正多面体外接球面上点的性质

文[1]、[2]分别介绍了正四面体和正六面体这两个正多面体外接球面上的点到各顶点距离的平方和成定值的有趣性质本文就这类问题再行讨论为引申问题方便起见，我们用如下证法替代文[1]、[2]对下面的性质1、2的证明方法。性质1正六面体外接球面上任一点到各顶点距离的平方和为定值．证明如图1，设正六面体ABCDA＇B＇C＇D＇的棱长为a，外接球心为O，P为外接球面上任意一点。显然，正六面体的对角线B＇D通过球心0，故∠B＇PD＝90°．因此，在△B＇PD中有性质2正四面体外接球面上任一点，到各顶点距离的平方和为定值．证明由于在图1中，三…     

正四面体外接球面上点的有趣性质

本文介绍正四面体外接球面上点的一个有趣性质,其论证过程十分巧妙。 性质 正四面体外接球面上任一点,到各顶点距离平方和为定值。 已知A—BCD是棱长为a的正四面体,P是其外接球面上任一点。     

矩形外接圆周上点的有趣性质

矩形外接圆周上点的有趣性质刘清阁（吉林省白城地区教育学院１３７０００）引理矩形外接圆周上任一点，到各顶点距离的平方和为定值，已知：如图１，Ｐ为矩形ＡＢＣＤ外接圆周上任一点，Ｏ半径为Ｒ．求证：ＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２＋ＰＤ２＝８Ｒ２．证由勾股定理易得结论...     

正方形对角线上点的性质及其应用

众所周知:正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形.如图1,设P为正方形ABCD对角线AC上的任意一点,由轴对称性,则有     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

中心对称多边形外接圆周上点的性质

笔者发现 ,中心对称的多边形外接圆周上的点具有如下性质 :中心对称多边形的每组对边上关于它的外接圆的对称点到过外接圆周上任一点的切线的距离之和为定值 .即命题 1　设中心对称的多边形Ａ1Ａ2 …Ａ2ｎ(ｎ≥ 2 )的外接圆Ｏ的半径为Ｒ ,ｌ为过圆周上任一点Ｐ的切线 .Ｍｉ 与Ｍｉ′为第ｉ组(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)对边上关于圆心Ｏ的对称点 ,且Ｍｉ 与Ｍｉ′到ｌ的距离分别为ＭｉＮｉ 与Ｍｉ′·Ｎｉ′ ,则∑ｎｉ=1(ＭｉＮｉ+Ｍｉ′·Ｎｉ′) =2ｎＲ为定值 .分析 :不失一般性 ,当ｎ =2时 ,即对中心对称的四边形的情况给出证明 .图 1　命题 1图证…     

球面四边形的性质

高中数学选修课程《球面上的几何》介绍了球面三角形的诸多性质,而对于球面四边形的性质讨论较少,本文将介绍球面四边形的一些基本性质,为此,我们先介绍球面四边形及其球面凸四边形的定义.     

圆锥曲线的两个性质

本文给出了圆锥曲线的两个共性,它使曾在许多书刊中出现的若干结论都为其特例．引理关于ｘ,ｙ的二元二次方程（１－ｅ２）ｘ２＋ｙ２－２ｐｘ＋ｐ２＝０（ｐ＞０,ｅ＞０）①当ｅ＝１时表示抛物线;当０＜ｅ＜１和ｅ＞１时分别表示以（ｐ１－ｅ２,０）为对称中心、以ｘ...     

双曲线渐近线上点的一组有趣性质

在数学学习中,若我们善于研究一些问题,则可发现一些具有规律性的结论,同时也锻炼我们的数学思维,提高我们的数学素养.为此,本文介绍双曲线渐近线上点的一组有趣的性质,供读者参考学习.     

三角形中线上点的一个性质及其推广

性质1如图1,在△PAB中,M是边AB的中点,Q是PM上的任意一点,过点Q的任意一条直线交边PA,PB于A′,B′,若PQ=t PM,PA′=x PA,PB′=y PB,则1x 1y=2t.证因为M是AB的中点,所以PM=12(PA PB).PQ=t2(PA PB)=t2(1xPA′ 1yPB′)=t2xPA′ t2yPB′.因为Q,A′,B′共线,所以t2x t2y=1,即1x 1y=2     

三角形中线上点的一个性质及其推广

性质1 如图1，在△PAB中，M是边AB的中点，Q是PM上的任意一点，过点Q的任意一条直线交边PA，     

圆锥曲线的两个性质

本文拟介绍圆锥曲线的两个性质.定理1已知圆锥曲线C的焦点为F1,F2,准线为l1,l2.P为曲线C上一点,过点P作平行于曲线C的对称轴的直线交l1,l2于点M,N,直线MF1,NF2交于点Q,则点P,F1,F2,Q四点共圆.证不妨设曲线C为椭圆,其方程为(x~2)/(a_2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0),则F1(-c,0),F2(c,0),设P(acosθ,bsinθ),N(a~2/c,bsinθ).     

等差数列的两个性质

性质1若等差数列的项数为奇数,前n项和为Sn,中间项为M(n为奇数),则Sn= Mn．证明中间项为M,2M=a1 an, Sn=(a1 an)n/2=2Mn/2=Mn．推论若数列的项数为奇数,则奇数项和S奇=n奇M(n奇为奇数项项数),偶数项之和S偶=n偶M(n偶为偶数项项数)．     

圆锥曲线的两个性质

本文拟介绍与切线有关的圆锥曲线的两个性质及推论．     

圆锥曲线的两个性质

本文拟介绍与切线有关的圆锥曲线的两个性质及推论.定理1若圆锥曲线的任意一条切线与两条定切线分别相交,则两交点与该圆锥曲图1定理1图线的同一个焦点连线的夹角为定角.证不妨设圆锥曲线为椭圆C,如图1,其方程为x2a2 y2b2=1(a>b>0),右焦点F(c,0),两条定切线与C分别切于两定点A(     

正多边形的两个性质

对于一个正n(n≥5)边形A1A2…An,过它的一个顶点A1连n-3条对角线,将这个正多边形分成n-2个三角形,本文给出有关这些三角形重心和垂心的两个性质. 性质1 设n-2个三角形的重心分别为W1,W2,…,Wn-2,则这n-2个点共圆.这个圆的圆心M在正多边形的外接圆过A1点的直径上,且圆心是直径的靠近A1点的一个三等分点. 图一和图二分别画出了n=8和n=9两种情形.     

中心对称的多边形的外接圆周上点的性质

笔者发现中心对称的多边形的外接圆周上的点具有性质：中心对称的多边形每组对边上关于它的外接圆心的对称点将各边分为成比例线段,则此圆周上任意点到各个对称点的距离的平方和为定值,即有如下命题。     

球面三角形中两个结论的另证

在高中数学选修课程《球面上的几何》第五讲——球面三角形的全等中,判定两个球面三角形全等的角边角(a,s,a)判定定理如下:如果两个球面三角形的两对角对应相等,且它们的夹边也相等,那么这两个球面三角形全等.     

例谈角平分线上点的性质的应用

笔者在探究一类问题的过程中,发现角平分线上的点有如下性质:图1性质如图1所示,P为∠AOB的角平分线OC上一点,且满足OP=d,过P作直线l交OA,OB于M,N两点,若∠AOB=2θ,则O1M O1N为定值2cdosθ.证明设∠MPO=α,则∠NPO=π-α,∠OMP=π-θ-α,∠ONP=θ-α,在△OPM中,由正弦定理知sOin     

矩形外接圆周上点的有趣性质的推广

矩形外接圆周上点的有趣性质的推广王玉怀（石家庄师专）文［１］给出了矩形外接圆周上点的有趣性质：“定理：矩形外接圆周上任一点到矩形各边中点的距离的平方和为定值”．本文将这一性质推广如下：定理矩形两组对边上关于它的外接圆圆心的对称点将各边分为成比例的线段...