圆中一个值得关注的结论及应用

<正>结论已知|AB|=2t,动点M到线段两端点A、B的距离的平方和为常数m(t≠0,m>2t2),则动点M的轨迹为圆.证明以AB所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-t,0)、B(t,0),设点M(x,y),由|MA|2+|MB|2=m得(x+t)2+y2+(x-t)2+y2=m,整理得x2+y2=m2-t2,因m>2t2,则动点M的轨迹为以原点为圆心,半径为r=     

2003年全国各地高考模拟试题选析——平面向量

1　新题评析例1　(天津市高中质量调查)设i,j是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的单位向量,且AB = 4 i+ 2 j,AC =3i+ 4 j则△ABC的面积等于(　　)(A) 15 .　　(B) 10 .　　(C) 75 .　　(D) 5 .解　∵AB =(4,2 ) ,AC =(3,4 ) ,∴AB ·AC =4×3+ 2×4 =2 0| AB | =4 2 + 2 2 =2 5 ,| AC | =32 + 4 2 =5 .设AB ,AC 的夹角为θ,则cosθ=AB ·AC | AB | | AC |=2 02 5×5=25,　sinθ=1- 45 =15,∵S△ABC=12 ×| AB | | AC | sinθ=12 ×2 5×5×15=5 .即选(D) .评析　要求三角形的面积,可求两边长和其夹角的正…     

正多边形的一个向量性质及推广

笔者发现正多边形的一个向量性质加以推广后 ,可以将文 [1 ],[2 ],[3]的结论统一起来 ,进一步体现了数学的和谐 .性质 1　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,则∑ni=1OAi=0 .此性质证明略去 ,下面给出它的推广 .性质 2　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,半径为R ,P是平面上的任一点 ,则∑ni=1PA2i =nPO2 +nR2 .证　∑ni=1PA2i =∑ni=1PA2i =∑ni=1(PO +OAi) 2 =∑ni=1PO2 + 2PO ∑ni=1OAi +∑ni=1OA2i =nPO2 +nR2 .性质 3　已知中心对称的多边形A1A2…A2n的外接圆O的半径为R ,P是圆O上的任一点 ,Mi 与Mi+n为…     

一道椭圆试题的研究

1一道试题及疑问如图1,已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且AC·BC=0,|BC|=2|AC|,(1)建立适当的坐标系,求椭圆方程;(2)如果椭圆上有两点P,Q,使∠PCQ的平分线垂直于AO,证明:存在实数λ,使PQ=λAB.该题的解答如下:(1)以O为原点,OA为x轴建立直角坐标系,如图2,设椭圆方程为x42 by22=1.由条件易知△AOC为等腰三角形,C(1,1),B(-1,-1),将C点坐标代入椭圆方程得b2=34,故椭圆方程为x42 34y2=1;(2)由于∠PCQ的平分线垂直于AO,设PC的斜率为k,则QC的斜率为-k,因此PC,QC的直线方程分别为y=k(x-…     

例谈圆锥曲线中的取值范围问题

圆锥曲线中的取值范围问题,一般利用已知条件或挖掘题目的隐含条件构造不等式来解.本文通过几个具体例题介绍解决此类问题的常见方法.例1设点P到点A(-1,0),B(1,0)的距离之差为2λ,到x轴、y轴的距离之比为2,求λ的取值范围.解设点P(x,y),依题意得|xy|=2,即y=±2x(x≠0),因此点P(x,y),A(-1,0),B(1,0)三点不共线.所以‖PA|-|PB‖<|AB|=2.又‖PA|-|PB‖=2λ>0,所以0<|λ|<1.因此点P在以A,B为焦点,实轴长为2|λ|的双曲线上,故λx22-1-y2λ2=1.将y=±2x代入,得x2=λ21(1--5λλ22)>0.又0<λ2<1,∴1-5λ2>0,所以λ的取值范围为(-55,0)∪(0,…     

平面向量基本定理的应用举例

平面向量基本定理:如果e1,e2 是同一平面内两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2 ,使a =λ1e1+λ2 e2 .这是一个重要的定理,它反映了在基底向量e1,e2 确定的前提下,平面向量分解的唯一性.利用此唯一性可解决一类有趣的问题,课本的例、习题对这个定理在此方面的应用反映并不充分,本文提供一些范例供大家学习时参考.例1　求证:平行四边形ABCD的对角线互相平分.图1　例1图证明　如图1 ,设AB =a ,AD =b ,AC与BD相交于O ,AO =λAC =λ(a +b) ,BO=μBD =μ(a -b) .则b =AB =AO -BO =λ(a+b) - μ(a-…     

第十一章 直线方程

§1 基本公式要点有向线段,两点间的距离公式,线段的定比分点公式,三角形的重心公式。例1 A、C、B、D是直线l上的顺次四点。且|AB|=5,|BC|=3,|CD|=7,E、F分别为线段AC、BD的中点。求|AC|、|BD|、|BE|。解如图11-1。选定直线l的正向。则有向线段AB=5,BC=-3,CD=7。得     

一个定理的引申及应用

《数学通讯》2010年第11、12期(学生刊)的文[1]中给出了这样一个定理:设F是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的一个焦点,过F的弦AB与x轴的夹角为θ(θ∈(0,π/2],│→AF│/│→FB│=λ (λ＞1),e是离心率,椭圆焦点到相应准线的距离为p,则 (1)ecosθ=λ-1/λ+1; (2) |AB|=2ep/1-(λ-1/λ+1)2.     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

四棱柱侧棱上四点共面的一个充要条件

四棱柱侧棱上四点应满足什么条件才能共面呢 ?本文得到如下定理 .定理　设 A0 、B0 、C0 、D0 分别为四棱柱侧棱 A1A、B1B、C1C、D1D上的点 ,底面对角线AC、BD交于点 P,且APPC=λAC、BPPD=λBD,则 A0 、B0 、C0 、D0 四点共面的充要条件为A1A0 +λAC .C1C01 +λAC=B1B0 +λBD .D1D01 +λBD.证明　如图 1所示 ,设对角线 A1C1、B1D1的交点为 P1,则由A1A0 ∥平面 BB1D1D知P1P∥ A1A∥ B1B∥C1C∥ D1D.( 1 )必要性图 1若 A0 、B0 、C0 、D0 四点共面 ,由于 P1P是平面 A1ACC1与平面 B1BDD1的交线 ,且 A0 C0 …     

平面几何中的一个定比分点公式及应用

众所周知,在解析几何中有一个常用的定比分点公式,实际上在平面几何中也存在类似的结论.笔者给出关于线段比的一个定比分点公式,并举数例说明其在解题中的应用. 定理 设D是△ABC的边BC上一点,P、Q、R分别为AB、AD、AC(或其延长线)上的点,记会AB/AP=x1,AC /AR=x2,AD/AQ=x,BD/DC=λ,若P、Q、R三点共线,则x=x=x1+λx2/1+λ(*).     

双曲线定义的应用

<正>一、巧用定义,求双曲线的轨迹方程例1在△ABC中,B、C是两个定点且|BC|=12,点A为动点,满足||AC|-|AB||=1/2|BC|,求顶点A的轨迹方程.解析以B、C所在直线作为x轴,线段BC的垂直平分线作为y轴,建立平面直角坐标系.由已知得B(-6,0),C(6,0),     

对一道调考题的解法探究

题目2009年武汉市二月调考数学试题第19题(理)已知椭圆P的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与P交于A、B两点,|AB|=2且∠AOB=π2·(1)求椭圆P的方程;(2)若M、N是椭圆P上两点,满足OM·ON=0,求|MN|的最小值.解法1(命题人给出的参考答案)(1)设直线l:x+3y=3与椭圆x2a2+by22=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2).由∠AOB=2πx1x2+y1y2=0.而x1=3(1-y1),x2=3(1-y2),代入上式得4y1y2-3(y1+y2)+3=0,①而|AB|=21+k12|y1-y2|=2|y1-y2|=2·不妨设y2>y1,则y2=y1+1,②由①②解得y1=0,y2=1,或y1=21,y2=23,所以A(23,12),B(-23,32)或A(3,0),B(0,1)·若A(23,12),B(-23,23)代入椭圆方程无解,故舍去;若A(3,0),B(0,1),则椭圆方程为x32+y2=1·(2)∵M、N是椭圆x32+y2=1上的点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r2sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ)·于是r12...     

对一道2012年高考模拟试题的探究

安徽省安庆市2012年高三模拟考试(二模)文科第20题:已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,e=13,过F1的直线l交椭圆C于A、B两点,|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,且|AB|=4.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)M、N是椭圆C上的两点,若线段MN被     

三角形“内心”的向量表示

文 [1 ]、[2 ]给出的三角形内心的向量表示可进一步改进为更简洁的形式 :设O为△ABC所在平面上一点 ,角A ,B ,C所对的边长分别为a ,b ,c ,则O为△ABC内心的充要条件是aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .证　充分性若aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .∵OB→ =OA→ +AB→ ,OC→ =OA→ +AC→ ,∴ (a +b +c)OA→ +bAB→ +cAC→ =0 ,∴AO→ =1a +b +c(bAB→ +cAC→)=bca +b +c( AB→|AB→|+ AC→|AC→ |) .∵ AB→|AB→ |与 AC→|AC→|分别为AB→ 和AC→ 方向上的单位向量 ,设AP→ =AB→|AB→ |+ AC→|AC→|,则AP→ 平分∠BAC .…     

轨迹为双曲线的一个充要条件

笔者在高三数学复习的教学中,受一道试题的启发,经过探讨,发现了双曲线的一个有趣命题.现把它写出来,以期抛砖引玉.命题　设l1、l2是平面内的两条相交直线,交点为O.在这两条相交直线所形成角(四个角)的一个角的角平分线上取一点A.过点A分别引直线AB∥l1,AC∥l2.再过点O作一直线,使其交AC于Q,交AB于R.点P在线段QR上.则点P的轨迹为双曲线的充要条件为|OP|2=|OQ|.|OR|.证明　先证充分性.如图,取点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立直角坐标系.设点A的坐标为(a,0)(a>0),直线l1的方程为y=kx(k>0),由对称性,得直线l2的方程为y=-kx.直…     

新题征展(64)

A　题组新编1 .已知平面上不同的四点 A、B、C、D.( 1 )若 ( DB+ DC- 2 DA) .( AB - AC)= 0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 2 )若 DB.DC+ CD .DC+ DA .BC=0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 3)若　 ( DA - DB) .( BD + DC) .( | DB - DA| 2 - | DC - DB| 2 ) =0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( 4 )若 ( DA - DB) 2 =( DB - DC) 2 ,且DA .DB+ DB.DC- DA .DC- | DB| 2 =0 ,则△ ABC是 (　　 ) .( A)直角三角形或等腰三角形( B)等腰直角三角形( C)等腰三角形但不一定是直角三角形( D)直角三角形但不一定是等腰三角形2 .( 1 )已知 A…     

三角形内角平分线的几个性质

<正>我们已经知道三角形的内、外角平分线定理,本文来探究三角形内角平分线的其它一些美妙性质.1几个性质结论 1如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,则AD=2AB·AC/AB+AC·cos∠BAC/2.     

三角形四"心"的若干问题

一、定形.定位.定性.定量话三角形四"心" 　　(2003,江苏,理5)O是平面上一定点A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足(OP)=(OA)+λ((AB)/|(AB)|+(AC)/|(AC)|),λ∈[0,+∞)则P的轨迹一定通过△ABC的(B)……     

两个结论的改进及引申

文 [1]所得外心、重心、垂心的结论非常优美 ,而内心和旁心的结论却难以记忆 ,可操作性不够 .下面将文 [1]中关于内心和旁心的结论加以改进 ,再添加关于“中心”的结论 .1　内心定理 1　若O为△ABC所在平面上一点 ,则O为△ABC内心的充要条件为AO·(e1+e2 ) =BO·(e2 +e3) =CO·(e3+e1) =0 (其中e1,e2 ,e3分别为与CA ,AB ,BC同向的单位向量 ) .证　设非零向量a ,b的夹角为θ,则cosθ =a·b|a| |b| =a|a| ·e(其中e为与b同向的单位向量 ) .图 1　定理 1图如图 1,O为△ABC的内心 ∠ 1=∠ 2 ,∠ 3=∠ 4 ,∠ 5 =∠ 6 cos∠ 1=AO|AO…