Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I

Zusammenfassung Der in der Ergodentheorie der Strömungen fundamentale Satz vonAmbrose [2] über die Darstellung meßbarer Strömungen durch Strömungen unter einer Funktion wird in verschiedener Hinsicht verallgemeinert. Im vorliegenden Teil I der Arbeit betrachten wir konservative und dissipative Strömungen in -endlichen Maßräumen. Für dissipative Strömungen wird durch unseren Satz das Isomorphieproblem auf ein unter schwachen Regularitätsbedingungen gelöstes Problem zurückgeführt.Der Darstellungssatz für konservative Strömmungen gestattet analog zu [1] die Beantwortung von Fragen über die Entropie konservativer Strömungen [8]. Darauf gehen wir in einem folgenden Teil II der Arbeit näher ein, in dem wir allgemeiner Halbströmungen betrachten. Die Darstellungssätze für Halbströmungen (und ihre Beweise) sind jedoch soviel komplizierter, daß es zweckmäßig erschien, die hier behandelten Sätze gesondert zu veröffentlichen, zumal der Spezialfall von Strömungen weitergehende Aussagen (Satz 3.2) gestattet.     

Laminar-turbulent transition

Zusammenfassung Die Bewegungsgleichungen eines Teilchens, auf das kleine statistische Störkräfte wirken, werden für laminare Strömungen gelöst. Das Teilchen wird mit Flüssigkeitsballen identifiziert, wie sie in der turbulenten Strömung vollkommen ausgebildet sind, aber im laminaren Bereich in subkritischer Grösse schon vorkommen können. Als Stabilitätskriterium wird eine Bedingung hergeleitet, für die das mittlere Verschiebungsquadrat schnell wächst. Es wird gezeigt, wie aus den Gleichungen die wohlbekannten Stabilitätsgesetze für Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkten folgen. Die kritische Grösse eines Geschwindigkeitsballens in der Nähe des Umschlagpunktes ist wahrscheinlich identisch mit den kleinsten Turbulenzelementen. Es wird eine Formel hergeleitet für die Brownsche Bewegung in Strömungen.     

On a singular perturbation problem in magnetohydrodynamics

Zusammenfassung Die Strömung einer zähen, inkompressiblen und elektrisch leitenden Flüssigkeit über einen rotationssymmetrischen Körper wird studiert mit Hilfe einer singulären Methode der Störungsrechnung. Eine asymptotische, im ganzen Strömungsfeld gültige Lösung wird gegeben für grosse Hartmann-ZahlenM.Die Resultate ergeben folgendes Strömungsbild: Zwei Totwasser-Bereiche von der LängeO (M) und der BreiteO (1) werden vor und nach dem Körper geformt. Sie sind begrenzt durch eine zylindrische Schubschicht, die vom grössten Durchmesser des Körpers aus parabolisch stromaufwärts und stromabwärts anwächst. In einer Entfernung der GrössenordnungO (M) geht diese Schubschicht in eine Wirbelstrasse über, die sich parabolisch ins Unendliche erstreckt. Die Einzelheiten des Strömungsbildes werden analytisch aufgezeigt. Die Wirbelstrasse wird mit derjenigen der klassischen Navier-Stokes-Theorie verglichen.     

Rotational-flow analysis of plane right-angle bends

Zusammenfassung Nach einem Verfahren, das als Methode der gefrorenen Wirbel bezeichnet wird, werden ebene Strömungen durch einen Krümmer berechnet. Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin, die Wirbelstärke näherungsweise als eine Funktion der Stromfunktion allein anzusetzen. Man wird so auf eine Poisson-Gleichung für die Stromfunktion geführt. Die Rechnungen werden durchgeführt für Geschwindigkeitsverteilungen im Eintrittsquerschnitt, die der ausgebildeten laminaren und turbulenten Strömung entsprechen. Am Beispiel der Laminarströmung wird der Einfluss vorgegebener Wirbelverteilungen und Ausflussbedingungen auf die Strömung in den verschiedenen Bereichen des durchströmten Raumes untersucht. Bei den Berechnungen mit Geschwindigkeitsprofilen, die der turbulenten Strömung entsprechen, wurden zudem die Einflüsse der Krümmung und der Art der Zuströmung betrachtet, wobei der Krümmungsradius vom 0,75fachen bis zum 4fachen der Kanalbreite variiert wurde. Das Verhältnis des Mittelwertes der Geschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt zur Geschwindigkeit in der Mitte dieses Querschnittes erweist sich dabei als ein hydrodynamisch charakteristischer Parameter, während die Annahmen über die Geschwindigkeitsverteilung am Austritt nur von geringfügigem Einfluss sind. Bei scharfer Krümmung und ungleichmässigen Geschwindigkeitsprofilen tritt Strömungsablösung an der Aussenwand auf. Ablösungserscheinungen an der Innenwand — die praktisch beobachtet werden — liefert diese Theorie nicht, womit die Grenzen ihrer Anwendbarkeit in Erscheinung treten.     

Nonideal magnetogasdynamic flows in boundary layer approximation

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden schwach konvergierende und schwach divergierende MGD-Strömungen in der Grenzschichtnäherung untersucht. Das Verhalten dieser magnetischen Grenzschicht, charakterisiert durch alleinige Berücksichtigung der magnetischen Viskosität und Vernachlässigung der dynamischen Viskosität, wird durch die starke Kopplung zwischen Magnetfeld und Strömungsfeld bestimmt. Es werden im allgemeinen durch diese Kopplung die MGD-Grenzschichtgleichungen komplizierter, so dass deren analytische Lösung nur mit Hilfe von Ähnlichkeitstransformationen möglich ist. Nur im GrenzfallR _M (magnetische Reynoldszahl sehr gross) erhält man eine analytische Lösung. Mit Hilfe bestimmter Symmetriebedingungen werden die Lösungen auf symmetrische Strömungen eingeschränkt (freier Strahl oder Kanalströmungen). Schliesslich wird noch gezeigt, dass die endliche elektrische Leitfähigkeit die Ursache der freien Turbulenz gewisser Jet-Konfigurationen ist.

---

---

This research has been sponsored in part by the United States Government under Contract No. F61052-67-C-0014.     

On tensor rates in continuum mechanics

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass Tensorgeschwindigkeiten materiell objektiv sind, wenn sie von den Geschwindigkeiten ihrer Abbildung in einer festen Konfiguration abgeleitet sind. Höhere Geschwindigkeiten werden formuliert, und eine höhere Jaumanngeschwindigkeit wird definiert, die gegenüber der vonPrager kürzlich eingeführten Definition gewisse Vorteile aufweist.Bekannte Stabilitätskriterien für Körper, deren Randbedingungen gegebene Kräfte enthalten, werden auf Grund des Druckerschen Postulats bestätigt, und neue Kriterien werden für Körper unter anderen Randbedingungen entwickelt.Allgemeine bewegliche räumliche Koordinatsysteme werden schliesslich eingeführt, und die zugehörigen Tensorgeschwindigkeitskomponenten werden mit Rücksicht auf grösste Einfachheit abgeleitet.

---

---

This work was sponsored by the National Science Foundation.     

A new method of numerical calculation for stagnation point flows

Zusammenfassung Bei der Berechnung von zweidimensionalen inkompressiblen Potentialströmungen um abgerundete und symmetrische Körper erhält man einen Annäherungswert für den Bereich nahe dem Staupunkt, indem man annimmt, dass die Strömungsart dieselbe ist wie die um einen Kreiszylinder.Mit der Eingliederung dieses Verfahrens in Thom's Squaring Verfahren kann man dann die Berechnung leicht mit Hilfe eines elektronischen Computers durchführen. Dieses Verfahren könnte nützlich sein für eine Annäherungsauswertung ohne unangemessene Verfeinerung des Netzes im Strombereich.     

Two dimensional flow with constant shear past cylinders with various cross sections

Zusammenfassung Tsiens Methode, die Stromfunktion für Strömung mit konstanter Drehung an einem Zylinder vorbei festzustellen, wird erweitert, um Gebrauch von den natürlichen Koordinaten des Systems zu machen. Das modifizierte Verfahren wird gebraucht, um die Stromfunktionen für Strömung mit Drehung an elliptischen und parabolischen Zylindern und an einer ebenen Platte vorbei festzustellen. Die Hauptzüge der Strömungsfelder werden untersucht; man richtet besondere Aufmerksamkeit auf die Positionen der Staupunkte. Als ein äusserst wichtiger Parameter in dieser Studie erweist sich die dimensionslose ZahlN=U/l, woU undl respektiv eine typische Geschwindigkeit und Länge im Felde sind und die Drehung ist.     

Weak fluctuation modes of an electrically and thermally conducting viscous compressible flow in a homogeneous magnetic field

Zusammenfassung Eine Perturbationstheorie erster Ordnung zeigt, daß die Gleichungen, die die Bewegung eines elektrisch und thermisch leitenden zähen kompressiblen Strömungsfeldes bestimmen, welches endliche elektrische Leitfähigkeit hat, vier verschiedene Typen von Störungsfeldern enthalten kann; diese werden von vier unabhängigen partiellen Differentialgleichungen bestimmt. Die drei ersten Typen sind: Wirbel-Stromdichte- und magnetisch-akustische Wellen-Typen. Sie sind hyperbolischer Art und pflanzen sich nicht isotrop als Wellen fort. Der vierte Typ ist ein Entropie-Typ, der sich nicht ausbreitet und der von einer parabolischen Gleichung bestimmt wird. Jeder dieser verschiedenen Typen kann nicht weiter zerlegt werden wie im Falle inkompressibler Strömung. Zusätzlich wird gezeigt, daß die magnetisch-akustischen Wellen im Falle endlicher elektrischer Leitfähigkeit neue und interessante Eigenschaften besitzen.     

Slow broad side motion of a flat plate in a viscous liquid

Zusammenfassung Das Problem der langsamen Querbewegung einer ebenen Platte in einer zähen Flüssigkeit ist zurückgeführt worden auf ein Problem der Elektrostatik. Die Geschwindigkeitskomponenten und der Druck können berechnet werden aus einer Funktion , die als die gleiche erscheint wie das elektrostatische Potential einer Platte unter konstantem Potential im Vakuum. Die Strömungsverhältnisse an einer Platte vom allgemeinen Umriss können mit Hilfe der Experimente auf Grund dieser Analogie bestimmt werden. Der Fall einer kreisrunden Platte wurde analytisch behandelt mit Hilfe der Abbildungen.     

Turbulent boundary layers with large streamline curvature effects

It has been shown that turbulent flows are greatly affected by streamline curvature. In spite of this and the fact that curved shear flows are frequently encountered in engineering applications, the predictions of such flows are relatively less developed than the predictions of two-dimensional plane flows. Recently, various attempts were made by different investigators; however, their methods are only successful when the product of the boundary layer thickness to the local surface curvature |k| is 0.05. The present paper investigates the more general case where 0.1|k|0.5. Results show that the calculated boundary-layer characteristics for arbitrary free stream conditions are in good agreement with measurements.

---

Zusammenfassung Es ist gezeigt worden, dass turbulente Strömungen durch eine stromlinienförmige Krümmung stark beeinflusst werden. Trotzdem und trotz der Tatsache, dass gekrümmte Randströmungen häufig bei technischen Anwendungen gefunden werden, sind die Vorhersagen solcher Strömungen verhältnismässig weniger entwickelt als die Vorhersagen zweidimensionaler ebener Strömungen. In letzter Zeit sind von verschiedenen Forschern Versuche in dieser Richtung unternommen worden; jedoch waren ihre Methoden nur dann erfolgreich, wenn das Verhältnis der Grenzschichtdicke zur bestimmten örtlichen Oberflächenkrümmung |k|0,05 ist. Die vorgelegte Arbeit untersucht den allgemeineren Fall, bei dem 0,1|k|0,5 ist. Die Resultate zeigen, dass sich die berechneten Grenzschichteigenschaften für beliebig freie Strömungsbedingungen in befriedigender Uebereinstimmung mit den Messungen befinden.

     

A second moment closure model for MHD turbulence

A second moment turbulence closure model of the type used before for flows with density stratification, frame rotation and streamline curvature is augmented to describe MHD flows with small magnetic Reynolds number. It is shown that all three configurations of the constant unidirectional magnetic field (longitudinal, transverse and azimuthal) suppress the components of the Reynolds stress tensor as well as turbulence energy. Criterions are derived for the extinction of 3-D turbulence based on magnetic Richardson numbers. Monin-Obukhov type similarity theory is developed for MHD turbulent flows. The combined effect of longitudinal magnetic field and spanwise rotation is considered. A discussion is presented on the extra strains exerted by the electromagnetic force compared to the effects of buoyancy, frame rotation and streamline curvature.

---

Zusammenfassung Ein Turbulenzmodell mit Schlieung zweiter Ordnung, das bisher für Strömungen mit Dichteschichtung, rotierenden Bezugssystem und gekrümmten Stromlinien benutzt wurde, wird hier zur Beschreibung von MHD-Strömungen mit kleiner magnetischer Reynoldszahl erweitert. Es wird gezeigt, da alle drei Anordnungen eines konstanten, in einer Richtung verlaufenden Magnetfeldes (longitudinal, transversal und azimuthal) sowohl die Komponenten des Reynoldsschen Schubspannungstensors als auch die turbulente Energie reduzieren. Es werden Kriterien für die Auslöschung der 3D-Turbulenz abgeleitet, die auf der magnetischen Richardsonzahl beruhen, Für turbulente MHD-Strömungen wird eine Ähnlichkeitstheorie vom Monin-Obukhov Typ entwickelt. Der kombinierte Effekt von longitudinalen Magnetfeld und Rotation senkrecht zur Strömungsrichtung wird betrachtet. Die durch die elektromagnetische Kraft bewirkte zusätzliche Deformation wird im Vergleich zu den Effekten von Auftrieb, Rotation des Bezugssystems und Krümmung der Stromlinien diskutiert.

     

On inertial wave and flow structure at low Rossby number

Flow disturbances produced by the slow relative motion of an impermeable body in a large, rapidly rotating vessel are studied as an asymptotic theory for an inviscid, incompressible fluid at a small Rossby number (u _c /L1). The axial distance between the vessel wallsH is assumed to be so much larger than the body scaleL that the reduced height H/L is of unit order or greater. This flow admits a columnar structure near the body and an outer nonlinear structure of the inertial-wave type far above the forcing region, at distances along the rotation-axis (z=0(L/)). The inner boundary condition for the outer problem is provided by transferring the impermeable surface condition through the columnar structure; the outer solution in turn determines the vorticity and the solution of the columnar inner region.For thin obstacles or shallow ground topography (1), the outer solution is governed by an equation comparable to a linear one for inertial waves. The linear solutions obtained for steady transverse motion in an infinite domain () shows that, in this case, surface (perturbation) velocities are orthogonal to those in an irrotational (non-rotating) flow over the same ground topography. In the far field, i.e., ( z/L l) disturbances are confined mainly behind a wedge-shaped caustic front downstream of the rotation axis , wherein their amplitudes are comparable to , in general accord with Lighthill's result from group-velocity consideration. The field behind the caustic supports, however, lee waves extending far downstream with diminishing strength. Their wave lengths belong to orderLz/x, and therefore these waves should appear to be densely packed in the wedge-shaped region. The question on tilting of the Taylor column is delineated; the structure of the caustic zone and its upstream flow behavior are also analyzed.

---

Zusammenfassung Die Strömung um einen Körper, der sich langsam in einem grossen, rotierenden Behälter bewegt, wird untersucht mit einer asymptotischen Theorie für eine reibungsfreie, inkompressible Flüssigkeit bei einer kleinen Rossby-Zahl, d.h. u _c /L1. Der axiale AbstandH zwischen den Gefässwänden wird als soviel grösser als die Körperabmessung angenommen, dass für die reduzierte Höhe =H/L 0(1) gilt. Diese Strömung erlaubt eine säulenähnliche Struktur (Taylor column) in Körpernähe und eine äussere, nichtlineare Struktur vom Wellentyp für Höhenz=0(L/) über dem Köper. Die innere Randbedingung für das äussere Problem wird erhalten, indem die Bedingung an der Wand durch die Säule verschoben wird. Die äussere Lösung bestimmt ihrerseits die Rotation und damit die Lösung im inneren, säulenartigen Bereich.Wenn Körper oder Bodenform flach sind (1), so wird die Aussenlösung durch eine Gleichung bestimmt, welche vergleichbar ist mit einer linearen Gleichung für Trägheitswellen. Lineare Lösungen werden für gleichförmige Bewegung von der Achse weg in einem unbegrenzten Bereich ) gegeben. Sie zeigen, dass die Oberflächenstromlinien orthogonal zu den Stromlinien sind, die bei rotationsfreier (nichtdrehender) Strömung über der gleichen Bodenform entstehen. Im Fernfeld ( z/L l) sind Störungen hauptsächlich auf ein keilförmiges Gebiet stromabwärts von der Rotationsachse ( ) begrenzt. In diesem Gebiet geht ihre Amplitude mit , in Uebereinstimmung mit Lighthill's Resultat, das mit der Gruppengeschwindigkeit hergeleitet wurde. Im keiförmigen Gebiet bestehen drei Familien von Lee-Wellen, welche sich mit unveränderter Stärke weit stromabwärts erstrecken. Ihre Wellenlängen gehören zur OrdnungLx/z, weshalb die Wellen im keilförmigen Bereich dicht gepackt erscheinen. Die Frage der Neigung der Taylor Säule behandelt und die Struktur des Randes vom keilförmigen Bereich wird analysiert.

---

---

This work is dedicated to Professor Nicholas Rott on the occasion of his sixtieth birthday.     

On an integral method for backward boundary layers

Zusammenfassung Eine Integralmethode für die Lösung von zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen wird entwickelt für Fälle, in denen die Lösungen sich anfänglich wie diejenigen von End-Grenzschichten benehmen. Diese Lösungen sind von Goldstein behandelt worden. Die bedeutendste Anwendung betrifft den Fall, wo ein zweidimensionaler Strom gegen eine Öffnung fliesst, durch welche die Flüssigkeit entleert wird. In erster Annäherung wird die Grenzschichtströmung für grosse Entfernungen von der Öffnung durch die Ähnlichkeitsgesetze der konvergenten Strömung in einem keilförmigen Kanal beschrieben. Um Strömungen dieser Art zu studieren, die über lange Entfernungen laufen, wird die Geschwindigkeit am Rande der Grenzschicht an Stelle der Entfernung längs der Grenzschicht als unabhängige Veränderliche eingeführt. Die beschriebene Methode wird auf den Fall der Strömung in Richtung eines Schlitzes angewendet, ausgehend von einem unendlichen Halbraum, ferner auf den Fall einer Strömung um eine endliche Platte, die senkrecht zur Strömungsrichtung steht. In beiden Beispielen ist die Potentialströmung in der Form des Kirchhoff-Rayleighschen Gesetzes angenommen, wobei die freien Stromlinien an die scharfen Kanten gebunden sind. Die Methode wird verallgemeinert, so dass sie für allgemeinere End-Grenzschichten benutzt werden kann. Die Resultate stimmen ausgezeichnet mit denen der Methode von Thwaites sowie mit den Ähnlichkeitslösungen von Falkner-Skan überein.     

Computation of turbulent asymmetric trailing-edge flows

Turbulent compressible flow past an asymmetric trailing edge has been computed using the generalised-coordinate time-split group finite-element method and a lagged algebraic eddy viscosity turbulence model. The test case considered is that of a flow at a nominal Mach number of 0.4 and a Reynolds number of 26.2×10⁶. Mean velocity profiles and the displacement thickness distribution are in good agreement with the experimental results. The pressure and surface shear stress indicate reasonable agreement with the experimental results, except near the shoulder on the upper surface.

---

Zusammenfassung Die Methode der finiten Elemente in verallgemeinerten Koordinaten mit time-split wird benützt, um die kompressible Strömung an einer unsymmetrischen Hinterkante zu berechnen. Das Turbulenz-Modell benützt eine zeitverzögerte algebraische turbulente Zähigkeit. Der Testfall ist eine Strömung mit der nominellen Machzahl 0.4 und der Reynoldszahl 26.2×10⁶. Mittlere Geschwindigkeitsprofile und die Verteilung der Verdrängungsdicke stimmen mit den experimentellen Resultaten gut überein. Der Druck und die Wandschubspannung zeigen eine vernünftige Übereinstimmung mit den experimentellen Werten, mit Ausnahme der Umgebung der Schulter auf der Oberseite.

     

The hydromagnetic viscous boundary layer at the free surface of a rotating baroclinic fluid

Steady, linear hydromagnetic boundary layer at the free surface of a rotating baroclinic fluid is analysed under Boussinesq approximation. The flow is driven by the buoyancy forces which exist due to the density variations associated with baroclinicity. Meridional circulations of mass flux and electric current flux occur due to the boundary layer suction as well as due to the hydromagnetic effects. The boundary layer suction dominates and the dynamics of the flow reduce to that of nonmagnetic case for ²<O(E), whereE is the Ekman number and ² (=B ₀ ² /) is the magnetic interaction parameter, which represents the ratio of hydromagnetic to Coriolis forces. When ²>O(E), meridional circulation induced in the interior due to hydromagnetic effects is stronger than that can be supported by the boundary layer. The electric current flux through the interior is stronger for any value of than that can be supported by the boundary layer. Further it is argued that hydromagnetic effects suppress the laminated flow (v/z0) in the interior. As a result, the meridional circulations are strong when =O(1).

---

Zusammenfassung Die stationäre lineare hydromagnetische Grenzschicht an der freien Oberfläche eines rotierenden, baroklinischen Fluids wird mit Hilfe der Boussinesq-Näherung untersucht. Die Strömung wird durch die Auftriebskräfte angetrieben, die durch die baroklinischen Dichte-Variationen verursacht werden. Die meridionale Zirkulation des Massenstromes und des elektrischen Stromes wird durch die Grenzschicht-Saugwirkung und durch hydromagnetische Effekte erzeugt. Die Grenzschicht-Saugwirkung dominiert und die Strömung reduziert sich auf den nicht-magnetischen Fall für ²<O(E); dabei istE die Ekman-Zahl und ² (=B ₀ ² /) ist der magnetische Kopplungs-Parameter, der das Verhältnis der hydromagnetischen zu den Coriolis-Kräften gibt. Wenn ²>O(E) ist, wird die meridionale Zirkulation, die durch hydromagnetische Effekte erzeugt worden ist, stärker als die, welche durch Grenzschichten erzeugt werden kann. Der elektrische Strom im Innern ist für alle Werte von größer als der Wert den die Grenzschicht verursacht. Weiterhin wird gezeigt, daß hydromagnetische Effekte die Laminal-Strömung (v/z0) im Innern unterdrückt. Es ergibt sich, daß die meridionalen Zirkulationen stark sind für =O(1).

     

Heat transfer modeling for turbulent shear flows on curved surfaces

This paper examines two models for two-dimensional curved flow heat transfer. Both models are based on the assumption of local-equilibrium turbulence. Yet, one model predicts an increase for the turbulent Prandtl number with convex curvature, while the other gives the opposite behavior. Through examination of the near wall temperature profiles, it is possible to identify the correct behavior for turbulent Prandtl number. It is found that the turbulent Prandtl number for curved flows increases with convex curvature. The discrepancy between the two models is traced to the modeling terms proposed for the pressure-temperature-gradient correlation and for wall corrections. While the introduction of the rapid component and the wall corrections in the modeling of the pressure-strain correlation do not affect the behavior of the resultant shear stress, these modeling terms in the pressure-temperature-gradient correlation cause the turbulent Prandtl number to decrease with convex curvature.

---

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden zwei Modelle für zweidimensionale Wärmeübertragung in gekrümmten Strömungen untersucht. Beide Modelle basieren auf der Annahme von lokalem Gleichgewicht innerhalb der turbulenten Strömung. Trotzdem resultiert das eine Modell in einer Erhöhung der turbulenten Prandtl-Zahl für konvexe Krümmungen, während das zweite Modell genau das Gegenteil vorhersagt. Es ist möglich, durch Untersuchung des Temperaturprofiles in Wandnähe das korrekte Verhalten der turbulenten Prandtl-Zahl zu identifizieren. Es stellt sich dabei heraus, daß die turbulente Prandtl-Zahl für gekrümmte Strömungen in konvexen Kurven zunimmt. Der Widerspruch zwischen den beiden Modellen läßt sich auf die Abbildungsausdrücke zurückführen, die für die Wechselbeziehungen zwischen den Druck- und Temperaturgradienten und die für die Wandkorrekturen angesetzt worden sind. Während die Einführung der schnellen Komponente und die Wandkorrekturen in der Darstellung der Wechselbeziehung zwischen Druck und Beanspruchung keinen Einfluß auf das Verhalten des resultierenden Schubdruckes haben, verursachen diese Darstellungsausdrücke für die Wechselbeziehung zwischen Druck- und Temperaturgradienten ein Abnehmen der turbulenten Prandtl-Zahl für konvexe Kurven.

     

Parameters of the periodic response of a system with friction-affected constraints and harmonic excitation

Summary The periodic response of a single-freedom multi-body system with friction-affected constraints acted upon by a harmonic excitation is determined by numerical simulation. The contribution of the constraints to the generalized friction force, the influence of gravity and zero-gravity environment, and the consequences, when several constraints are considered without friction, are investigated. The effects of a small artificial damping on the response, and the possibilities of an equivalent damping for the friction-affected constraints are also examined.

---

Zusammenfassung Die periodische Bewegung eines Mehrkörpersystems mit einem Freiheitsgrad und reibungsbehafteten Bindungen bei harmonischer Erregung wird durch numerische Simulation bestimmt. Untersucht werden der Beitrag der Bindungen zur verallgemeinerten Reibungskraft, der Einfluß des Schwerefeldes und der Schwerelosigkeit und die Folgen, wenn einige Bindungen als reibungsfrei angenommen werden. Die Auswirkungen einer kleinen künstlichen Dämpfung auf die Bewegung, und die Möglichkeiten einer äquivalenten Dämpfung an Stelle der reibungsbehafteten Bindungen wird auch untersucht.

     

Die fünf Diskursebenen: vom inhaltlichen zum formalen mathematischen Denken und zurück

Zusammenfassung. Warum wird die Mathematik in der Schule oft nicht verstanden? Werden beim Übergang von realen Erfahrungen zur Theorie die Schritte im Prozess der Modellbildung nicht bewusst genug gemacht und deren Sinn nicht explizit reflektiert? Kann oder muss man wissenschaftliches Vorgehen in der Schule verdeutlichen? Auf dem Weg vom Beschreiben physischer Gegebenheiten zu einer axiomatisch fundierten mathematischen Theorie kann man vier inhaltliche Argumentationsebenen unterscheiden; daneben tritt in der Mathematik interpretationsfreies Manipulieren von Symbolen. Diese Diskursebenen werden an Beispielen aus der Geometrie (Satz des Pythagoras und Höhenschnittpunktsatz) erläutert. Ein Wechsel der Argumentationsbasis sollte vom Lehrer in Schule und Hochschule bewusst vollzogen werden.     

Momentum-flux condition for Landau-Squire jet flow

For a class of similarity solutions of the Navier-Stokes equations called general Slezkin flow, explicit expressions are derived for the components of the momentum-flux tensor. Remarkably enough some of the components depend only on the coefficients of the governing differential equation. Closely related is the introduction of a jet condition, that has to be satisfied a priori by a Landau-Squire jet flow. The new criterion is applied to some jet flows proposed in the literature.

---

Zusammenfassung Für eine Klasse von Ähnlichkeitslösungen der Navier-Stokesschen Gleichungen, allgemeine Slezkinsche Strömung genannt, werden explizite Ausdrücke für die Komponenten des Impulsflux-Tensors hergeleitet. Überraschenderweise treten in einigen dieser Komponenten nur die Koeffizienten der die Strömung beherrschenden Differentialgleichung auf. In engem Zusammenhang damit steht die Einführung einer Strahlbedingung, welche von einer Landau-Squireschen Strahlströmung erfüllt werden soll. Das neue Kriterium wird auf einige in der Literatur vorgeschlagene Strahlströmungen angewendet.