“分式法”妙解整式问题

化分式为整式是中学数学中常见的解题思路和解题习惯,本文介绍一种与此相逆的解题方法——化整式为分式,不妨称之为分式法.应用分式法解题就是:对于有些整式问题,首先设法将其转化为分式形式,然后在分     

学会数学思考 学会怎样解题——以“阿波罗尼斯圆的几何性质探究”为例

笔者以“阿波罗尼斯圆的几何性质”教学为例,呈现将“教学生学会思考”的原理应用于数学教学的过程.通过一题多解,从不同的视角研究问题,提升学生的发散性思维能力,体现数学知识之间较强的逻辑性和系统性.在解题过程中培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析素养,最终实现学生解题能力和数学素养的可持续发展.     

基于波利亚数学解题思想的解题教学——以圆锥曲线的“最值问题”为例

本文中以高考中圆锥曲线的“最值问题”为例,探析波利亚解题思想在数学解题教学中的应用,寻找能够启发学生数学思维的解题教学方法.     

从元认知看波利亚“怎样解题”表的价值

著名数学家波利亚认为中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考,他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．他专门研究解题的思维过程,分解解题的思维过程得到一张“怎样解题”表？     

归纳来“推断”,演绎去“验证”——在“尺规作图”教学中领悟波利亚的解题思想

每年中考中都有尺规作图的题目.如2017年无锡中考卷的第24题,设问新颖,立意较高,虽有难度,仍获好评.中考复习阶段,笔者将其作为教学素材,将教学片段中的困惑与思考、实践与学习及收获与感悟整理成文.     

在解题教学中培养学生的思维能力

“问题是数学的心脏”.学习数学的过程与数学的解题相关,而数学思维能力的提高更多地在于解题的质量而非解题的数量.著名数学教育家G·波利亚在他的《怎样解题》一书中要求我们在解出一道题后,有可能的话应从各方面对其进行分析.在习题课教学中,教师应该为学生提供探究的时间和     

化冰冷的美丽为绽放的绚丽——例谈题解研究

由于数学解题是一种创造性活动,教师谁也无法教会学生所有的题目,解题教学中最重要的是让学生通过有限道题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智,实现此目标的途径主要有两个：解题分析和案例研究．而解题分析的最佳时机“可能是读者解出一道题的时候,或者是阅读它的解法的时候”（波利亚语）,可见,对题解的研究（即“阅读它的解法”,下文称“题解研究”）是学会解题的一个重要途径．     

说题教学的尝试

波利亚提出的数学教学的三原则之首是主动学习原则，弗赖登塔尔也认为学校的教学必须使学生由被动地听发展到主动地获取知识．让学生说题，本质上是对老师说课活动的模仿，就是把审题、分析、解答和回顾总结的思维过程按一定准则说出来，促使学生暴露面对题目的思维过程，通过老师引导，同学相互补充，去伪存真，系统地把握解题过程，促使思维能力的发展．所以让学生说题可以成为数学课堂中培养思维能力的一项重要活动．     

先猜后证妙解四“难”题

解某些所谓“难”题时,如果采用直接求解的方法,不仅速度慢。而且容易陷入窘境,甚至最后把题目放弃,真是“山穷水尽疑无路”．此时,若采用先猜后证的解题思路,就有可能“柳暗花明又一村”．这种情形经常发生在以下几类题目中．     

一道例题引出的“绝招”

例　 ( a b c) 10 的展开式共有几项 ?本题的传统解法如下 :解　∵　 ( a b c) 10 =[( a b) c]10　　　 =C010 ( a b) 10 C110 ( a b) 9c C210 ( a b) 8c2 … C1010 c10 ,而　 C010 ( a b) 10的展开式共有 1 1项 ,C110 ( a b) 9c的展开式共有 1 0项C2     

一道三角函数错题引发的思考

波利亚在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练．”所以数学学习的核心是解题,广义的数学题是指数学上要求回答或解释的题目,需要研究或解决的矛盾．对于每一个数学题,即便是一个错题,也应该仔细分析,认真研究,使“问题”得以完美解决,从而还数学科学纯正之美．     

巧舞“三板斧” 妙解“爪型”三角形

“爪型”三角形是指在给定的一个三角形中,连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形.本文从“爪型”三角形的代数、几何特征入手,寻找最简便的解题方法,总结该类题型的解题规律,从整体上把握认识,做到有的放矢.     

波利亚解题思想下GeoGebra辅助数学解题教学——以三角函数题为例

学生能在解题过程中,获得数学基本知识、基本技能、基本活动经验以及基本思想,并提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.本文聚焦数学核心素养,尝试在波利亚“怎样解题表”的指引下,借助GeoGebra解决一道三角函数试题,以期为数学教师优化解题教学以及将GeoGebra融入高中数学课堂提供实践参考.     

不定方程妙解“2009”

关于不定方程的解的组数问题,有以下两个结论： 结论1 不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xn=m（m,n∈N^＊）,则此方程的正整数解有Cm-1^n-1组．     

谈谈“补集思想”在解题中的应用

所谓“补集思想” ,它来源于集合 ,在约定全集的情况下 ,集合Ａ和它的补集Ａ ,只要清楚一个 ,另一个也就清楚了 .这就在思维方式上启发我们 ,有些问题可以通过处理“反面” ,而使“正面”获解 .下面让我们一起来看几个实例 .例 1　如果ＡＣ <0且ＢＣ <0 ,那么直线图 1　例 1图ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 不经过的象限是 .分析 :由于在坐标平面中 ,直线经过哪些象限搞清了 ,不经过的象限也就自明了 ,并且由直线方程系数的性质 ,判断它在坐标平面中的位置比较方便 .解　由Ｂ≠ 0 ,直线方程可变为 ｙ =- ＡＢ ｘ -ＣＢ ,依ＢＣ <0 ,故 - ＣＢ >0 ,即…     

源于概念的病题、错解

美国大数学家波利亚对数学解题过程进行了深入研究,给出了极具启发性的“怎样解题”表,认为解题过程分可为四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾．并提醒在拟定计划过程中一旦陷入困境的几种解决方法,其中一种方法就是回到定义．解题的麻烦可能是由于没有充分理解问题中那些基本词句的意义而引起的．     

在解题中促进学生学会研究的教学实践——以“探索长方体和圆柱表面路径最短问题”为例北大核心

研究解题教学的文章较多,尤其是研究解题方法、解题技巧类的更多．事实上,目前较多存在解题教学功能异化的现象,比如过分追求应试的技巧、过分追求试题的偏、难、怪,大量存在通过刷题来提高成绩的现象,这些过分功利化的做法是导致数学学科饱受诟病的主要原因．     

思维导图与波利亚解题思想融合的教学实践研究——以“二次函数”为例

二次函数是初中数学知识体系的重要构成.在新的教育生态下,如何整合现代教育技术与数学解题思想,引导学生学会思考、学会解题,是当前培养和发展初中学生数学解题能力的应有之举.以波利亚解题思想作为理论支撑,以“二次函数”教学实践为载体,活用思维导图,探索优化数学解题过程、提高学生数学解题能力的实践路径.     

数学解题后的反思

反思是解题过程中的一个重要环节．费赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力．”波利亚说：“如果没有了反思，就错过了解题的一次重要而有效益的方面．通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的思路，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力．”     

关于新课标教材“算法”一章的教学思考与设想

算法进入中学教材，让人感到来得突然，因为算法概念从未进入我国中学数学教学大纲，大多数教师在大学毕业后从未直接接触过算法．新的高中数学课程标准把算法作为重要内容列入必修课，出乎中学教师的意料，也自然增加了教学的难度。本文介绍自己学习《算法》后的一些教学思考与设想，以期与大家交流与探讨（以下如无特别说明，均以江苏版教材必修3为例）