对数列{(1+1/n)~n}的单调性的再思考

1数列{(1+1/n)n}的单调性新证众所周知,在高等数学《数学分析》的极限论里有以下重要数列:命题1{(1+1/n)n}是N*上的严格递增数列.本文首先给出它的新颖证法:证明利用著名的贝努利(Bernulli)不等式(1     

数列{(1+1/n)~n}极限存在性的另一种证法

证明数列{(1+1/n)~n}的极限存在,只要证明数列{(1+1/n)~n}单调且有界.为此在一般的微积分教材中,是采用按牛顿二项公式将(1+1/n)~n展开的方法,这种方法思路自然且直观易懂,为拓宽思路下面给出另一种证法.     

数列{(1+1/n)~n}单调性的证明

本文打算给出数列{(1+1/n)~n}单调性的两个证明,这两种证法都可为中学生掌握。证一:(利用算术——几何平均不等式) 对于(n+1)个正数1,1+1/n,……,1+1/n,易知不全相等,由重要的不等式(a_1+a_2+…+a_n)/n≥(a_1a_2……a_n)~(1/n)(当且仅且a_1=a_2=……=a_n时取等号)可得=n+2/n+1=1+1/n+1 两边(n+1)次方,得     

对数列（（1+1/n）n）与(（1+1/n）n+1)的系统性研究

在高考或数学竞赛中,以数列（（1+1/n）ⁿ）为背景的考题屡见不鲜.在各类期刊杂志上,也曾多次发表过有关数列（（1+1/n）ⁿ）的文章.本文从单调性有界性、极限、相关不等式以及一些重要结论五个方面入手,同时对数列（（1+1/n）ⁿ）及(（1+1/n）ⁿ⁺¹)进行研究性学习,用高等数学的观点,初等数学的方法深入浅出地呈现出以上五个方面的重要结果,以期读者从中获得一些新的认识.     

数e存在性的一个证明

数列{(1+1/n)~n}的极限就是无理数e=2.7182818284….这个极限存在性的证明归结为证明数列{(1+1/n)~n}递增且有上界。本文利用著名的平均值不等式     

lim(1+1/n)~n from (x→+m)存在的几种证明方法

<正> 证明这个极限存在的方法很多,一般教科书中是通过二项式展开、放大,证明数列{(1+(1/n))~n}单调上升,并估计出上界到3.这种方法麻烦,但直接,并可进一步给出极限值的近似计算式及误差.本文对该极限的存在性给出两种简单的证明方法,其共同特点是通过一些不等式证明{(1+(1/n))~n}单调上升有界.以利扩大初学者的解题思路.     

重要极限limn→∞(1+1/n)n存在性的简洁证法

利用均值不等式(n∏i=1ai)1/n≤1/nn∑i=1ai给出了重要极限limn→∞(1 1/n)n存在性的一种简洁证明方法,特别是数列{(1 1/n)n}的有界性的证明非常简洁.同时给出了均值不等式的一种初等证法.     

一类数列极限存在性的证明

<正> 关于数列{(1+(1/n)~n}的单调性及有界性,一般工科《高等数学》教科书中通常采用二项式展开定理的方法予以证明。文中曾利用一个简单的不等式证明了数列{(1+(1/n)~n}极限的存在性。本文将给出另外一个简单的不等式,来简建地证明(1+(1/n))~n     

无理函数y=（a1x+b1）～（1/2）+（a2x+b2）～（1/2）的最值求法

无理函数y=（a₁x+b₁）^1/2+（a₂x+b₂）^1/2（a1,a2,b1,b2均不为0）（1）的最值问题,是代数中较为典型的一类最值问题之一.当a1a2≥0时,函数（1）为单调函数,求出定义域后利用单调性很容易确定最大值和最小值.但当a1a2<0时,函数（1）最值的求解具有一定的难度.其实,当a1a2<0时,无理函数（1）可改写成如下形式:y=a（x-b）^1/2+c（d-x）^1/2（a,c>0,b,d≠0）（2）当b≤d时,函数才有意义.当b=d时,函数值域为单点集{0}.本文考虑b相似文献   

一个有趣数列的单调性

利用不等式(π4(n-1)/2n 4(n+))^(1/2)1<∫_0^(π/2)sin^nxdx<(π(4n+5)/2 (n+1)(4n+3))^(1/2),对有趣数列{(n+c)^(1/2)∫_0^(π/2)sin^nxdx}的单调性再次进行了分析论证,并对已有结论进行了改进.     

新题征展(129)

A 题组新编1.(1)设x∈R+,e表示自然对数的底,求证:函数y=(1+1/x)s,y=(1+1/x)(x+1)分别单调递增、递减,且(1+1/x)x＜e＜(1+1/x)(x+1);(2)已知数列{an}满足2Sn=nan,其中Sn是{an}的前n项和,a2=1,求证:3/2≤(1+1/(2an+1))n＜√e.2.已知a1C0n+ a2C1n+a3C2n+…+an+1Cnn=n·2n对任意的正整数n恒成立.(1)若a1,a2,a3,…,an+1成等差数列,求出该数列的通项公式;(2)若a1是已知数,求数列a1,a2,a3,…,an+1的通项公式.     

数列{(1+1/n)~n}极限存在性的证明与e近似计算

<正> 数列{(1+1/n)~2}的极限是数学上最重要的极限之一,关于它的存在性的证明方法已有多种,参见文[1]、[2]、[3],本文提供这个极限存在性的两种证法,并且给出用常用对数的工具计算e的近似值及进行误差估计的初等方法。     

一类交错级数敛散性的探讨

本文利用正项级数∞∑n=1 1/un2的敛散性,讨论了交错级数∞∑=n=1(-1)n-1/un+un(其中un＞0,数列{un}单调递增,且limun=+∞,数列{vn}有界)的敛散性,并给出了它的判别法.     

一个有极限的单调减少数列

证明了{(n(4n+1)/4n-1)~(1/2)∫π/20 sin~nxdx}为严格单调减少数列,且极限为(π/2)~(1/2),因而得(π(4n-1)/2n(4n+1))~(1/2)∫π/20 sin~nxdx (π(4 n+5)/2(n+1)(4n+3))~(1/2).     

关于数列{[Γ（n＋1）/2]/√nΓ（n/2）}n=1^＋∞

用单调有界定理证明了数列{[Γ（n＋1）/2]/√nΓ（n/2）}n=1^＋∞的奇子列和偶子列极限的存在性，并给出了该数列的极限为1/√2本文所得结果对帮助学生更好理解概率统计论中t分布密度函数的极限函数的证明有一定指导作用．     

lim(1 1/n)~n(n→ ∞)存在性的一种证法

本文通过构造不等式 ,并利用极限存在准则证明重要极限 limn→ ∞ (1 1n) n 存在性 .引理 :单调有界数列必有极限 .下面证明数列 { (1 1n) n}的单调性及有界性 .设 a>b>0 ,则对任一自然数 n有an 1-bn 1=(a -b) (an an- 1b an- 2 b2 … abn- 1 bn) <(a -b) (n 1 ) an整理后得到不等式bn 1>an[(n 1 ) b -na](1 )　　第一步 ,令 b=1 1n 1 ,a=1 1n,则有(n 1 ) b -na =(n 1 ) (1 1n 1 ) -n(1 1n) =1将它们代入 (1 )中可得　 (1 1n 1 ) n 1>(1 1n) n.这说明数列 { (1 1n) n}是递增数列 .第二步 ,令 b=1…     

数学问题1848的错解分析及修正

《数学通报》2010年4月第1848号数学问题为: 已知函数:f(x)=x3+bx,数列{an},其中a1＞0. (1)若an=f(n),当数列{an}为递增数列时,求b的取值范围; (2)若an+1=f(an),当数列{an}为递增数列 时,求首项a1的取值范围.(用b表示,且b≥0) 原解答对于(1),将数列{an=f(n)}递增数列转化为函数f(x) =x3 +bx在[1,+∞)单调递增,进而转化为f′(x) =3x2+b≥0在[1,+∞)上恒成立,从而求出b的范围是:b≥-3.     

数列{(1+1/n)~n}极限存在性的一种证明

本文利用常用对数的单调性证明数列x_n=(1+1/n)~n极限的存在性。意在扩展教学的思路。     

“特征根法”求a_(n+1)=(sa_n+t)/(pa_n+q)的通项公式的几何背景

我们常用特征根法求解这样的一类题目:已知数列{an}的首项为a1,且满足an+1=san+t/pan+q(其中n∈N+,s,t,p∈R且p≠0),求数列的通项公式.解决问题的方法如下     

综合题新编选登

题 8 8 　已知数列 {an},{bn}且a1=b1=1,an + 1=an+ 3bn,bn + 1=an+bn,记xn =anbn.1)求xn + 1与xn 的关系式 .2 )判断数列 {|xn - 3| }的单调性 .3)求数列 {xn}的极限值 .4 )求证 :|x1- 3| + |x2 - 3| +… +|xn - 3| <3+ 1.解　 1)xn + 1=an + 1bn + 1=an+ 3bnan +bn=anbn+ 3anbn+ 1=xn + 3xn + 1,其中x1=a1b1=1.2 )xn + 1- 3=xn+ 3xn+ 1- 3=( 1- 3) (xn- 3)1+xn.∵x1=1,xn + 1=xn + 3xn + 1,∴xn >0 .∴ |xn + 1- 3| =3- 11+xn|xn - 3|<( 3- 1) |xn - 3|<|xn - 3| .　 {|xn - 3| }为递减数列 .3)由 2 )知 :n >1时 ,0 <|xn - 3| <( 3- 1) |x…