等差（等比）数列中的相等问题

我们知道 ,非零的常数列既是等差数列 ,又是等比数列 .在这类数列中 ,对于任意自然数 p ,q ,都有ap=aq.除此之外 ,还有没有其它等差 (等比 )数列使ap=aq 成立 ?Sp =Sq的情况又如何 ?本文将对这些问题进行探讨 .1　等差数列中的相等问题设 {an}是等差数列 (非常数列 ,下同 ) ,是否存在自然数 p ,q ( p≠q) ,使ap =aq,Sp=Sq?分析　若ap=aq,则由等差数列的通项公式有a1+ ( p - 1 )d =a1+ ( q - 1 )d .因为 {an}不是常数列 ,即公差d≠ 0 ,所以 ,必有 p =q .这与 p≠q的条件相矛盾 .这样 ,我们就得出第一个结论 :对于非常数列的数差数列 ,它的…     

一道高考题的背景

2000年高考数学卷(理科)第20题第1小题:已知数列{Cn},其中Cn=2n 3n,且数列{Cn 1-pCn}为等比数列,求常数p.此题的背景来源于这样一个简单的事实:对于数列{an},若{an 1-pan}是以q为公比的等比数列(p≠0,q≠0),且a2-pa1≠0,则{an 1-qan}是以p为公比的等比数列.证明　∵　{an 1-pan}是公比为q的等比数列,∴　an 1-pan=q(an-pan-1),an 1-pan=qan-pqan-1.移项重组得　an 1-qan=p(an-qan-1),所以数列{an 1-qan}是以p为公比的等比数列.用这个简单的事实来解此高考题简洁明了,而且能深入问题的本质.∵　{Cn 1-pCn}为等比数列,设其公比为q(q≠0),∴…     

由递推式a_(n+1)=pa_n+f(n)求通项的方法

一、引子 线性递推式an+1=pan+q(p,q为常数)的启示. 常见线性递推公式an+1=pan+q(p,q为常数)求数列通项公式的基本思路是由待定系数法构造等比数列,令an+1+a=p(an+a),得a=q/p-1(p≠1),从而有an+1+q/p-1=p(an+q/p-1),数列{an+q/p-1}为等比数列,则数列通.项公式易得. 受以上解题启发,我们可以求以下相关数     

化递归数列为基本数列

对于一些递归数列,怎样求它的通项公式呢？许多学生常常感到困惑不解、束手无策．本文举例说明可将它转化为基本（等差或等比）数列来解决．这是一种重要的数学思想方法．１课本上的递归数列转化为基本数列例１（高中代数下册（必修）Ｐ１３２第３４题）已知数列｛ａｎ｝...     

新课程背景下数列教学的“四驾马车”

在新课程中,数列在教材中的地位发生了较大的变化,由原来的高二学习,改在高一学习,由原来的放在不等式后面学习,改变为放在函数后面学习;在新课程理念下,我们应该围绕着学生的主体发展组织教学,我们的教学应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.在数列教学中,应引导学生围绕着化归思想、函数思想、类比意识、数学文化,层层展开教学,这是学习好数列的“四驾马车”.1倡导化归思想化归思想是我们解决数学问题的一种基本策略,化归思想就是把不熟悉问题转化为熟悉问题,把复杂…     

递推法求数列通项的几种简单类型

在数列教学中引入等差数列和等比数列的线性递推式 ,可以为求数列的通项公式提供一些灵活多变的方法 .由递推法求数列的通项有一定的技巧 ,本文介绍通过递推式的变换转化成等差、等比数列求解的几种简单递推数列通项的求法 .1　 an+ 1=pan+q型 (其中 p,q为常数 )在此类型中 1当 p =1时是等差数列 ;2当 p≠ 0且 q =0时是等比数列 .在一般情况下 ( p≠ 1 ,q≠ 0 )可向这两种特殊情况转化 .注意到递推式是关于 an+ 1,an 的一次式 ,要想消去 q,可类似解析几何中的坐标平移变换 ,只须令 bn =an + k( k为任意常数 )代入递推式 ,给 k一个适当值即可…     

试论递归数列的地位与作用

由于递归数列已经写进中学教材,并且在近几年高考中又屡次出现关于递归数列的试题,致使这一专题引起了广大数学教学工作者重视。纵观这种数学杂志,近年来刊发了大量探讨如何求各类递归数列通项公式的文章。毫无疑义,这一工作是有意义的。但是,笔者认为,要对递归数列有更为深刻和全面的认识,仅至于此,尚嫌不与。重要的问题还在于:必须了解递归数列的产生背景,认识递归数列在数列诸表示形式中的地位,并能以递归数列为工具去解决与之有关的数学问题。本文的目的就是试图对上述问题进行一些探讨。     

构造新数列求通项

构造思想的实质是根据已知条件的特征 ,创造一个新的数学对象 ,从而实现问题的转化 .显然 ,它对培养学生的创新意识和创新能力有很重要的作用 .本文举例探讨如何构造新数列来解决求数列通项的问题 .许多数列问题中的通项主要是由递推关系给出的 .如果这个递推关系正好是 an 1=an d(d是常数 )或 an 1=qan(q是常数 ,q≠0 ) ,则非常简单 ,前者是等差数列 ,后者是等比数列 .如果是其他递推关系 ,则可以考虑转化为上述两种基本的数列 .例 1　已知 a1=1 ,an 1=2 an 1 ,求 an.分析　在递推关系 an 1=2 an 1中 ,如果没有后面的“ 1”,则此数列…     

递归数列

一般地,数列{a_n}若满足递归关系 a_n= ∫(a_(n-1),a_(n-2),…,a_(n-k)),那么它由递归关系及k个初始值确定,我们称其为递归数列。与递归数列有关的问题是数学竞赛中的一个热点。确定某些递归数列的通项在有关递归数列问题的研究中又占有重要地位,以下是几种常用方法。 1.代换法。例1 在数列{a_n}中,a_1=1,a_(n 1)=5a_n 1,求a_(n 1) 解依题设a_n 1=5a_n 1 ①以n代换n十1,可得 a_n=5a_(n-1) 1 ②①-②得a_(n 1)-a_n=5(a_n-a_(n-1))(n≥2) ③对③进行迭代,得     

递推数列问题中的函数策略探究

<正>数列是一类特殊的函数,二者之间有着密切联系.对于某些数列问题,应用函数策略进行研究,可取得事半功倍之效.对于函数f(x),若数列{an}满足an+1=f(an),n∈N+,则f(x)为数列{an}的对应函数.1.若递推数列{an}满足an+1=pan+q(p≠0和1,q≠0,p,q∈R),求{an}的通项.解析这是相对简单的类型,可以通过an+1     

运用图像性质妙解数列问题

数列是一种特殊的函数,借助函数的图像解决数列问题,可使问题变得形象、直观,易于求解.现举例说明如下:例1在等差数列{an}中,已知am=p,an=q,且m≠n,求am+n.     

非线性递归数列的极限

探讨了形如Fn+p=pΣ1=1α1Fbin+i,≥1的非线性递归数列{Fn)的极限问题,给出了在满足一定条件时,数列{Fn}极限存在且与初始值无关.     

an+1=p(n)a2/n+f(n)an+r(p(n)≠0)型数列的求解方法

数列问题的背景新颖,能力要求高,内在联系密切,思维方法灵活,因此倍受命题者的青睐.解答数列问题要求熟练掌握数列基础知识,灵活运用基本数学思想方法,善于转化.an+1=p(n)@a2n+f(n)@an+r(p(n)≠0)型数列是数列和二次函数、不等式相结合的典范,难度较大.求解此类问题的思维模式是:观察-归纳-猜想-证明.求解的主要方法是:分析法,比较法,消去法,综合法,放缩法,数学归纳法.     

构造等比数列求一类数列的通项公式

<正>数列的通项公式是数列的基础知识,根据数列的递推公式求其通项公式,常见求法有累加法、累乘法、a_n与S_n的关系,以及构造法.对于"已知数列{a_n}满足:a_1=a,a_2=b,且pa_n+qa_(n+2)=ha_(n+1),求该数列的通项公式"这类问题,在数学竞赛中出现的较多,它的难度取决于系数p,q,h的取值情况,现笔者就这类问题利用构造等比数列对各种情况进行分析来探求求该数列通项的一个通法.1.实例分析     

对“M类数列”解法的探究

2010年3月襄樊市高三调研统一测试有这样一道题目:题1对于给定数列{cn},如果存在实数p,q,使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立,我们称数列{cn}是M类数列.(1)若an=2n,数列{an}是否为M类数列?若是,指出它对应的实常数p,q;若不是,请说明理由;(2)数列{an}满足a1=2,an+an+1=3.2n(n∈N*),若数列{an}是M类数列,求数列{an}的     

用不动点求两类递推数列的通项

<正>求递推数列通项是高考以及数学竞赛的重要考点,尤其是在数学竞赛中,数列的递推形式丰富多样,这为求解通项带来一定的难度.利用函数不动点的方法,把递推数列转化为等差、等比或其它方便求通项的递推形式,问题便事半功倍了.本文介绍了利用函数不动点法在复数范围内求解二阶递推数列a_(n+2)=     

多元递归数列问题

递归数列问题是高中数学竞赛的热点问题之一.一般地,我们对一元递归数列问题探讨得较多,而对于多元递归数列的解法则研究得不多.事实上,多元递归数列问题也是考查学生逻辑思维能力与创造性思维能力的较好素材,因此它逐渐成为近年来活跃在各类竞赛中的新宠.从总体上来看,多元递归数列问题的解答策略是借助方程的思想,化多元为一元,逐个击破,从细微处来看,解答奥妙又各有千秋,需要细细品味,本文加以简单介绍,仅当抛砖引玉.1配凑法例1设数列{an},{bn}满足a1=2,b1=1且bn 1=3an 5bn,n=1,2,3,…,求通项an,bn.an 1=5an 3bn 7,解∵an 1=5an 3bn 7,bn…     

利用函数不动点解决一类递归数列通项公式问题

<正>求解递归数列通项公式是高考数学必考内容之一,同时也是数列中的难点.本文巧妙地通过建立数列与函数不动点的联系,采用特征方程法对某一特定类型递归数列进行因式分解,进而回避等价变形困难的问题,供同学们参考.1函数不动点定义在数学中是指"被这个函数映射到其自身一个点",即满足条件f(x)=x的点x.     

a_(n+1)=p(n)a_n~2+f(n)a_n+r(p(n)≠0)型数列的求解方法

数列问题的背景新颖 ,能力要求高 ,内在联系密切 ,思维方法灵活 ,因此倍受命题者的青睐 .解答数列问题要求熟练掌握数列基础知识 ,灵活运用基本数学思想方法 ,善于转化 .an+1 =p( n) .a2n+ f ( n) .an+ r ( p( n)≠0 )型数列是数列和二次函数、不等式相结合的典范 ,难度较大 .求解此类问题的思维模式是 :观察—归纳—猜想—证明 .求解的主要方法是 :分析法 ,比较法 ,消去法 ,综合法 ,放缩法 ,数学归纳法 .例 1　数列 x1 ,x2 ,… ,由 x1 =12 ,xn+1 =x2n + xn( n =1,2 ,… )给出 ,Sn与 Pn 分别是数列 y1 ,y2 ,y3 ,… ,前 n项的和与积 ,这里 y…     

卢卡斯数列与斐波那契数列的递归关系研究

法国数学家Edward Lucas曾将数列0,1,1,2,3,4,8,13…命名为斐波那契数,随之而来的则是另外一个数列2,1,3,4,7,11,18…这就是人们所说的卢卡斯数列.卢卡斯数列(下左)与斐波那契数列(下右)有着相同的递归方程,但其首项不同. { Ln+2=Ln+Ln+1L0=2 L1=1 {Fn+2=Fn+Fn+1{F0 =0{F1 =1 事实上,在卢卡斯数列与斐波那契数列中呈现了许多相似的性质.在斐波那契数列中,如果p是q的因子,那么斐波那契数Fp同样是Fq的因子.例如,3是6的因子,那么F3=2也是F6=8的因子.