极坐标系下的图形旋转

法则　设曲线Ｃ的极坐标方程为 ｆ(ρ ,θ) =0 ,把曲线Ｃ绕极点逆时针方向旋转角α (0 <α <π)得曲线Ｃ′ ,则曲线Ｃ′的极坐标方程为 :ｆ(ρ ,θ-α) =0 .例 1　 (1999年高考题 )在极坐标系中 ,曲线 ρ=4ｓｉｎ(θ - π3)关于 (　　 )(Ａ)点 (2 ,π3)中心对称 .(Ｂ)直线θ=5π6 轴对称 .(Ｃ)直线θ=π3轴对称 .(Ｄ)极点中心对称 .解　因为 ρ =4ｓｉｎθ的图形是圆心在 (2 ,π2 )半径为 2的圆 ,如图 1(1) ,只须把此圆绕极点按逆时针方向旋转 π3,即得曲线 ρ =4ｓｉｎ(θ - π3) ,此圆的圆心为 (2 ,5π6 ) ,如图 1(2 ) ,故选 (Ｂ) .(1 )　…     

带重结点的H_m~T(θ)型求积公式

本文讨论了2π周期函数的正常积分带重结点的具有最大三角精度m-1的HTm(θ)型求积公式;当结点组取定后,得到了求积公式具体的型,并且构造出HTm(θ)型求积公式.     

带重结点的HTm(θ)型求积公式

本文讨论了2π周期函数的正常积分带重结点的具有最大三角精度m-1的HTm（θ）型求积公式;当结点组取定后，得到了求积公式具体的型，并且构造出HTm（θ）型求积公式.     

含Hilbert核的奇异积分带重结点的求积公式

本文讨论了Ｈｅｒｍｉｔｅ三角插值问题利用Ｈｅｒｍｉｔｅ三角插值建立２π周期函数正常积分带重结点的求积公式，用分离奇异点的方法建立了含Ｈｉｌｌｂｅｒｔ核的奇积分带重结点的求积公式。     

利用直径解题

直径是一条特殊线段,其实也没有什么特殊,只不过它的两个端点都在同一个圆上,且通过圆心,它是一条经过圆心的弦,但是弦可不一定都是直径啊!直径的长是同圆半径的2倍,直径与π的积就是该直径确定的圆的周长,而直径的平方与π积的1/4就是这条直径确定的圆的面积.     

高一年级第二学期末数学自测题

选择题(共14小题,第1-10题每小题4分,第11-14题每小题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1　ｔｇ67°30′=(　　)(Ａ)3 1.　　　　　　(Ｂ)3-1.(Ｃ)2 1.　　　　　　(Ｄ)2-1.2　下列函数中,以π4为最小正周期的是(　　)(Ａ)ｙ=ｃｏｓ22ｘ-ｓｉｎ22ｘ.(Ｂ)ｙ=ｔｇｘ21 ｔｇ2ｘ2.(Ｃ)ｙ=1 ｓｉｎ4ｘｃｏｓ4ｘ.(Ｄ)ｙ=ｔｇ2ｘ1-ｔｇ22ｘ.3　已知圆锥底面面积是π,母线与底面所成的角为60°,则它的侧面积是(　　)(Ａ)2π.(Ｂ)3π.(Ｃ)3π.(Ｄ)33π.4　用半径为10ｃｍ的半圆形薄铁板卷成一个无底的圆锥筒,若不计损耗,…     

考点22 直线与圆的位置关系

1.(重庆卷,1)圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为().(A)(x-2)2+y2=5(B)x2+(y-2)2=5(C)(x+2)2+(y+2)2=5(D)x2+(y+2)2=52.(全国卷,4)已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围是().(A)(-22,22)(B)(-2,2)(C)(-42,42)(D)(-18,81)3.(北京卷,4)从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为().(A)π(B)2π(C)4π(D)6π4.(全国卷,13)圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为.考点22直线与圆的位置关系1.因为圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),故选(A).2.直线l的方程为…     

一道希望杯赛题的背景及应用

第7届希望杯高二赛题:①求证:函数f(θ)=sinθθ(θ<θ≤π2)是减函数;②求证:当0<θ<π4时,sinθ>2 2πθ;③求证:当0<θ<π4时,sinθ<2θπ.(提示:证明②③可使用①的结论)这是一道源于课本而又高于课本的能力型试题,而且具有较为丰富的数学史背景,充分体现了“希望杯”竞赛以能力立意的原则,试作如下解析.1源头这道赛题源于课本题:(04年人教社A版必修4P25B组第4题)设α∈(0,π4),角α的终边与单位圆的交点P(x,y),试利用单位圆比较正弦线、余弦线、正切线的数量的大小关系以及长度的大小关系.当α∈(0,2π)时你能利用单位圆中的函数线,…     

不带微商的边界型求积公式

本文在不带微商项的条件下,对一些特殊区域构造了具有最高代数精确度的边界型求积公式。还对某些较广泛的区域解决了构造3次边界型或非边界型求积公式的“最少结点数”的问题。 首先,我们在立方体区域上将Sadowsky的42点5次边界型求积公式的结点个数减少到32点,并证明了要构造立方体区域上的5次边界型对称求积公式,结点个数不能少于32。文中还构造出n维双层球壳区域上具有最高(3次)代数精度和最少结点个数((2n+2)点)的边界型求积公式。因此,[5]中构造出的3维双层球壳区域上的8点3次边界型求积公式是“最少结点数”的求积公式。最后,证明了对于2维、3维轴对称区域(即关于所有坐标轴都对称的区域)构造3次求积公式,至少分别用到4个和6个结点。对于n维球域构造3次求积公式至少要用到2n个结点。 本文出现的求积公式都是不带微商项的。     

一道习题的两种新证法

高中《代数》上有这样一道习题: (1)证明π是函数y=sinxcosx的一个周期; (2)证明π是函数y=sinxcosx的最小正周期。对于(2)一般的教学参考书上都采用反证,但师生终以见不到直接证法为憾事,下面给出两种新证法。证一如图,在单位圆中,设∠UOP=π/4,∠POQ=T (0相似文献   

2001年普通高等学校招生全国统一考试 (津晋赣)数学(理工农医类)试题及参考解答

一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1)函数 y =3sin(x2 π3)的周期、振幅依次是(　　 ) .(A) 4π、3　 (B) 4π、 - 3　 (C)π、3　 (D)π、 - 3(2 )若 Sn 是数列 { an}的前 n项和 ,且 Sn =n2 ,则{ an}是 (　　 ) .(A)等比数列 ,但不是等差数列(B)等差数列 ,但不是等比数列(C)等差数列 ,而且也是等比数列(D)既非等比数列又非等差数列(3)过点 A(1,- 1)、B(- 1,1)且圆心在直线 x y - 2 =0上的圆的方程是 (　　 ) .(A) (x - 3) 2 (y 1) 2 =4(B) (x 3) 2…     

阿基米德,数值分析学者

1.引言设p_N和P_N分别为单位圆的内接及外切正N边形的周长的一半。那么有p_3=3(3~1/2)/2,P_3=3(3~1/2),p_4=2(2~1/2),P_4=4。从几何上看,显然序列{P_N}及{P_N}分别是单调上升及单调下降序列,具有共同极限π。这就是阿基米德求π的近似值的基本方法(可参看Heath[2].)阿基米德利用初等几何的推理方法,得到了下面的递推关系,在此关系式中这两个序列是交错地联     

三角函数线在解答中的应用

单位圆中的三角函数线是三角函数的一种几何表示 .用函数线的数值来代替三角函数值比由定义所规定的比来得出三角函数的值优越得多 .因此 ,三角函数线是讨论三角函数性质的一个重要工具 .透彻理解在单位圆中的三角函数线并能灵活运用是解三角题的重要技巧 .例 1　 ( 1 992年高考题 )在 [0 ,2π]上满足ｓｉｎｘ≥12 的ｘ的取值范围是 (　　 )(Ａ) 0 ,π6 .　　　 (Ｂ) π6 ,5π6 .(Ｃ) π6 ,2π3. (Ｄ) 5π6 ,π .图 1　例 1图分析　由图 1中很容易看出在 [0 ,2π]上满足条件的ｘ应满足 :π6≤ｘ≤5π6 ,故选 (Ｂ) .评注　对于这类简单的三角…     

古代算学家刘徽的极限观念

割圆术如所周知,是关于圆周率计算问题的讨论.该术载于“九章算术”第1章方田第32问之后.在我国古代,有一个较长的时期,认为圆周长和直径长之比是“周3径1”.即认为π=3,圆面积等于圆径平方的3/4,这当然是不正确的.我们知道:合于“周3径1”的不是圆周长,而是圆的内接正6边形的周长.刘徽指出了这个错误,并提出了他自己的计算方法--割圆术.他的方法就是:从已知的圆内接正多边形每边的长,用勾股弦定理求出内接边数加一倍的正多边形的边长.他从内接正6边形做起,依法求得正     

圆周率的尾巴到底有多长

古代埃及人一直认为:圆是神赐给人的神圣礼物,因为圆是非常完美的图形．圆周率是圆周长与直径的比值,正由于圆的特殊,所以圆周率也变得非常特殊．众所周知,圆周率是一个常数,通常用希腊字母π表示．关于圆周率的计算问题,历来是中外数学家极感兴趣、孜孜以求的问题．从公元前2000年,古埃及人便算出了圆周率的第一位,公元前1200年,中国人也算出了圆周率的第一位．到公元前2世纪,中国的《周髀算经》里已有“周三径一”的记载．在以后相当长的一段时间内,古巴比伦、古印度、古中国实际上都长期使用π=3这个数值．只有到了东汉时期才有一位数学家算出圆周率为3．16．     

一个快速确定θ/n角的终边位置的简易方法

通常,我们把一个角的终边位置所在的象限,叫做该角的象限.若一个角θ属于第一象限,那我们如何确定θ2 所在的象限呢?很明显,多数人会认为θ2 也属于第一象限.但事实上,第一象限的角范围,可以一般地表示为:2kπ<θ<2kπ+ π2 (k∈Z) ,所以kπ<θ2 相似文献   

2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设全集是实数集,若A={x|x-2≤0},B={x|10x2-2=10x},则A∩B是(　　).　(A){2}　(B){-1}　(C){x|x≤2}　(D)解　由x-2≤0得x=2,故A={2};由10x2-2=10x得x2-x-2=0,故B={-1,2}.所以A∩B=.故选(D).2.设sinα&;gt;0,cosα&;lt;0,且sinα3&;gt;cosα3,则α3的取值范围是(　　).　(A)(2kπ+π6,2kπ+π3),k∈Z　(B)(2kπ3+π6,2kπ3+π3),k∈Z　(C)(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z　(D)(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z解　由2kπ+π2&;lt;α&;lt;2kπ+π得2kπ3+π6&;lt;α3&;lt;2kπ3+π3,k∈Z.又　sinα3&;gt;cosα3,所以又有2kπ+π4&;lt;α3&;lt;2kπ+5π4,k∈Z.此两式的公共部分为(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z.故选(D).3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是(　　).(A...     

一个几何式不等的导数证法

设pn,qn分别为内接于、外切于半径为R的圆的正n边形的周界,证明:23pn 31qn>2πR.证由pn=2Rnsinπn,qn=2Rntanπn,得32pn 13qn=32Rn(2sinπn tgπn).要证32pn 13qn>2πR,只须证2sinπn tanπn>3nπ即可.令F(x)=2sinx tanx-3x,00,故有F(x)>F(0)=0即2sinx tanx-3x>0,从而有sinπn tanπn>3πn,于是有32pn 13qn>2πR.一个几何式不等的导数证法@谢先武$江西师大数信学院!江西…     

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

直线与圆

选择题1　直线ｘｃｏｓα ｙ 1=0的倾斜角θ的取值范围是 (　　 )(Ａ) [- π4 ,π4 ].　　　 (Ｂ) [π4 ,3π4 ].(Ｃ) [0 ,π4 ]∪ [3π4 ,π) .(Ｄ) [0 ,π4 ]∪ [3π4 ,π].2　下列命题中正确的是 (　　 )(Ａ)经过点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线都可以用方程 ｙ -ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )表示 .(Ｂ)经过定点Ｐ(0 ,ｂ)的直线都可以用方程 ｙ =ｋｘ ｂ表示 .(Ｃ)不经过原点的直线都可以用方程 ｘａ ｙｂ =1表示 .(Ｄ)过任意两个不同的点Ｐ1(ｘ1,ｙ1)和Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 )的直线都可以用方程 (ｙ - ｙ1) (ｘ2 -ｘ1) =(ｘ -ｘ1) (ｙ2 - ｙ1)表示 .3　过点Ａ…