边长为等差数列的三角形的一个常用结论

关于边长为等差数列的三角形 ,文 [1 ]给出了一系列性质 (共 1 8个 ) ,这些性质形式多样 ,结构优美 ,精彩纷呈 ,但增加了记忆负担 ,且都可以由其中的一个性质 cos A - C2 =2 cos A +C2 导出 ,各性质的逆命题也都成立 .为此 ,本文仅给出一个核心、完善、常用的结论 ,并介绍它在求值、化简和证明中的广泛应用 .结论　在△ ABC中 ,若 a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,则 a、b、c成等差数列的充要条件是cos A - C2 =2 cos A +C2 (或 cos A - C2 =2 sin B2 ) .证明　由 B =π - (A +C) ,得B2 =π2 - A +C2 ,∴　 sin B2 =cos A +C2 ,cos B2 =sin A +C2 ,∴　 a +c=2 b　 　 sin A +sin C=2 sin B 　 2 sin A +C2 cos A - C2 =2 . 2 sin B2 cos B2 　　　　 cos A - C2 =2 sin B2 　　　 cos A - C2 =2 cos A +C2 .故原命题成立 .下面就其在化简、求值及证明...     

边长为等差数列的三角形的一组性质

98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin     

关于三角形的双圆半径的两个命题

本文先给出关于双圆半径的一个命题 :图 1设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .证明　∵　 r=a0 sinA2 =b0 sin B2=c0 sin C2 ,∴　 r3 =a0 b0 c0 sin A2 sin B2 sin C2 . 1∵　△ =12 r( a b c)=Rr( sin A sin B sin C)=2 R2 sin Asin Bsin C,∴　 r2 R=sin A .sin B .sin Csin A sin B sin C,易证　 sin A sin B sin C=4 cos A2 cos B2 cos C2 ,∴　 r2 R=2 sin A2 sin B2 sin C2 ,∴　 r4 R=sin A2 sin B2 sin C2 ,2把 2代入…     

辅助函数法应用举例

本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2],     

三角形边角性质的一个推广公式与应用

大家知道,在三角形中有“等角对等边”,“大角对大边”的性质,而“大角对大边”只反映了大角、小角所对边的大小关系,而没有反映出具体的数量关系.本文将讨论边角性质的一个数量关系式,并给出其相关的应用实例.定理在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若A=λC(λ为正实数),则a2=c2+bc·sin(λ-1)CsinC.证由正弦定理将待证等式转化为sin2A=sin2C+sinB·sin(λ-1)C.∵A=λC,∴B=π-(λ+1)C.∴sin2C+sinB·sin(λ-1)C=sin2C+sin(λ+1)C·sin(λ-1)C=12(1-cos2C)-12(cos2λC-cos2C)=12(1-cos2λC)=sin2λC=sin2A,即a2=c2+bc·s…     

对一道三角函数问题四种解法的剖析

题目已知sin2α=a,cos2α=b,则tan(α π4)的值为()(A)b1-a.(B)1 ab.(C)1 a b1-a b.(D)a-b 1a b-1.解法1 tan(α π4)=sin(α π4)cos(α π4)=2sin(α π4)cos(α π4)2cos2(α π4)=sin(2α π2)1 cos(2α π2)=cos2α1-sin2α=b1-a,所以选(A).解法2 tan(α π4)=sin(α π4)cos(α π4)=2sin2(α π4)2sin(α π4)cos(α π4)=1-cos(2α π2)sin(2α π2)=1 sin2αcos2α=1 ab.所以选(B).解法3 tanα=sinαcosα=2sinαcosα2cos2α=sin2α1 cos2α=a1 b,所以tan(α π4)=tanα tanπ41-tantαanπ4=a1 b 11-a1 b=1 a b1-a b,所以选(C…     

由余弦定理所导出的不等式的应用

本文将首先利用余弦定理导出三个不等式。这些不等式用在求证某类(与三角形元素有关的)极值问题时是非常有趣的。若角A、B、C能组成一个三角形,且所对边为a、b、c,则有下列不等式: sin(A/2)≤(a/2(bc~(1/2)),sin(B/2)≤b/2(ca~(1/2)), sin(C/2)≤c/2(ab~(1/2))。证明:利用余弦定理和半角公式: ∵cosA=1-2sin~2(A/2)=(b~2+c~2-a~2)/2bc即 2sin~2(A/2)≤a~2/2bc (∵(b-c)~2≥0)于是,sin(A/2)≤a/2(bc~(1/2))(∵sin(A/2)>0, ∴取正号) 显然△ABC为等腰三角形时(b=c)取等号.同理有:sin(B/2)≤b/2(ac~(1/2)),sin(C/2)≤c/2(ab~(1/2)) 例1 任意三角形的三边长为a、b、c。求证:     

三角形的双圆半径的一个"孪生"命题

文 [1 ]给出如下关于三角形双圆半径的一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .今给出此命题所引伸出的一个“姊妹”命题 :命题　设△ ABC的外接圆半径为 R,旁切圆半径为 r′,顶点 A、B、C到对应的旁心的距离分别为 a′0 、b′0 、c′0 ,则　 4 Rr′2 =a′0 b′0 c′0 .证明　如图 1 ,∵　 r′=a′0 sin A2 =b′0 cos B2=c′0 cos C2 ,∴　 r′3=a′0 b′0 c′0 sin A2 cos B2 cos C2 1又　△ =12 r′( b c - a) =Rr′( sin B sin C - sin A…     

运用正、余弦定理的推论解竞赛题

在△ABC中,其外接圆半径为R,角A,B,C的对边分别是a,b,c,由正弦定理可知a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=b2+a2-2abcosC可得到一组推论:sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA;sin2B=sin2A     

关于积的三个三角恒等式的推广

一易证下列三个恒等式成立: (1)sinθsin(θ+π/ 3)sin(θ+2π/ 3) =sin3θ/4; (2)cosθcos(θ+π/3)cos(θ+2π/3) =-1/4cos3θ; (3)tgθtg(θ+π/3)tg(θ+2π/3) =-tg3θ。本文把上述三个恒等式予以推广,其一般形式为: (Ⅰ) multiply form j=1 to n sin(θ+(j-1)/nπ)=sinnθ/2~(n-1); (Ⅱ) multiply form j=1 to n cos(θ+(j-1)/nπ) =(-1)~(n-2) sinnθ/2~(n/1) (n为偶数), (-1)~(n-1)~2 cosnθ/2~(n-1)(n为奇数);     

第五章 两角和与差的三角函数

1 化简与求值一、选择题 1.若锐角α、β满足sinα-sinβ=-1/2,cosα-cosβ=1/2,那么tg(a-β)的值是( ) (A)7~(1/2)/3 (B)-7~(1/2)/3 (C)±7~(1/2)/3 (D)7~(1/2)/3 2.若T=其中270°相似文献   

边成等差数列三角形的几个性质及其应用

定理:在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,则2sinB=sinA+sinC     

一个恒等式的构造及证明

在一次考试中,我出了这样一道题:求证:(1-cosα+sina)/(1+cosα+sinα)=tga/2(用两种方法证明)。这个等式的构造是由半角公式tgα/2=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)并再由等比定理直接推得: tgα/2=(1-cosα+sinα)/(1+cosα+sinα) ①由①的构造过程我们可得到一种简单方法。证一:右边=(1-cosα)/sina=sinα/(1+cosα)==(1-cosα+sinα)/(1+cosα+sinα)由于大部分学生不会用等比定理,该方法虽然简单,但问鼎者仅两人。大部分学生采取了下面的证法。证二:左边=(1-(1-tg~2(α/2))/(1+tg~2(α/2))+2tg(α/2)/(1+tg~2(α/2)))/(1+(1-tg~2(α/2))/(1+tg~2(α/2)+2tg(α/2)/(1+tg~2(α/2))=(1+tg~2(α/2)-1+tg~2(α/2)+2tg(α/2))/(1+tg~2(α/2)+1-tg~2(α/2)+2tg(α/2))=tgα/2证三:左边=(2sin~2(α/2)+2sin~2(α/2)cos(α/2))/(2cos~2(α/2)+2sin(α/2)cos(α/2))     

新题征展(49)

A 题组新编 1.在△ABC中,∠C=2∠B. (1)则(sin3B)/(sinB)等于( ). (A) (a)/(b) (B) (b)/(a) (C) (a)/(c) (D) (c)/(a) (2)则边c等于( ). (A) 2bsinC (B) 2bcosB (C) 2bsinB (D) 2bcosC (3)求证:c2-b2=ab. (4)已知△ABC三边组成一个公差为1的等差数列(且最大角是最小角的2倍)求三条边长.     

几个正(余)切函数公式的应用技巧

本文所谈及的系指如下公式:(1)tgα±tgβ=tg(α±β)(1tgαtgβ);(2)tgαtgβ=sin(α±β)/cosαcosβ(3)tgα/2=(1-cosα)/sinα,ctgα/2=(1 cosα)/sinα(4)     

考点17 解斜三角形

1.(江苏卷,5)△ABC中,A=π3,BC=3,则△ABC的周长为().(A)43sin(B+3π)+3(B)43sin(B+6π)+3(C)6sin(B+3π)+3(D)6sin(B+6π)+32.(辽宁卷,8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是().(A)(1,2)(B)(2,+∞)(C)[3,+∞)(D)(3,+∞)3.(上海卷,9)在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积S=.4.(湖南卷,13)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,且AB=3,则OA·OB=.5.(天津卷,17)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和cb=21+3,求…     

一道自招试题的三种解法

题目在△ABC中,tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3,求AC/AB.解法1不妨设A、B、C所对应的三边分别为a、b、c,a则 tanA=sinA/cos A=a/2R/b2+c2-a2/2bc=abc/R(b2+c2-a2),     

有比最大值更大的值

已知:a,b,c,d∈R,p,q∈R~+,且a~2+b~2=p,c~2+d~2=q。求ac+bd的最大值。解一:设a=p~(1/2)sinα,b=p~(1/2)cosα,(0≤α≤2π);c=q~(1/2)sinβ,d=q~(1/2)cosβ,(0≤β≤2π) ∵ac+bd=(p·q)~(1/2)(sinαsinβ+cosαcosβ) =(pq)~(1/2)cos(α-β) 故当α=β时,ac+bd有最大值。且值为(pq)~(1/2)。据基本不等式x~2+y~2≥2xy却易有下解。解二:∵a~2+c~2≥2ac,b~2+d~2≥2bd ∴ ac+bd≤(a~2+b~2+c~2+d~2)/2=(p+d)/2(此是一与a,b,c,d均无关的常数)。故有最大值是(p+d)/2。从上述解一、二我们得知,因(p+d)/2≥(pq)~(1/2),即有比ac+bd的最大值(pq)~(1/2)更大的值(p+d)/2。     

新题征展(132)

A题组新编1.设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知cos(A-C) +cosB=t(t是已知的正数),根据下列条件分别求出角B的大小:(1)a,b,c成等比数列;(2)a,b,c成等差数列.2.(1)求数列{2(n-1)/x(2n-1)+1}的前n项和Sn;(3n+1)+(3n+4)+(3(2)求数列(3n-2)+(3n+1)+(3n+4)+(3n+7)/(3n-2)(3n+1)(3n+4)(3n+7)的前n项和Tn.3.(1)证明:2(2n)-1 (n ∈ N*)至少有n个不同的素因数;(2)求C12n,C32n,C52n,…,C2n-12n的最大公约数.B藏题新掘4.已知曲线C:x｜x｜/a2-y｜y｜/b2=1,下列叙述中错误的是A.垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点B.直线y=kx +m(后,m∈R)与曲线C最多有三个交点C.曲线C关于直线y=-x对称D.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)为曲线C上任意两点,则有(y1-y2)/(x1-x2) ＞05.(二项式定理)在(x+y)n的展开式中,若第七项系数最大,则n的值可能等于____.     

课外练习

高一年级1.求面积为S的菱形绕其一边旋转一周,所得旋转体 的表面积. (山东滨州市第六中学(256651)李新民)2.对于任意定义在R上的函数f(x),若实数x0。满足 f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点,若二次函数f(x)=x2 ax 1没有不动点,求实数 a 的取值范围. (北京通州区潞河中学(10114)陈明)3.在△ABC中,已知三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,并且 c-a等于AC边上的高为h,求sin(C-A)/2 cos(C A)/2的值.