen Menon und Phaidon, welche eng mit der Ideenlehre zusammenh?ngen. Die wichtigsten Ausführungen Platons zur Rolle der Mathematik in seiner Philosophie finden sich in den Büchern VI und VII seines Dialogs „Der Staat”. Die Darstellung und Analyse der betreffenden Stellen bildet das zentrale Kapitel unseres Aufsatzes.

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Received: 14 August 1996 / Accepted: 28 October 1996     

Bronchien und Baumstrukturen

Zusammenfassung. Die Arbeit behandelt Modelle des Bronchialbaumes. Es wird zun?chst die Ver?nderung der Querschnitte von Luftwegen bei Verzweigungen untersucht. Dann geht es um „Strichb?ume”– Baumh?he, Zweigl?nge, überlappungsfreiheit, Selbst?hnlichkeit und Dimension. Schlie{?}lich findet sich auch noch eine Diskussion zu einem wohlbekannten Dreiecksfraktal – Grenzkurve, Selbst?hnlichkeit, Dimension, Zusammenhang mit den „Strichb?umen”. Anatomen haben zu dem Thema noch viele Anregungen und Fragen.

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Zur Rolle des Erlanger Programms im Geometrieunterricht

Zusammenfassung. Es wird untersucht, inwieweit das Erlanger Programm Felix Kleins, die Systematisierung der Geometrie mittels Abbildungsgruppen, auch für den Geometrieunterricht der Schule bedeutsam geworden ist. Dabei werden sowohl historische Entwicklungen der Inhalte des Geometrieunterrichts als auch inhaltliche Aspekte berücksichtigt. Weiterhin werden Auswirkungen auf die Schulgeometrie angesprochen, die auf das Erlanger Programm „im weiteren Sinne” zurückgehen. Eingegangen am 3. 11. 1995 / Angenommen am 3. 1. 1996     

Zur Mathematik der Optionen

Zusammenfassung. Mit der allgemein stark gewachsenen Bedeutung der Finanztermingesch?fte haben in den vergangenen Jahren insbesondere nach Gründung der DTB Deutsche Terminb?rse GmbH 1988 auch in Deutschland Optionskontrakte bei der Absicherung von Devisengesch?ften der Exportindustrie wie auch bei der Absicherung von Verm?gensanlagen institutioneller Anleger ein immer st?rkeres Gewicht erhalten. Damit einherging eine st?rkere Besch?ftigung mit den zugrundelie genden theoretischen Modellen nicht nur der davon unmittelbar betroffenen Praktiker, sondern auch eine st?rkere wissenschaftliche Beachtung der überwiegend im angels?chsischen Bereich seit Anfang der siebziger Jahre entwickelten stochastischen Methoden zur Berechnung von Optionspreisen. Sieht man einmal von der im Jahr 1900 ver?ffentlichten, ihrer Zeit weit vorauseilenden Dissertation “Théorie de la Speculation” von M.L. Bachelier [1] (betreut von dem ebenso vielseitigen wie genialen H. Poincaré) ab – diese Arbeit ist für mehr als fünfzig Jahre kaum beachtet worden weder von ?konomen noch von Mathematikern –, so stand am Anfang der stürmischen Entwicklung die berühmte 1973 ver?ffentlichte Arbeit “The pricing of options and corporate liabilities” von Fisher Black und Myron J. Scholes [2]. Mittlerweile existiert eine fast unübersehbare Flut von Publikationen zu eben diesem Problemkreis – wobei es sich vielfach nur um Variationen über das genannte Thema von Black-Scholes handelt –, und der Einflu? der publizierten Optionspreisformel auf die realen Optionsm?rkte kann gar nicht hoch genug eingesch?tzt werden. Schlie?lich kann an dieser Stelle nicht unerw?hnt bleiben, da? 1997 die von R. Merton (Harvard), M. Scholes (Stanford) gemeinsam mit F. Black (1938–1995) entwickelte Theorie der Optionspreise durch die Verleihung des Nobelpreises für ?konomie an die beiden zuerst genannten Wissenschaftler gewürdigt wurde (vgl. hierzu auch [7]). Ziel dieses Vortrags ist es, einen kleinen Einblick in das zu vermitteln, was Finanzmathematiker heute bearbeiten, welche Methoden sie verwenden und wie faszinierend und zugleich komplex dieser Bereich der angewandten Mathematik ist.

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Eingegangen am 01.04.1998 / Angenommen am 09.06.1998     

Mathematik lernen für die Schule?

Zusammenfassung. Die Anlehnung dieses Titels an das geflügelte Wort „Nicht für die Schule, sondern für das Leben lernen wir.” ist beabsichtigt. Dieses Wort soll aber von dem Philosophen Seneca mit bissigem Unterton genau anders herum formuliert worden sein: „Nicht für das Leben, sondern für die Schule lernen wir.” Wie dem auch sei - beide Formulierungen umgreifen die Problematik, der die folgenden überlegungen - speziell auf den Mathematikunterricht bezogen - gewidmet sind. Beide Formulierungen unterstellen eine m?gliche Spaltung zwischen schulischem Lernen und lebensweltlichem Bezug. Eingegangen am 31.8.1994, angenommen am 11.11.1994     

Mathematische Spuren in der Philosophie

Zusammenfassung. Keine andere Wissenschaft hat in der Geschichte des abendl?ndischen Denkens auf die Philosophie so herausfordernd, stimulierend und innovativ gewirkt wie die Mathematik. Seit der Antike haben die ma?gebenden Philosophen vielf?ltige mathematische Spuren in ihrem philosophischen Werk hinterlassen. Diesen Spuren soll hier in dreifacher Hinsicht nachgegangen werden: Spurensuche – Spurensicherung – Spurendeutung. Exemplarisch wird an sieben Philosophen aufgezeigt, da? und wie jeweils ein subtiler Begründungszusammenhang besteht zwischen der Art und Weise des Zugriffs auf Mathematik sowie der Konzeption und Entfaltung des eigenen philosophischen Entwurfs. Eingegangen am 21.12.1998 / Angenommen am 26.02.1999     

Der Stein-Chensche Ansatz zur Poisson-Approximation und zum Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes

Zusammenfassung.   Befa?t man sich in der Didaktik mit stochastischen Fragestellungen, so ben?tigt man bei Anwendungen früher oder sp?ter den Zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ein Beweis seiner allgemeinen Fassung wird dabei nirgendwo ausgeführt, denn “dieser Satz ist schwer zu beweisen” (Scheid [11], Seite 103). Siehe dazu auch Krickeberg-Ziezold [8], Seite 106: “Der Beweis dieses Satzes bedarf allerdings zu vieler analytischer Hilfsmittel, als da? er im Rahmen dieses Buches pr?sentiert werden k?nnte“. Mit Hilfe der Steinschen Methode leiten wir auf elementare Art und Weise eine Fehlerschranke her, die die klassische Form des Zentralen Grenzwertsatzes sowie einen Spezialfall des Satzes von Berry-Esséen über die dort vorliegende Konvergenzordnung impliziert. Dabei wird beim Beweis neben einfachen Umformungen nur der Satz von Fubini über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge bei Mehrfachintegralen ben?tigt. Im Zusammenhang mit der Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung wurde die Steinsche Methode zuerst von Chen [5] angewandt; die lange gesuchte “optimale” Fehlerschranke leiteten schlie?lich Barbour und Hall [2] her. Verwiesen sei in diesem Zusammenhang insbesondere auf das Buch von Barbour et al. [3]. Einen Gesamtüberblick über beide Themenkreise, die vielf?ltigen weiteren Anwendungen der Steinschen Methode und ausführliche Literaturhinweise findet man bei Barbour [1]. Hier wollen wir über den Begriff der Strukturfunktionen beide Ans?tze soweit wie m?glich vereinheitlichen und die faszinierende Idee sowie die elementaren Beweise einem breiteren Publikum vorstellen. Eingegangen 06.12.1996 / Angenommen 06.03.1998     

Methoden der Kombinatorischen Geometrie „im Einsatz”

Zusammenfassung. An Hand von drei Beispielen wird gezeigt bzw. skizziert, wie sich Methoden der diskreten Geometrie in anderen Gebieten der Mathematik einsetzen lassen: (1) Triangulierungen von Gitterpolytopen führen zu Aufl?sungen von torischen Singularit?ten; (2) die Kombinatorik und Kohomologie von Arrangements findet sich in der Analyse der Konfigurationsr?umen von Sph?ren; und (3) Kreispackungen liefern einen interessanten Ansatz zum Verst?ndnis und zur Konstruktion von konformen Abbildungen. Eingegangen am 23.09.1998 / Angenommen am 24.03.1999     

Topologie verallgemeinerter Kegelschnitte

Zusammenfassung. Wir verallgemeinern eine Definition von Kegelschnitten, indem wir mehr als zwei Brennpunkte und Gewichte zulassen, vgl. [7, 12, 6, 11], und wir betrachten Punktemengen in beliebigen Normen, vgl. [4]. Wir überprüfen verschiedene Eigenschaften klassischer Kegelschnitte auf ihre Gültigkeit für verallgemeinerte Kegelschnitte hin. Insbesondere zeigen wir z.B. für positive Gewichte, da? das Innere der verallgemeinerten Kegelschnitte konvex ist, da? diese Mengen bzgl. der Inklusion total geordnet sind und eine kleinste nichtleere Menge enthalten. Schlie?lich teilen wir die verallgemeinerten Kegelschnitte in verschiedene Klassen ein, die als Verallgemeinerungen von Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln aufgefa?t werden k?nnen und eine neue Klasse, die kein „klassisches” Analogon hat. Eingegangen am: 10.1.1996 / Angenommen am: 23.9.1996     

Eine Ergänzung zum Bericht über Geometrie der Kommission Kahane: das Beispiel der affinen Geometrie im Collège

Zusammenfassung. Der nachfolgende Artikel ist aus der Arbeit der Kommission Kahane hervorgegangen, die in den letzten Jahren im Auftrag der franz?sischen Regierung über Ver?nderungen des Mathematikunterrichts nachgedacht hat. Sein Gegenstand ist die Mittelstufengeometrie, die in Frankreich bisher vor allem durch eine Betonung des Abbildungsgedankens sowie durch frühe Verwendung von Vektoren gepr?gt war. Gezeigt wird, wie sich wichtige S?tze derselben (Strahlensatz, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, Ceva, Menelaos) mit Hilfe von vier fundamentalen Lemmata, die auf der affinen Semi-Invarianz des Fl?cheninhaltes beruhen, beweisen lassen. Die theoretischen Grundlagen dieser Semi-Invarianz werden im Sinne der Invariantentheorie im Anhang 1 entwickelt. Weiter wird die Theorie der Zerlegungs- und Erg?nzungsgleichheit, insbesondere der Satz von Bolyai-Gerwien, im Anhang 2 erl?utert. Eingegangen am 3. Mai 2001 / Angenommen am 10. September 2001     

„ ... das Wesen der reinen Mathematik verherrlichen”

Zusammenfassung. C.G.J. Jacobi geh?rt zu den pr?genden Gestaltern der Mathematik in der ersten H?lfte des 19. Jahrhunderts. Dies gilt für seine Forschungs- und Lehrt?tigkeit, aber auch für sein Mathematikverst?ndnis allgemein. Mit seiner Konzeption der Mathematik als einer autonomen, reinen, d.h. erfahrungs- und anwendungsunabh?ngigen Mathematik grenzt er sich insbesondere explizit gegen die zeitgen?ssische franz?sische Tradition ab. Im Kontext dieser Wissenschaftsauffassung versucht er, Antworten auf die Fragen nach dem Grund des Fortschritts der Mathematik und ihrer Anwendbarkeit zur Beschreibung der Realit?t zu formulieren. Im vorliegenden Beitrag werden Jacobis diesbezügliche Anschauungen und ihre Ver?nderungen dargestellt und vor dem Hintergrund der zeitgen?ssischen Mathematik und Philosophie analysiert. Im Mittelpunkt steht dabei das ausführlichste von Jacobi erhaltene Dokument zum Themenkomplex: eine lateinische Rede, die er zum Eintritt in die K?nigsberger philosophische Fakult?t im Jahre 1832 hielt. Diese Rede wird hier erstmals in deutscher übersetzung wiedergegeben und ausführlich kommentiert. Eingegangen am 21.6.1994 / Angenommen am 14.10.1994     

Normen zur Charakterisierung der schwach*-Konvergenz beschränkter Folgen

Zusammenfassung. Wir zeigen, wie sich die schwach*-Konvergenz beschr?nkter Folgen eines Dualraums X' durch Normen charakterisieren l?sst, sofern der Pr?dualraum X separabel ist. Auf diese Weise lassen sich interessante Anwendungen der schwach*-Topologie bereits aus der Theorie normierter R?ume herleiten – ein Vorteil etwa für einführende Vorlesungen in die lineare Funktionalanalysis, in welcher lokalkonvexe R?ume nicht thematisiert werden k?nnen. Wir diskutieren die Anwendung des Satzes von Krein-Milman in seiner Fassung für normierte R?ume und geben elementare Beweise des Lemmas von Schur sowie einer Verallgemeinerung des Riemann-Lebesgue'schen Lemmas. Eingegangen am 16. Februar 2001 / Angenommen am 15. Mai 2001