一个数学问题的简证

<正>题目^[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA²/b2/b²+PB2+PB²/c2/c²+PC2+PC²/a2/a²=1.证明如图所示.设射线AP交△PBC的外接圆☉O_1于点A',分别过点P、A'作直线AB的垂线,垂足为E,F,连接A'C,A'B.则∠PA'C=∠PBC=∠PCA=∠PAB.     

对福建省一道高考试题的一般性探究

试题（2012福建高考文科21题）:如图1,等边三角形OAB的边长为8(3^1/2),且其三个顶点均在抛物线E:x²=2py（p>0）上.（1）求抛物线E的方程;（2）设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较     

对一道浙江高考调测题的解法探究及推广

试题:如图1,椭圆C:x²+3y²=3b²（b>0）.（I）求椭圆C的离心率;（Ⅱ）若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3^1/2,求△AOB面积的最大值.解法一:（I）由x²+3y²=3b²得x²/（3b²）+y²/b²,所以e=c/a=(（3b²-b²）^1/2)/(（3b²）^1/2)（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,△ABO的面积为S.如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(3^1/2/2,3^1/2/2),此时S=1/2·3^1/2/2·3^1/2=3/4;如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx     

一道中考几何题的探究

<正>一、原题呈现:(2016广州中考)如图1,点C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在弧BAD上,且不与B,D重合)∠ACB=∠ABD=45°(1)求证:BD是该外接圆的直径;(2)连接CD,求证2^(1/2) AC=BC+CD;(3)若△ABC关于直线AB对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM(1/2) AC=BC+CD;(3)若△ABC关于直线AB对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM²,AM2,AM²,BM2,BM²三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.二、一题多证在初中的几何学习中,一题多证是培养同     

相似三角形及其应用(中)

<正>例9(1988全国初中数学联赛第二试试题三)如图13,△PQR和△P′Q′R′是两个全等的等边三角形.六边形ABCDEF的边长分别记为:AB=a_1,BC=b_1;CD=a_2,DE=b_2;EF=a_3,FA=b_3.求证:a_1²+a_22+a_2²+a_32+a_3²=b_12=b_1²+b_22+b_2²+b_32+b_3².证明由等边三角形每个内角都为60°及对顶角相等,我们不难发现:△PAB∽△Q′CB∽△QCD∽△R′ED∽△REF∽△P′AF.     

对一道竞赛题的别解与拓展

题目（2014年全国初中数学联赛试题）如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BE⊥AC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,则AE=（）.（A）6^1/2/2（B）2^1/2（C）3^1/2（D）6^1/2对于这道题,组委会给出的解法是,四点共圆再结合相似从而完成求解.本文从不同的角度给出以下四种解法.     

一道竞赛题的妙证

<正>题目^([1])(第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克)如图,已知锐角△ABC的外接圆为⊙O,过点A作⊙O的切线l,l与直线BC交于点D,E为DA延长线上一点,F为劣弧BC上一点,直线EF与劣弧AB交于点G,直线FB、GC分别与l交于点P、Q.证明:AD=AE的充分必要条件为AP=AQ.证明首先证明一个引理.引理:如图所示,条件同上,     

“异侧和最小,同侧差最大”在解析几何中的应用

一、问题提出题1（2009年四川高考题理科第9题）已知直线l₁:4x-3y+6=0和直线l₂:x=-1,抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（）（A）2（B）3（C）5/11（D）16/37解析如图1,直线l₂:x=-1为抛物线y²=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l₂的距离PB等于P到抛物线的焦点F（1,0）的距离PF,故本题化为在抛物线y²=4x上找一个点P,使得     

一道错题的剖析与再变

1错题由来题已知Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,则S_△ABC=_<sub><sub><sub>.学生的解法:解法1（标准答案）:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y,则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,故S_△ABC-1/4[（x+y）²-（x²+y²）]=1/4[(4 3^1/2)²-16=8.解法2:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,消去y得x²-4 3^1/2x     

2012年高考安徽卷理科第20题的探究与推广

题目:如图1,F₁（-c,0）,F₂（c,0）分别是椭圆C:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F₁作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=（a²）/c于点Q;（Ⅱ）证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.分析:此题第（Ⅱ）问结构简洁,内涵深刻,由     

一道高中数学联赛省级预赛试题的探究

<正>1问题呈现(2019全国高中数学联赛福建省预赛)已知F为椭圆C:x²/4+y2/4+y²/3=1的右焦点,点P为直线x=4上的动点,过点P作椭圆C的切线PA,PB,A、B为切点.(1)求证:A、F、B三点共线;(2)求△PAB面积的最小值.解析(1)要想证明A、F、B三点共线,我们只要求出直线AB的方程,若点F在直线     

争鸣

问题243学生的解法对吗?在学校组织的一次数学检测中有如下一道题目:已知椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,其离心率为3^1/2/3,过点C（-1,0）的直线l与椭圆E相交于A,B两点,且满足CA→=2BC→.求当△AOB的面积达到最大时直线l和椭圆E的方程.     

一道抛物线定直线问题的推广

题目已知点A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限,直线l1,l2分别过点A、B且与抛物线C相切,点P为直线l1,l2的交点.（1）若直线AB过抛物线C的焦点F,求证：动点P在一条定直线上,并求此直线的方程;（2）设C、D分别为直线l1,l2与直线x=4的交点,求△PCD面积的最小值.这道题是2014年《福建高考“集结号”最后冲刺模拟卷》·数学（文史类）第三卷中的第22题,     

2014年一道高考解析几何压轴题透视

<正>高考题往往具有丰富的内涵,数学教师要善于思考、发掘、研究,在备考复习中恰当选用,这对提高学生的数学思维水平和解题能力十分有益.笔者对2014年安徽高考数学文科卷第21题压轴题进行透视.1题目如图1,设F₁,F₂分别是椭圆E:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF₁|=3|F₁B|.（Ⅰ）若|AB|=4,△ABF₂     

一道课本例题的新解引发的一个不等式的发现

<正>1课本例题的新解题目1已知椭圆C:x²/52+y2/52+y²/9=1,直线l:4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少?该题是人教A版普通高中课程标准试验教科书选修2-1第47页的例7,课本上提供的解法是我们常见的通解通法,但是该法运算量大,往往我们还可以采用设椭圆C上动点坐标(5cosθ,3sinθ),利用点到直线距离公式求解,将问题转化为三角函数的最值问题,同样该法对学生的数学运算能力要求较高,     

大胆类比 谨慎求证

<正>在一次习题课中,我们做了一道解析几何习题,同学们大胆类比探索,热情很高,得出了一些结论,现展示如下:2原题已知椭圆C:x2/4+y2=1的左右顶4点分别是A1、A2,直线l:x=2(2)^(1/2)与x轴交于点D,点P是椭圆上的异于A1、A2的动点,直线A1P、A2P分别交l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|恒为定值.证明设E(2(2)(1/2)与x轴交于点D,点P是椭圆上的异于A1、A2的动点,直线A1P、A2P分别交l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|恒为定值.证明设E(2(2)^(1/2),e),     

例题赏析

<正>一、源本问题展示,数形结合相映问题过点M(-3,-3)的直线l被圆x²+y2+y²+4y-21=0所截得的弦长为452+4y-21=0所截得的弦长为45^(1/2),求直线l方程.此问题是教材必修2第127页例2,看似简单,实则内涵丰富.潜心研究,收获盛丰.先谈问题之解.解将圆的方程写成标准形式,得     

圆锥曲线的定向弦问题

在圆锥曲线中,经常遇到如下的定向弦问题.题目1过椭圆x2/4+y2=1上定点P(2^1/2,2^1/2/2)作两条倾斜角互补的直线l1和l2,分别交椭圆于另一点Q、R,求证直线QR有定向;     

一道2020年高考三角形面积最值试题的探究与变式

1.试题(2020年高考江苏卷,14)在平面直角坐标系xOy中,已知P(√3/2,0),A,B是圆C:x²+(y-1/2)²=36上的两个动点,满足|PA|=|PB|,则△PAB面积的最大值是_.试题考查了圆的标准方程、圆中的最值问题,考查了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养,检验了学生分析问题与解决问题的能力.     

对一道新高考联考题的多视角思考与求解

<正>为了熟悉新高考模式,广东、福建等第三批高考综合改革省市安排了此次2021年新高考适应性考试.此题为单项选择题第7题,该题体现了新高考命题的创新性,其解题思路与方法具有很大的开放性.1试题呈现(2021年新高考八省联考)如图,已知抛物线y²=2px上三点A (2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2=2px上三点A (2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)²+y2+y²=1的两条切线,