常见的数列递推关系及通项

在数列学习中 ,常常见到数列是由其递推关系确定的 ,根据递推关系求解通项 ,除用计算—猜想—证明的思路外 ,通常还可以对某些递推关系进行变换 ,转化成熟知的等差、等比数列或易于求出通项表达式的数列的问题来解决 ,下面举例说明几种常见的转化思路 .型 1　数列递推关系形如an +1=an+d(d为常数 ) .显然有an +1-an=d ,这就得到 {an}是等差数列 ,于是an=a1+ (n - 1)d .型 2　数列递推关系形如an +1=qan(q为非零常数 ) .显然有 an +1an=q(常数 ) ,即 {an}是等比数列 ,于是an=a1qn- 1.型 3　数列递推关系由an 与Sn 给出 ,可利用an=S1　　　　…     

数学日记三则——递推数列通项的求解

3月 1 9日　星期一今天 ,在“递推数列”的学习中 ,有一个例题 ,通过大家共同讨论 ,得到三种解法 .例题　已知数列 {ａｎ}满足 :ａ1=1,ａｎ 1=2ａｎ 1,求该数列的通项ａｎ.解法 1　由已知可得　ａ1=1,ａ2 =3,ａ3=7,ａ4=15 ,由此猜测ａｎ=2 ｎ- 1.用数学归纳法证明 :①当ｎ =1时 ,猜想显然成立 .　②假设ｎ =ｋ时猜想成立 ,即ａｋ=2 ｋ- 1.当ｎ =ｋ 1时 ,ａｋ 1=2ａｋ 1=2 (2 ｋ- 1) 1=2 ｋ 1- 1.可见当ｎ =ｋ 1时命题也成立 .综合① ,②知 ,对于一切自然数ｎ命题均成立 .解法 2　由已知有ａｎ=2ａｎ - 1 1,ａｎ- 1=2ａｎ - 2 1,… ,ａ…     

类比思维的一种应用——已知递推公式求通项公式

本文拟用类比思想来研究三类特殊的已知递推公式求通项公式的题型。     

有关数列通项的常见类型及其求解策略

数列通项问题是数列部分的一个重要且典型的问题 ,是中学数学教学的一个难点 ,现结合教学 ,对有关数列通项的常见基本题型及其求解思维策略作一探索归纳 ,供参考 .1　给定数列前几项求其一个通项公式思路　观察分析 ,归纳猜想 .例 1　求下列数列的一个通项公式 .1) 1,3,6 ,10 ,… ;2 ) 74× 6 ,- 95× 7,116× 8,- 137× 9,… .分析 :1)观察项之间的关系有 :ａ2 -ａ1=2 ,ａ3-ａ2 =3,ａ4 -ａ3 =4,…猜想ａｎ-ａｎ -1=ｎ .将以上各式两端分别相加可得ａｎ-ａ1=2 3 4 … ｎ ,∴ａｎ=1 2 3 … ｎ =ｎ(ｎ 1)2 .经验证此为所求的一个通项公…     

把握本质 类比转化 提升能力——以“数列通项公式的求法”教学为例

以“数列通项公式的求法”公开课教学为例,诠释了如何根据内容特点及学生学情设计教学过程,达到“把握本质、类比转化,提升能力”的效果.     

一类数列的通项公式

众所周知 ,当一个数列用两个函数式表示 ,即ａｎ =ｆ(ｎ) ,ｎ=2ｋ- 1ｇ(ｎ) ,ｎ=2ｋ 　 (ｋ∈Ｎ)时 ,可合并写成ａｎ =1 (- 1 ) ｎ 12 ｆ(ｎ) 1 (- 1 ) ｎ2 ｇ(ｎ)　 (ｎ∈Ｎ)　① ,那么当一个数列用三个函数式表示 ,即ａｎ =ｆ(ｎ) ,ｎ=3ｋ- 2ｇ(ｎ) ,ｎ=3ｋ - 1ｈ(ｎ) ,ｎ =3ｋ(ｋ∈Ｎ)时 ,能合并写成一个表达式吗 ?对更一般的情况又会怎样呢 ?1　发现过程表达式①中 ,1 ,- 1可视为方程ｘ2 =1的两个根 ,1 (- 1 ) ｎ 12 ,1 (- 1 ) ｎ2 的分母 2正好是方程ｘ2 =1中未知数ｘ的次数 .注意到共性 :当ｎ 1 =2ｋ时 ,ａｎ =ｆ(ｎ) ,对应写成1…     

交数列通项公式的求法例说

由数列｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝的所有公共项,按它们在原数列中的次序排成的数列｛ｃｎ｝,可称为｛ａｎ｝,｛ｂｎ｝的交数列;这是一个值得研究的新课题,它的一个基本问题是求两个已知数列的交数列通项公式,本文试举几例说明各种方法及基本策略,从而揭示交数列的一般规律;例１　（１９８７年上海市高三数学竞赛）已知等差数列①：５,８,１１,…,与等差数列②：１,５,９,…,均有３００项,则有　　个数同时出现在这两个数列中;解法１　具体考察数列①：５,８,１１,１４,１７,２０,２３,２６,２９,…,３ｎ＋２,…;②：…     

Fibonacci数列通项公式的四个直接证明

分别用初等方法,分析学中的生成函数方法,线性代数中矩阵的对角化方法以及几何变换的方法给出了Fibonacci数列通项公式的四个较为简单的直接证明.     

分式线性递推数列的通项

分式线性递推数列an＋1=aan＋b/can＋d就是一个很值得研究的典型题例，本文给出它的一个重要性质并由此得到其通项的一般求法．     

小小求通项

家有千金名“小小”． 小小学数学，热情高又高，数列求通项，问题一大串．     

关于线性循环数列的通项公式

给出了线性循环数列的通项公式。     

对一道求数列通项问题的多角度切入

题目 已知数列{an）的前n项和为Sn，a1=2，当n≥2时，Sn=2n-nan． （1）求a2，a3； （2）求数列{an}的通项公式．     

如何整合数列的分段形式的通项公式

写出数列{an}：2,8,2,8,2,8,2,8,……的一个通项公式．     

数列解题中常见错例评析

在有关数列问题求解中 ,由于概念不清、性质不明、公式不分等原因 ,部分同学解题时经常出现错误 .本文拟举例说明 .例 1　已知数列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=3ｎ - 4 ,求证数列 {ａｎ}是等差数列 .错证 :∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａ1=3- 4 =- 1 ,ａ2 =2 ,ａ3=5,ａ4=8,则ａ2 -ａ1=ａ3-ａ2 =ａ4-ａ3=3,∴数列 {ａｎ}是等差数列 .评析　证明过程不能用特殊的几项来代替全部 ,而应紧扣定义 :从第二项起 ,是“每”一项与前一项的差为常数 .故可通过通项公式 ,判断 (ａｎ 1-ａｎ)是否为常数来证明 .正确证明　∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａｎ 1=3ｎ - 1 ,则当ｎ…     

利用“等比变换定理”巧解数列通项公式问题

求通项公式是数列的重点题型,本文先给出与数列有关的“等比变换定理”及其证明,再介绍这一定理在处理几类递推数列问题中的应用.     

常见递推数列通项公式的求法

递推数列求通项问题是高考与竞赛的热点问题,本文按照数列递推式的发展演化递进顺序,运用化归与转化的思想,简述了九类递推数列通项公式的求法.     

递推数列an＋1-p＋q／an的通项公式及其性质

文 [1]中给出并证明了以下命题 .命题　设ａ ,ｂ∈Ｒ ,且实数ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ 满足ｘ1=ａ ｂｘｎ,ｘ2 =ａ ｂｘ1,…ｘｎ=ａ ｂｘｎ - 1.则当ｎ为奇数时 ,ａ1=ａ2 =… =ａｎ;当ｎ为偶数时 ,ａ1=ａ3 =… =ａｎ- 1,ａ2 =ａ4 =…=ａｎ.上述命题实际上给出了满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ 的数列 {ａｎ}的一个性质 .经研究 ,本文拟给出满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ的数列 {ａｎ}的通项公式 ,并以此为基础给出比文 [1]更为深刻的结论 .现在记 ｆ(ｋ) =Ｃ1ｋｂｋ- 1 Ｃ3 ｋ 1ｂｋ - 2 … Ｃ2ｋ- 3 2ｋ- 2 ｂ1 Ｃ2ｋ- 12ｋ- 1ｂ0 (ｋ≥ 1,ｋ∈…     

构造常数数列求通项

<正>在数列{b_n}中,若b_n+1=b_n(n∈N﹡),则数列{b_n}为常数数列,其通项公式是b_n=b_1,在求某些递推数列的通项公式时,若能构造出一个新的常数数列,便能简便的求得通项公式.1.我们知道等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d,我们可以用构造常数数列的方法求这个通项公式.     

几类数列通项的矩阵求法

本利用矩阵给出了几类数列的通项公式的求法，把数列通项公式的求法转化为矩阵幂的计算，思路简单、计算简便，并能判别其敛散性。