Sui prodotti completi contenenti prodotti di gruppi permutabili

Sunto In un precedente lavoro sono stati determinati i gruppi G = AB, (con A e B fra loro permutabili ed isomorfi rispettivamente a due gruppi dati A* e B*) come sottogruppi, di un certo tipo, di un prodotto completo di due gruppi di sostituzioni, noti a partire dai dati. Qui si mostra che in alcuni casi tali gruppi G = AB sono contenuti in un prodotto completo che è un sottogruppo di , che in altri casi tale riduzione non è possibile, ed infine si assegnano condizioni necessarie e sufficienti e condizioni solo sufficienti affinchè tale riduzione sia la massima possibile. Si considerano questi problemi prima nel caso in cui A e B hanno in comune solo l’unità e poi nel caso generale, in cui A e B hanno in comune un sottogruppo proprio. Nell’ultima parte del lavoro si danno alcune estensioni del problema dell’ampliamento che si scinde.     

Higher order shock waves

Shock waves and the relevant Rankine-Hugoniot conditions may be inadequate even in simple cases. As an example, the electromagnetic field generated by a point charge, whose velocity jumps from0 to a constant value, not only jumps across a spherical surface expanding at light speed, but also includes a-distribution term. This suggests that the concept of higher order shock waves be introduced, the associated compatibility conditions being also deduced.

---

Sommario Il concetto di onda d'urto può rivelarsi inadeguato per descrivere situazioni anche semplici. A titolo di esempio, si determina esplicitamente l'espressione del campo elettromagnetico generato da una carica puntiforme la cui velocità passa istantaneamente da0 a un valore costante. Il campo elettromagnetico non solo è discontinuo attraverso una superficie sferica che si espande alla velocità della luce, ma include anche un termine che coinvolge la distribuzione. Ciò suggerisce di definire le onde d'urto di ordine superiore, per le quali si determinano le corrispondenti condizioni di compatibilità.

     

The topology of two-dimensional real algebraic varieties

Sunto È noto che ogni spazio analitico reale è localmente omeomorfo al cono su un poliedro con caratteristica di Eulero-Poincaré pari. Si dimostra che questa condizione è anche sufficiente affinchè un poliedro (compatto) di dimensione due P sia omeomorfo ad una varietà algebrica reale affine P. Segue inoltre dalla costruzione che la P ottenuta ha, in un certo senso, un insieme di singolarità algebriche minimale, compatibilmente con la topologia di P.

---

---

The authors are members of the G.N.S.A.G.A.     

Similarity solutions and model constitutive laws to viscoelasticity with application to nonlinear wave propagation

Nonlinear viscoelastic media are investigated within the framework of the group analysis. By requiring the governing system of equations to be invariant under the dilatation group, some classes of material response functions are characterized. Furthermore several sets of self-similar solutions to the model of interest are determined. Finally for the Maxwell media wave propagation into a non constant state described by a similarity solution is studied and the occurrence of a shock wave is considered.

---

Riassunto Si considera un modello per i mezzi viscoelastici non lineari nell'ambito dell'analisi gruppale. Richiedendo che il sistema di equazioni di interesse sia invariante rispetto al gruppo di dilatazione, si caratterizzano delle classi di funzioni di risposta per il materiale. Inoltre si determinano diverse soluzioni di similarità. Successivamente nel caso dei mezzi di Maxwell si studia la propagazione di onde di discontinuità in uno stato non costante descritto da una soluzione di similarità. Infine si discutono le condizioni per l'esistenza di un tempo critico a cui un'onda d'urto può formarsi.

     

Due questioni di relatività generale

Sunto Si considera un generico conduttore ideale elastico magnetizzabile & in Relatività generale. Si mostra che quando il moto di & è rigido secondo Born sussistono certe proprietà di invarianza per grandezze elettromagnetiche, le quali, nel caso di non magnetizzabilità, si riducono a certe proprietà già note sia in Fisica classica che in Relatività generale, cf.[11] e[14]. Inoltre si scrivono le equazioni (in termini finiti) che determinano la velocità di propagazione in & delle onde magneto-elastiche d’accelerazione e le discontinuità d’accelerazione. Con ciò si generalizzano alcuni risultati noti per fluidi.

---

Summary An arbitrary magnetizable and elastic ideal conductor, &, is considered in general Relativity. Certain invariance properties of some eletromagnetic quantities are shown to hold for &, under the condition of the Born rigidity. This is a generalization of a result that for nonmagnetizable bodies is already known in both classical physics and general Relativity, cf.[11], [14]. Furthermore the author deduces the algebraic equations for the propagation speed in & of (acceleration) magneto-elastic waves and for the discontinuity vector of acceleration. Thus some known results concerning fluids have been generalized.

---

---

Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei gruppi di ricerca del C.N.R.

---

Entrata in Redazione il 26 luglio 1971.     

Algebre Booleane e loro struttura interna analitica (funzionale e matriciale) e geometrica (metrica e topologica)

Sunto In un'algebra booleana finita si presenta il fatto nuovo che molte delle strutture in essa costruibili a partire dai suoi elementi, sono intimamente connesse, si da essere aspetti diversi della stessa cosa. Si rileva che funzioni intere (cioè quelle che si ottengono operando su una variabile booleana con le operazioni booleane) matrici, ideali, filtri (e le formazioni più ampie che sono gli intervalli) e classi di equivalenza, mostrano appunto questo allacciamento. Inoltre, ognuna di queste formazioni dà in sostanza origine ad altre algebre booleane o a queste isomorfe, o di queste qiù ampie. Quindi, in un certo senso, il campo booleano è completo, riproducendosi in sè per quasi tutte le strutture in esso fattibili. Ma vi è di piu. Se nella formulazione del concetto di misura si abbandona l'idea del numero, quale ? misura di estensione ?, riesce possibile stabilire un concetto di ? di stanza booleana ? di due elementi booleani, la quale soddisfi alla fondamentale relazione triangolare e alla condizione di annullarsi quando e solo quando gli elementi coincidono. Potremo perciò parlare di una metrica intrinseca di un'algebra diBoole; e attraverso opportune definizioni si può estendere questa metrica anche ad aggruppamenti di tre o quattro o più elementi. Ma definita che sia questa metrica ? interna ? viene anche definita, oltre la struttura algebrica, e quella di geometria metrica, una struttura topologica interna. Ed è appunto quanto esprimiamo im questo lavoro, ricollegandoci ad altri precedenti (*) A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico     

Ond-folds whose canonical bundle is not numerically effective,according to Mori and Kawamata

Sunto In questo lavoro si studiano le varietà non singolari di dimensione d il cui divisore canonico non è numericamente effettivo e si estendono alcuni dei risultati ottenuti da Mori nel caso d=3. CiÒ viene ottenuto mediante un uso sistematico della teoria di Mori dei raggi estremali e di un forte teorema di Kawamata-Shokurov. Quest'ultimo risultato fornisce una varietà normale Y e un morfismo : X Y che contrae un raggio estremale R e che dá la struttura di X. Se R è numericamente effettivo, dimY     

Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations III. An hyperbolic model of elastodynamics

This is the third part of a series devoted to the existence, uniqueness, monotonicity, and asymptotic properties of the traveling wave solutions of diffusive-dispersive conservation law. In this part, we focus attention on a nonconvex hyperbolic model of two conservation laws arising in nonlinear elastodynamics and including nonlinear viscosity and capillarity terms. On one hand, using the techniques developed earlier, we study the properties of the corresponding classical and nonclassical shock waves and their corresponding kinetic relation. Several new features are found for this (hyperbolic) model: First of all, we distinguish here between a kinetic function and an inverse kinetic function; the latter is always globally defined but may fail to be globally invertible. Second, we show that shock waves with sufficiently small amplitude are always classical, for a fixed ratio of diffusion and dispersion. Third, we determine here the asymptotic behavior of the kinetic function for both shocks with large and small amplitudes.

---

Sunto  Questa è la terza parte di una serie di lavori dedicati all'esistenza, unicità, monotonia e proprietà asintotiche delle soluzioni d'onda di propagazione per leggi di conservazione diffusive-dispersive. In questa parte, l'attenzione è focalizzata su un modello iperbolico non convesso di due leggi di conservazione che sorgono in elastodinamica non lineare, che tengono conto della viscosità non lineare e dei termini di capillarità. Da una parte, utilizzando le tecniche precedentemente sviluppate, studiamo le proprietà delle corrispondenti onde d'urto classiche e non classiche e le loro corrispondenti relazioni cinetiche. Diverse nuove proprietà sono state trovate per questo modello (iperbolico). Innanzitutto, qui distinguiamo tra una funzione cinetica ed una funzione cinetica inversa, quest'ultima essendo sempre definita globalmente ma possibilimente non sempre globalmente iinvertibile. In secondo luogo, mostriamo che onde d'urto con ampiezza sufficientemente piccola sono sempre classiche, per un valore fissato del rapporto tra diffusione e dispersione. In ultimo, determiniamo il comportamento asintotico della funzione cinetica per onde d'urto aventi sia ampiezza grande sia piccola.

     

The fluid dynamics of rarefied molecular flow over convex bodies: A new theory and applications

Summary This paper proposes a kinetic theory to study some important features of the aerodynamics of convex bodies in molecular flow. In particular, the proposed theory can describe both the mechanics of the scattering kinetics and of the adsorption-desorption kinetics in the interaction between the free-molecule stream and the surface of the body. The obtained result ought to be considered a more rigorous physicalmmathematical model than the one proposed by preposed by previous known theories, which, also because of the physical and mathematical difficulty of the problem, can describe only one, separately, of the two aspects of the problem (the scattering or the adsorption-desorption processes). Moreover the previous theories require the aid of disposable parameters, unknowna priori. On the other hand, in this work, the final result consists in a, unequivocally determined, scattering kernel which correlates the distribution function of the particles re-emitted by the surface to the distribution function of the arriving particles, for a gas monochromatic stream interacting with an aluminium surface at satellite speed. This result is then applied to calculate the aerodynamic forces and the heat flux acting over convex bodies of arbitrary geometry.

---

Riassunto In questo Lavoro si propone una teoria cinetica per lo studio dei fenomeni aerodinamici per corpi convessi in flusso molecolare. La teoria proposta descrive sia la meccanica dello scattering fra molecole e corpo rigido, sia la meccanica di adsorbimento desorbimento cinetico. In tal senso constituisce un modello fisico-matematico più preciso di quelli proposti da teorie precedenti che limitavano l'analisi ad uno solo, e separatamente, dei due fenomeni prima descritti. In termini matematici, il risultato della ricerca consiste nell'aver definito uno nucleo di scattering che correla (per correnti ipertermiche interagenti con superfici di alluminio) la distribuzione di molecole prima dell'urto con la parete con la distribuzione dopo l'urto. Tale risultato è stato quindi applicato per la determinazione delle forze aerodinamiche e del flusso di calore su corpi convessi di geometria arbitraria investiti da un flusso molecolare monoenergetico.

     

Evolution of weak discontinuity waves in self-similar flows and formation of secondary shocks. The “point explosion model”

In this paper we consider a quasi-linear hyperbolic system in two independent variables (space and time), to evaluate the critical time for weak discontinuity waves travelling in self-similar flows like those generated by a point explosion.The evolutionary law for weak perturbations is given in function of the adiabatic index of the unperturbed medium whose mass density distribution follows a power law of the radial distance.We proved that secondary shocks can occur if appropriate conditions on the amplitude of the initial perturbations are satisfied.The condition of non-impact between a weak perturbation and the primary shock is discussed. In connection to this problem we have computed, for several combinations of both the adiabatic index and the wave strength, the relative position within the fluid at which the secondary shock forms.

---

Riassunto Viene considerato un sistema iperbolico quasi-lineare in due variabili indipendenti (spazio e tempo), per calcolare il tempo critico per onde di discontinuità deboli viaggianti in fluidi autosimilari come quelli che vengono generati da una esplosione puntiforme.Viene data la legge evolutiva delle perturbazioni deboli in funzione dell'indice adiabatico del mezzo imperturbato in cui la densità varia secondo una legge di potenza della distanza radiale.Si trova che la formazione di onde d'urto secondarie è possibile se le ampiezze delle perturbazioni iniziali soddisfano determinate condizioni.E'discussa anche la condizione di non-impatto tra l'onda di discontinuità e l'urto primario. In relazione a quest'ultimo problema, viene calcolata, per diverse combinazioni dell'indice adiabatico e della forza dell'onda, la posizione relativa entro il fluido in cui si forma l'urto secondario.

     

Descrizioni geometriche sintetiche di geometrie proiettive con caratteristicap >0

Sunto è ben noto che, per gli spazi proiettivi basati sopra un corpo commutativo, vale il teorema di Pappo e che, viceversa, per mezzo di questo teorema tali spazi possono essere coordinatizzati con un corpo commutativo K. Il teorema di Fano ci dice quando K non può essere di caratteristica p=2. Un altro teorema è: In piani proiettivi sopra corpi K con p=2, e soltanto in questi, si ha che: Le tangenti d'una conica, costruita nel modo sintetico consueto, passano per un punto fisso. Teoremi del genere per p ≠2 sembrano mancare finora, ma sono necessari per una costruzione pure sintetica della geometria algebrica. Il lavoro seguente conterrà siffatti teoremi. Entrata in Redazione il 14 giugno 1976.     

Wave features for a heat conductor with thermal relaxation

Summary In the context of the nonlinear wave theory we study, in the case of a rigid heat conductor, the model proposed by G. Grioli. We point out some properties concerning exceptionality conditions and shock waves. We obtain some functional forms for the specific internal energy at equilibrium and for the heat conductivity by which a weak discontinuity wave never breaks down. Moreover we verify that the model is strictly exceptional.

---

Sommario Nell'ambito della teoria delle onde non-lineari si studia un modello per la propagazione del calore proposto da G. Grioli, nel caso di un conduttore rigido.Richiedendo che il sistema di equazioni che regge il modello sia completamente eccezionale si ottengono alcune forme funzionali per l'energia interna all'equilibrio e per la conducibilità termica.Si verifica ehe il sistema é altresi strettamente eccezionale.

     

Legge di evoluzione delle discontinuità e determinazione di una classe di potenziali elastici compatibile con la propagazione di onde eccezionali in un mezzo continuo sottoposto a particolari deformazioni finite

Sommario Si determina un potenziale elastico compatibile con la completa eccezionalità delle onde di discontinuità in un mezzo isotropo con simmetria cilindrica sottoposto a deformazioni finite. Si scrive, inoltre, la legge di evoluzione delle discontinuità e si danno delle condizioni analitiche per la formazione di onde d'urto.

---

Summary We point out an elastic potential requiring the existence of exceptional waves in an isotropic medium with cylindrical symmetry subject to finite deformation. The evolution of weak discontinuity and the analytic condition for occurrence of shock waves are determined.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dei contratti di ricerca del C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica.     

Sulla differenziabilità totale delle funzioni di più variabili reali

Sunto Sul fondamento delle nozioni (altrove introdotte dall'A.) di tangenti e corde improprie d'un insieme di punti in un punto d'accumulazione, si determinano condizioni necessarie e sufficienti per la differenziabilità o per l'iperdifferenziabilità di una funzione di più variabili in un punto d'accumulazione d'un insieme o all'interno di un dominio in cui essa sia definita. La consueta considerazione delle derivate parziali non esaurisce nè può esaurire la questione. Perciò l'A. deve anzitutto definire l'operazione di derivazione per una funzione di più variabili in modo adeguato alla natura della funzione, la quale esige che non ci si limili a studiar la derivazione rispetto alle variabili separatamente considerate.     

Two remarks on integral morphisms of affinek-varieties

Il lavoro prosegue lo studio dei morfismi interi di varietà algebriche su corpi non algebricamente chiusi iniziato, in collaborazione con M. Raimondo, su «Integral morphisms and homeomorphisms of affine varieties». Qui si provano due proprietà che chiariscono le analogia e differenze col caso in cui le varietà siano definite su un corpo algebricamente chiuso.     

On nonlinear plane vibration of a moving threadline

We consider plane vibrations of a moving threadline described by the model equations obtained in [1]. We study the propagation of weak discontinuities and their interaction with shock waves. We show that the only possible shocks satisfying the Lax conditions [3] and the evolutionary condition of Brun [9] are the characteristic shocks.

---

Riassunto Vengono considerate le vibrazioni piane di un filo flessibile descritte dalle equazioni ottenute in [1], Viene studiata la propagazione di onde di discontinuita' e la loro interazione con un'onda d'urto. Viene anche mostrato che gli unici urti possibili che soddisfano le condizioni di Lax [3] e la condizione di evoluzione di Brun [9] sono gli urti caratteristici.

---

---

This work was supported by C.N.R. through G.N.F.M. and by M.P.I, through Fondi del 40% e 60% per la Ricerca Scientifica.     

Noncharacteristic hypersurfaces for complexes of differential operators

Sunto Sia X una varietà differenziabile ed S una ipersuperficie orientata in X. Si consideri un complesso di operatori differenziali su X. Se S è formalmente non caratteristica, esso induce un complesso di operatori su S. Si generalizza la nozione di simbolo di un operatore differensiale al caso di multigradazioni e si dimostra che, se S è non caratteristica, modulo «trasformazioni fibra» il complesso indotto è un complesso di operatori differenziali. In particolare, se una ipersuperficie è non caratteristica rispetto alla nozione usuale di simbolo, il complesso al bordo è sempre un complesso di operatori differenziali. Nell'ultima parte del lavoro si studio, il complesso al bordo indotto dal complesso di Hilbert dell'operatore .     

Good dualities and strongly quasi-injective modules

Sunto Siano R ed A due anelli e sia_RK_A un bimodulo topologico di Hausdorff su R ed A dotati della topologia discrete. Sia D(K_A) la categoria formata dagli A-moduli astratti M tali che Hom_A (M, K) separa i punti di M e sia C(_RK) la categoria formata dagli R-moduli topologici che sono topologicamente isomorfi a sottomoduli chiusi di prodotti topologici di copie di_RK. Nella prima parte del lavoro si determinano dette condizioni su K affinchè le suddette categorie siano l'una la duale dell'altra. Nella ricerca di tali condizioni la nozione di modulo topologico fortemente quasi-iniettivo giuoca un ruolo fondamentale. Nella seconda parte del lavoro si studia il caso in cui K è compatto. In particolare, si mette in evidenza uno stretto legame fra la suddetta teoria di dualità ed i risultati di K. R. Fuller sulla teoria delle equivalenze. Nella terza parte del lavoro, infine, si esamina il caso in cui_RK è disereto. Si approfondiscono in tale ambito alcuni risultati ottenuti precedentemente dagli autori nel caso in cui R ed A siano commutativi. Come applicazione si dimostrano rapidamente alcuni teoremi di B. Mütter riguardanti la dualità di Morita.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca matematica del CNR.