一个立体几何定理的多种证法

高二数学教材立体几何部分有这样一个定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 下面我们来证明一下这个定理: 已知:如图1,a⊥a,b⊥a.求证:a∥6.     

莫利定理的一个新证法

莫利定理是三角形中的一个非常美秒的定理,如图、AB_o、AC_o、BA_o、BC_o、CA_o、CB_o、是△ABC的内角三等分线,则△A_oB_oC_o是正三角形。莫利定理的证明一般都用同一法,下面给出一种三角的证明。这里,要用到一个三角等式: sin30=4sinosin(π/3-o)sin(π/3 o) 运用三角函数的积化和差公式、即得 4sinosin(π/3-o)sin(π/3 o)     

一个平面几何定理的极坐标证法

定理一个凸四边形如果对进之和相等，那么有内切圆．证明如图以四边形ABCD的顶点C为极点，对角钱AC为极轴建立极坐标系．由于AB－BC＝DA－CD，则B、D为以A、C为焦点的双曲线同一支上两点．设B（ρ_1，θ_1）、D（ρ_2，θ_2），双曲线方程为注意到B点的双曲线的切线即为∠B的角平分线．而切线方程为因为仅需验证直线（*）在双曲线这一支的同一侧且过B点．实际上若得以验证．设tB、ZD的角平分钱交点为M（，6）则由即M在上C的角平分线上，所以四边形ABCD有内切圆．此证法把题设条件中的凸四边形推广到任意四边形，从而是本质的…     

积分中值定理的一个证法

积分中值定理是这样叙述的:设函数f(x)在[a,b]上连续,则在(a,b)内至少存分点ξ,使integral from n=a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a)目前各类高校教材及教学参考书,对该定理的证明通常都是利用积分估值定理与闭区间上连续函数的介值定理完成的.这种证法只能证出ξ∈[a,b],不能证出ξ∈[a,b].现介绍一种证法,分两步:     

柯西中值定理的一个证法

柯西中值定理是微分学中最主要定理之一,通常是利用罗尔定理来证明的。其证明难点在于构造辅助函数。本文给出了柯西中值定理的另一个证法:先给出一个简单的引理,再利用关于导函数的介值性的达布定理,证明柯西中值定理,从而可把罗尔定理和拉格朗日中值定理作为特殊情形。同时,在证明中构造的辅助函数,也较易于接受。     

Napoleon定理的一个初等证法

Napoleon定理是欧氏几何中最经典最奇妙的定理之一.这个定理的结论深刻地揭示了几何量之间的内在关系,同时也充分体现出几何图形的和谐美和对称美,为了让广大几何爱好者,进一步了解这个定理,欣赏这个定理,研究这个定理,本人在这里特给出如下一个初等证法,以飨读者.     

一个几何定理的四种证法

求证:平行四边形的对角线的平方和等于两邻边的平方和的两倍. (一)平面几何的方法: 如右图所示:已知「效4一一一了一飞ABCD为平行四边形,求证月C"+召D"二2(ADZ+月厅2) 证明:过D作DE一土月     

正多面体的分类定理的一个初等证法

在平面几何中，把各边等长而且诸内角皆相等的多边形定义为正多边形，易见正多边形有一个对称中心，它和其各顶点距离相等，而且正多边形的另一特征性质乃是其顶点共圆的等边多边形，同样地，在立体几何中，把各个面皆为互相全等的正多边形，而且各棱的两面角皆相等的多面体定义为正多面体（regular polyhedron）。     

四面体等周定理的一个初等证法

本文把三角形等周定理推广到空间。先证引理1 给定不共面三条平行线,在其中一条上取线段AB为定长,另两条上各取一点C,D,则四面体ABCD体积为定值,且当C,D位于AB的中垂面上时,△ACD与△BCD面积之和最小。引理2 若四面体一组对棱为a,a＇,距离为d,所成角为a,则四面体体积为V=(1/6)aa＇dsina 引理1的证明见[l],引理2为熟知事实。定理1 体积一定的四面体中,正四面体表面积最小。设四面体ABCD体积V一定,而面积最     

费马(分割)定理的一个简捷证法

费马(分割)定理 矩形ABCD的边AD=AB/2~(1/2),以AB为直径向外作半圆,取半圆上任意点P,连PC、PD交AB于E、F点,则AE2+BF2=AB2. 文(1)中给出了一个代数证法,但其过程冗长繁杂,难以阅读;文(2)将其改进,使其证法较易理解,本文将给出一个十分简捷的     

关于一个次线性逼近定理的新证法

Ｄｅｍｙａｎｏｖ和Ｒｕｂｉｎｏｖ在［１］中给出了一个次线性逼近定理．本文对该定理的证明进行了修正．     

立体几何中的一个"四角"定理

2007年高考浙江卷(理)试题(16) 　　已知点O在二面角M-AB-N的棱上,点P在M内,且∠POB=45°,若对于N内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角M-AB-N的大小是( )……     

一道立体几何高考题的九种证法

题目 :( 1991年“三南”高考题 )如图 1,已知在直三棱柱ＡＢＣ—Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,∠ＡＣＢ =90° ,∠ＢＡＣ =30° ,ＢＣ =1,ＡＡ1 =6 ,Ｍ是ＣＣ1的中点 .求证 :ＡＢ1 ⊥Ａ1 Ｍ .思路 1:利用三垂线定理证之 .易证Ｂ1 Ｃ1 ⊥面ＡＡ1 Ｃ1 ,可知ＡＣ1 是ＡＢ1 在面ＡＡ1 Ｃ1 内的射影 ,若能证Ａ1 Ｍ⊥ＡＣ1 ,由三垂线定理即知ＡＢ1 ⊥Ａ1 Ｍ ,问题转化为在矩形ＡＡ1 Ｃ1 Ｃ中 ,证Ａ1 Ｍ⊥ＡＣ1 .证法 1　 (等面积法 )在图 2中 ,ＡＡ1 =6 ,易求Ａ1 Ｃ1 =3,,ＭＣ1 =62 .在Ｒｔ△Ａ1 ＭＣ1 中 ,Ａ1 Ｍ =322 ,设Ａ1 Ｍ边上的高为ｈ ,由Ａ1 Ｃ1 ·Ｍ…     

蝴蝶定理的向量证法

贵刊《数学通报》2004年第1期刊登了周春荔的《蝴蝶定理》一文，笔者联想到中学新教材中的向量知识，于是，笔者尝试运用向量来证明蝴蝶定理，得到了如下的证明方法，希望能引起读者的兴趣。     

Farkas定理的新证法

本文用初等方法对著名的Farkas定理给出新的证明,避免了原有艰涩的证明过程,论述简单明了。     

二项式定理的新证法

高级中学课本代数第三册二项式定理的证明采用的是数学归纳法.本文用构造递推方程的方法给出二项式定理的两种证法,供同志们数学时参考.     

Johnson定理的向量证法

ｏｈｎｓｏｎ定理的向量证法仲盛（南京大学计算机系９６研２１００９３）美国数学家ＲｏｙｅｒＪｏｈｎｓｏｎ于１９１６年提出了以下的问题［１］：定理若三个半径为ｒ的圆都经过同一个点Ｏ，而另外三个交点为Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，则ΔＰ１Ｐ２Ｐ３的外接圆半径也是ｒ．此...     

替换定理的矩阵证法

本文给出了替换定理的一种新证法 ,并解决了具体的替换问题     

球面闭曲线总挠率定理的一个几何证法

本文用几何方法证明球面闭曲线总挠率定理,即“球面闭曲线的总挠率等于零”.     

罗尔定理的一种证法

《美国数学月报》曾刊登过罗尔定理的两种新证法.本文从罗尔定理的几何意义出发,给出另一种新的证明方法.