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1.
中学课程中的数学建模 总被引：4，自引：0，他引：4
中学课程中的数学建模叶其孝编译编译注本文编译的是１９９１年由美国数学教师联合会（ＴｈｅＮａｔｉｏｎａｌＣｏｕｎｃｉｌｏｆＴｅａｃｈｅｒｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｉｎｃ．）出版的由ＦｒａｎｋＳｗｅｔｚ和ＪｅｆｆｅｒｓｏｎＳＨａｒｔｚｌｅｒ编的小册子... 相似文献
2.
圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质 总被引：7，自引：5，他引：2
笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1 过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明 如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β… 相似文献
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整体数学(Integrated Mathematics)是2001年由美国迈克道格公司出版的一套数学教材(以下简称IM教材)，共三本(几何、代数1、代数2)，适合于9-11年级使用，这套教材因基于美国2000年数学课程标准理念编写而倍受各方关注． 相似文献
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1 △ＡＢＣ的三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,ｂ <ｃ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,点Ｄ在边ＢＣ上 ,1)求在线段ＡＢ ,ＡＣ内分别存在点Ｅ ,Ｆ(不是顶点 )满足ＢＥ =ＣＦ和∠ＢＤＥ =∠ＣＤＦ的充要条件(用角Ａ ,Ｂ ,Ｃ表示 ) ;图 1 题 1图2 )在点Ｅ和Ｆ存在的情况下 ,用ａ ,ｂ ,ｃ表示ＢＥ的长 .解 1)设∠ＦＤＣ =∠ＥＤＢ =α ,则在△ＤＦＣ中 ,由正弦定理得ＣＦｓｉｎα =ＣＤｓｉｎ∠ＤＦＣ =ＣＤｓｉｎ(α +Ｃ) .即 ＣＦ =ＣＤｓｉｎαｓｉｎ(Ｃ +α) (1)在△ＤＥＢ中 ,同理有 ＢＥ =ＤＢｓｉｎαｓｉｎ(Ｂ +α) (2 )由 (1) ,(2 )及ＢＥ … 相似文献
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20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1 锐角三角形ＡＢＣ中有内接△ＤＥＦ ,且ＦＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＥＦ ⊥ＡＢ于Ｆ ,求证 :Ｓ△ＡＢＣ ≥ 3Ｓ△ＤＥＦ.(武汉华中理工大学西十四舍 5号 黄元兵 43 0 0 74)证 △ＡＢＣ三边分别与△ＤＥＦ三边垂直 ,又△ＡＢＣ为锐角三角形 ,有∠Ａ =∠ＤＥＦ ,∠Ｂ =∠ＥＦＤ ,∠Ｃ =∠ＦＤＥ即有△ＡＢＣ ∽△ＤＥＦ .又公比ｑ=ＢＣＤＦ =ＢＤＤＦ ＣＤＤＦ=ｃｏｔＢ ＤＥＤＦｓｉｎＣ=ｃｏｔＢ ｓｉｎＢｓｉｎＡｓｉｎＣ =ｃｏｔＢ ｓｉｎ(Ａ Ｃ)ｓｉｎＡｓｉｎＣ=… 相似文献
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圆锥曲线焦半径的一个性质 总被引：1，自引：1，他引：0
定理 1 Ａ1 ,Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ｆ为椭圆的焦点 ,ｌ为椭圆的与Ｆ对应的准线 ,Ｐ是椭圆上任一点 (除Ａ1 、Ａ2 外 ) ,设Ａ1 Ｐ、Ａ2 Ｐ分别与ｌ交于Ｍ、Ｎ ,则①ＭＦ⊥ＮＦ ,②以ＭＮ为直径的圆与ＰＦ相切于Ｆ ,③ＦＭ平分∠ＰＦＡ2 (如图 1 ) .图 1证明 ①设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >ｂ>0 ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｆ(ｃ ,0 ) ,ｌ:ｘ =ａ2ｃ,Ａ1 (-ａ ,0 ) ,Ａ2 (ａ ,0 ) .则Ａ1 Ｐ : ｙ=ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα +1 ) (ｘ+ａ) ,Ａ2 Ｐ : ｙ =ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα - 1 ) (ｘ -ａ) ,容易求得Ｍ ａ2ｃ… 相似文献
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《数学通报》2001,(7)
20 0 1年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 31 6 已知ｓｉｎ3θ-ｃｏｓ3θ=22 ,求ｓｉｎθ-ｃｏｓθ的值 .(南昌大学附中 宋庆 330 0 2 9)解 令ｓｉｎθ -ｃｏｓθ =ｔ,则 ｜ｔ｜≤ 2 ,且ｓｉｎθｃｏｓθ =12 (1 -ｔ2 ) .∴ 22 =ｓｉｎ3θ-ｃｏｓ3θ= (ｓｉｎθ-ｃｏｓθ) (ｓｉｎ2 ｓｉｎθｃｏｓθ ｃｏｓ2 θ)=ｔ[1 12 (1 -ｔ2 ) ]=- 12 ｔ3 32 ｔ.∴ ｔ3- 3ｔ 2 =0 ,∴ ｔ(ｔ2 - 2 ) - (ｔ- 2 ) =0 ,∴ (ｔ- 2 ) (ｔ2 2ｔ- 1 ) =0 ,∴ ｔ=2或ｔ=6- 22 ,∴ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ的值为 2或 6- 22 .1 31 7 △ＡＢＣ… 相似文献
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问题是数学的核心 ,思想 (数学思想 )是数学的灵魂 .数学思想在数学解题中的自觉应用正在引起广大中学生的高度重视 .2 0 0 2年高考第一次北京市自主命题 ,现撷取其中题目加以评析 ,供读者欣赏 .一、( 2 )在平面直角坐标系中 ,已知两点Ａ(ｃｏｓ80° ,ｓｉｎ80°) ,Ｂ(ｃｏｓ2 0°,ｓｉｎ2 0°) ,则 |ＡＢ|的值是( ) .(Ａ) 12 (Ｂ) 22 (Ｃ) 32 (Ｄ) 1解 |ＡＢ|=(ｃｏｓ80° -ｃｏｓ2 0°) 2 +(ｓｉｎ80° -ｓｉｎ2 0°) 2=ｃｏｓ2 80° +ｓｉｎ2 80° +ｃｏｓ2 2 0°+ｓｉｎ2 2 0° - 2 (ｃｏｓ80°ｃｏｓ2 0° +ｓｉｎ80°… 相似文献
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在数学学习中 ,我们可以发现 ,有很多的数学概念、公式、定理等都有一定附加条件 ,而为了叙述的方便 ,往往以括号的形式给出 .我们经常形象地称之为“尾巴” .例如 ,双曲线的定义 :平面内与两个定点Ｆ1、Ｆ2 的距离的差的绝对值是常数 (小于 |Ｆ1Ｆ2 |)的点的轨迹叫双曲线 ;二次函数的定义 :形如ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的函数叫二次函数 ;反三角函数的定义 :函数ｙ=ｓｉｎｘ(ｘ∈ [-π2 ,π2 ])的反函数叫反正弦函数 ;等比数列的求和公式 :Ｓｎ =ａ1( 1 -ｑｎ)1 -ｑ (ｑ≠ 1 ) ;反正弦函数的性质 :ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎｘ) =ｘ (ｘ∈… 相似文献
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无穷级数是数学分析、微积分、高等数学等课程的重要组成部分 ,它在组合数学、近似计算、敛散性判断等领域中起着不可估量的作用 .本文按照初等数学与高等数学相结合的原则 ,收集整理了无穷级数∑∞ｎ =11ｎ2 =π26 的二种证明方法 ,为同学们学习提供一些参考 .证法一 棣莫佛公式法 (ＤｅＭｏｉｖｅｒ)将ＤｅＭｏｉｖｅｒ公式 (ｃｏｓα+ｉｓｉｎα) ｋ =ｃｏｓｋα+ｉｓｉｎｋα按二项式定理展开为ｃ0ｋｃｏｓｋα +ｃ1 ｋｃｏｓｋ- 1 α·ｉｓｉｎα -ｃ2 ｋｃｏｓｋ- 2 α·ｓｉｎ2 α +… +ｃｋｋ(ｉｓｉｎα) ｋ =ｃｏｓｋα+ｉｓｉｎ… 相似文献
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Ｗｅｒｅｓｔｒｉｃｔｏｕｒｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｔｏｏｒｉｅｎｔａｂｌｅａｎｄｃｏｍｐａｃｔｃａｔｅｇｏｒｙ .Ｆｏｒｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓａｎｄｔｅｒｍｉｎｏｌｏｇｙ ,ｓｅｅｆｏｒｅｘａｍｐｌｅ ,[1 ]ａｎｄ [2 ]. ＬｅｔＳｂｅａｃｌｏｓｅｄｏｒｉｅｎｔａｂｌｅｓｕｒｆａｃｅｗｉｔｈｐｏｓｉｔｉｖｅｇｅｎｕｓ .Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ ,ＭａｌｗａｙｓｄｅｎｏｔｅｓＳ×Ｉ ,ａｎｄＳ0 =Ｓ× 0 ,Ｓ1=Ｓ× 1 .ＡｎａｎｎｕｌｕｓＡｉｎＭｗｉｔｈｉｔｓｔｗｏｂｏｕｎｄａｒｉｅｓｌｙｉｎｇｉｎＳ0ａｎｄＳ1ｒ… 相似文献
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(考试时间 :2 0 0 2年 8月 1 3日上午 8:3 0 - 1 1 :3 0 )注意 :考试中需要下列工具 :计算器、圆规、直尺 .参考公式 :三角形的面积ｋ =12 ａｂｓｉｎＣ两角和与差的三角函数ｓｉｎ(Ａ +Ｂ) =ｓｉｎＡｃｏｓＢ +ｃｏｓＡｓｉｎＢｃｏｓ(Ａ +Ｂ) =ｃｏｓＡｃｏｓＢ -ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎ(Ａ -Ｂ) =ｓｉｎＡｃｏｓＢ -ｃｏｓＡｓｉｎＢｃｏｓ(Ａ -Ｂ) =ｃｏｓＡｃｏｓＢ +ｓｉｎＡｓｉｎＢ正弦定理ａｓｉｎＡ=ｂｓｉｎＢ=ｃｓｉｎＣ余弦定理ａ2 =ｂ2 +ｃ2 - 2ｂｃｃｏｓＡ二倍角公式ｓｉｎ2Ａ =2ｓｉｎＡｃｏｓＡｃｏｓ2Ａ =ｃｏｓ2 Ａ -ｓ… 相似文献
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Yang Wenshan 《高等学校计算数学学报(英文版)》2000,9(1):5-18
1 ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＬｅｔＸｂｅａｃｏｍｐａｃｔＨａｕｓｄｏｒｆｆｓｐａｃｅ ,ｗｉｔｈＣ(Ｘ)ｔｈｅｓｐａｃｅｏｆｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓｄｅｆｉｎｅｄｏｎＸ ,ａｎｄｌｅｔＭ Ｃ(Ｘ)ｂｅｎｏｎｅｍｐｔｙ.ＬｅｔＦ(ｘ ,ｙ) :Ｘ×Ｒ →Ｒｂｅａｎｏｎ ｎｅｇａｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ ,ａｎｄｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍ :ｆｉｎｄｙ∈Ｍｔｏｍｉｎｉｍｉｚｅ‖Ｆ(.,ｙ )‖ ,(1)ｗｈｅｒｅ‖Ｆ (.,ｙ )‖ =ｓｕｐｘ∈ＸＦ(ｘ ,ｙ(ｘ) ) .Ｔｈｅｍ… 相似文献
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§ 1.Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ＴｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｃｏｎｃｅｒｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｔｉｍｅｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｐｏｒｏｕｓｍｅｄｉｕｍｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｗｅａｋｌｙｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｏｕｒｃｅｓａｎｄｗｉｔｈｔｈｅＤｉｒｉｃｈｌｅｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ,ｎａｍｅｌｙ ,ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍ ｕ ｔ =Δ(｜ｕ｜ｍ- 1ｕ) +Ｂ(ｘ ,ｔ,ｕ) +ｆ(ｘ ,ｔ) ｉｎΩ×Ｒ ,(1 .1 )ｕ(ｘ ,ｔ) =0 ｏｎ Ω×Ｒ , (1 .2 )ｕ(ｘ ,ｔ+ω) =ｕ(ｘ ,ｔ) ｉｎ Ω×Ｒ ,… 相似文献
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《数学通报》2001,(2)
20 0 1年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 91 在△ＡＢＣ中 ,ＢＣ=ａ ,顶点Ａ在平行于ＢＣ且与ＢＣ相距为ａ的直线上滑动 .求 ＡＢＡＣ的取值范围 .(江西永修一中 宋庆 330 30 4 )解 令ＡＣ =ｘ ,ＡＢ=ｋｘ(ｘ>0 ,ｋ >0 ) ,则ａｓｉｎＡ =ｘｓｉｎＢ,且ｓｉｎＢ=ａｋｘ.于是 ,ａ2 =ｋｘ2 ｓｉｎＡ .在△ＡＢＣ中 ,由余弦定理可得ｘ2 ｋ2 ｘ2 -ｋｘ2 ｓｉｎＡ=2ｋｘ2 ｃｏｓＡ ,∴ｋ 1ｋ =ｓｉｎＡ 2ｃｏｓＡ=5ｓｉｎ(Ａ ａｒｃｔｇ2 )≤ 5,∴ｋ 1ｋ ≤ 5,∴ｋ2 - 5ｋ 1 ≤ 0 ,∴ 5- 12 ≤ｋ≤ 5 12 ,∴ 5- 12 ≤ ＡＢＡ… 相似文献
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《中学生数学》2003,(7)
高一年级1.设 ｆ(ｔ) =ｔ3 +2 0 0 3ｔ,易证 ｆ(ｔ)在Ｒ上是奇函数且递增函数 ,由题意可知 :ｆ(ｘ - 1) =- 1, ｆ(ｙ - 1) =1.即 ｆ(ｘ - 1) =-ｆ( ｙ - 1) =ｆ( 1-ｙ) .∴ ｘ - 1=1-ｙ ,故ｘ +ｙ =2 .2 .由条件知 :ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ,ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 中必有一个不大于 1,一个不小于 1.不妨设 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ≤ 1, ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 ≥ 1.∵ α ,β∈ ( 0 ,π2 ) ,又ｙ=ｓｉｎｘ在 ( 0 ,π2 )上递增 .∴ ｓｉｎα≤ｃｏｓβ且ｓｉｎβ≥ｃｏｓα .∴ ｓｉｎα≤ｓｉｎ( π2 - β)且ｓｉｎβ≥ｓ… 相似文献
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三角函数的图象与性质 选择题1 若α为第一象限角 ,那么ｓｉｎ2α ,ｃｏｓ2α ,ｓｉｎ α2 ,ｃｏｓ α2 中必定取正值的有 ( )(Ａ) 0个 . (Ｂ) 1个 . (Ｃ) 2个 . (Ｄ) 3个 .2 已知1 ｓｉｎｘｃｏｓｘ =- 12 ,则 ｃｏｓｘｓｉｎｘ - 1的值是 ( )(Ａ) 12 .(Ｂ) - 12 . (Ｃ) 2 .(Ｄ) - 2 .3 已知ｓｉｎαｃｏｓα =18且 π4 <α <π2 ,则ｃｏｓα -ｓｉｎα的值等于 ( )(Ａ) 32 .(Ｂ) 34.(Ｃ) - 32 .(Ｄ)± 32 .4 下列函数中 ,在 (0 ,π2 )上为增函数 ,且以π为周期的奇函数是 ( )(Ａ) ｙ =ｓｉｎｘ .(Ｂ) ｙ =… 相似文献
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有些三角题 ,看起来似乎与数列毫不相干 ,但仔细观察 ,便可发现它们的条件中隐含着等差 (或等比 )数列的因素 ,通过巧设公差(或公比 )可以改变问题的结构 ,促成问题的解决 .请看几例 .例 1 (1991年上海市高三数学竞赛题 )已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2 ,试求 (ｌｏｇ12 ｓｉｎθ)·(ｌｏｇ12ｃｏｓθ)的值 .(1991年上海市高三数学竞赛题 )解 ∵ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2 =2× 22 ,∴ｓｉｎθ ,22 ,ｃｏｓθ成等差数列 .令ｓｉｎθ =22 -ｄ ,ｃｏｓθ =22 ｄ .由ｓｉｎ2 θ ｃｏｓ2 θ =1,得(22 -ｄ) 2 (22 ｄ) 2 =1,解得ｄ =0 .∴ｓｉｎθ… 相似文献
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两个三角函数恒等式及其应用 总被引：1，自引：0，他引：1
定理 1 设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ(β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ(α - β) =0 . (1) 定理 2 设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎαｓｉｎ(β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ( γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ(α - β) =0 .(2 )证 构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ(3)(4 )由 (3) ,(4 )两式可得 ｘｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(γ - β) (5) ｙｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(α -γ) (6 )将 (3)式两边同乘ｓｉｎ(α - β)后 ,再将 (5) ,(6 )两式代入即得定理 1.将 (4 )式… 相似文献