离散系统的渐近稳定性

先讨论吋变离散系统 (1) x(τ+1)=f(τ,x(τ),τ=t_0+k,k=0,1,2,…,t_0≥0。其中f:[0,∞)×D→R~n,D是R~n中包含原点的开集,f(τ,0)≡0。对每个t_0≥0和每个x_0∈D,保证(1)有唯一的解x(τ)=x(τ,t_0,x_0),具有x(t_0,t_0,x_0)=x_0。对于连续的时变系统来说,只有Liapunov函数V(t,x)正定和它关于系统的导数V(t,x)负定性是不能保证零解的渐近稳定性的,通常附加V具有无穷小上界,或限定方程右端函数F(t,x)对有界的|x|有界,或限定V(t,x)→∞,当t→∞,x≠0时才能推出零解的渐近     

二阶非线性微分方程的振动准则

本文研究了更为一般的二阶非线性微分方程（r(t)ψ(x)x′)′ α（t)f(x)=0，并且得到了此类方程的一些新的振动准则。     

关于保凸Spline插值方法

§1.引言 本文讨论保凸插值方法和单调保凸插值问题.设a=x_0相似文献   

变时滞混合随机微分方程的几乎必然指数稳定化（英文）

本文研究一类多维变时滞混合随机微分方程的几乎必然指数稳定性,方程具体形式:dy(t)=f(y(t-δ_1(t)),r(t),t)dt+g(y(t-δ_2(t)),r(t),t)dω(t),其中,δ_1(·),δ_2(·):R~+→[0,τ]表示变时滞,r(t)为一个Markov链.运用Lyapunov技巧,随机分析方法和BorelCantelli引理,该文证明了在一定的条件下,若此方程对应的混合随机微分方程:dx(t)=f(x(t),r(t),t)dt+g(x(t),r(t),t)dω(t)是几乎必然指数稳定的,则存在一个正常数τ,只要ττ,该方程也是几乎必然指数稳定的.这推广并改进了己有文献的一些结果.     

求解stiff常微分方程组只计算函数值的一类L-稳定显式单步法

一 引 言 讫今为止,解stiff常微分方程组的初值问题 y’=f(x,y),y(x_0)=η,x∈[a,b],η,y,f∈R~m,x_0=α,的绝大多数可行的数值方法都需要计算函效f(x,y)的Jacobi矩阵αf/αy及对与αf/αy有关的某矩阵作LU分解.当m很大时,其计算量和存贮量都是惊人的.而显式的Runge-Kutta方法,虽然只计算函数f的直,但其绝对稳定域是有界的,故不宜于解stiff方程.     

特取法解有关函数方程

在允许取值范围内赋变量予特殊值,从而使问题获解的方法叫“特取法”,下面谈谈特取法解有关函数方程的几个问题。一、证明函数f(x)的周期性例1设函数f(x)定义在整数集,且满足f(0)=1,f(1)=0,f(x_1 x_2) f(x_1-x_2)=2f(x_1)f(x_2),证明f(x)为周期函数。证明特取x_2=1,可得f(x_1 1) f(x_1-1)=2f(x_1)f(1)=0 再用x_1 2代入x_1且特取x_2=1,可得f(x_1 3) f(x_1 1)=2f(x_1 2)f(1)=0 由上述两式得f(x_1 3)=f(x_1-1) 令x_1=x 1得f(x 4)=f(x) 故f(x)是以4为周期的函数。二、证明函数f(x)的奇偶性例2已知f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y)对于一切实数X、y都成立,且f(0)≠0,     

奇异p-Laplace方程的正整体解的存在性

研究如下散度型奇异非线性p-Laplace方程Δpu:=N∑i=1 Di(|Du|)p-2Diu)=f(|x|,u,|du|)u-β在RN(N≥3)上的正整体解,此处p＞1,β＞0是实数,f:[0,∞)×(0,∞)×[0,∞)→(-∞, ∞)是连续函数,给出了该方程具有多个有界的径向对称的正整体解u(x)满足limu(x)|x|→∞=常数的条件.     

抽象函数证明中的巧妙“设”法

<正>例1已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.(1)证明函数y=f(x)是R上的单调性;(2)讨论函数y=f(x)的奇偶性.思路一设元、凑已知.证明任取x_10)(设法为凑形),而f(a+b)=f(a)+f(b),∴f(x_2)-f(x_1)=f(x_1+t)-f(x_1)=f(x_1)+f(t)-f(x_1)=f(t).     

Riccati方法与微分方程的渐近积分

考虑二阶常微分方程x″ f(t)x=0,t≥a,(1)假设应用Riccati方法得到方程(1)的主解(principal solution)的一个渐近积分并研究其副解(nonprincipal solutions)的三种不同的渐近性质.主要结果如下:定理1 若(Ⅰ)成立,则方程(1)有解x_1满足及另一解x_2满足x_2(t)=t[1 o(1)]. 反之,若方程(1)有解x(t)→1,t→∞,则(Ⅰ)成立. 定理2 设(Ⅰ)成立.(i)若(Ⅱ)成立,则方程(1)有解x_2使x_2’(t)=1 [tF(t) G(t)][1 o(1)] o(1). (ii) 反之,若方程(1)有解x使x’→1,t→∞,则(Ⅱ)成立. 定理3 若(Ⅲ)和(Ⅳ)成立,则方程(1)有解x_1满足(2)及解x_2满足     

三阶线性非齐次微分方程的Hyers-Ulam稳定性

讨论了三阶线性非齐次微分方程y′′′+p(x)y″+q(x)y′+r(x)y+f(x)=0的Hyers-Ulam稳定性,即若函数f是它的一个近似解,则该方程一定存在与f是任意接近的精确解,并给出了简单实例.     

常系数非齐次线性微分方程的一个简捷解法

设二阶常系数非齐次线性微分方程 y″+py′+qy=f( x)对应的齐次方程的特征根为 r1,r2 ,f ( x)连续。由韦达定理 :p=-( r1+r2 ) ,q=r1r2从而 y″+py′+qy=f( x)可化为 y″-( r1+r2 ) y′+r1r2 y=f( x)即 ( y′-r1y)′-r2 ( y′-r1y) =f ( x)令 y′-r1y=y1则 :　 y″+py′+qy =f ( x) y′-r1y =y1y′1-r2 y1=f ( x)即原方程可降阶为一阶线性微分方程。解方程组得 y =er1x∫y1e- r1xdx,y1=er2 x∫f ( x) e- r2 xdx所以 ,原二阶方程的通解为 y =er1x∫e( r2 - r1) x .[∫f ( x) e- r2 xdx]dx由此得到 :定理 1　若 y″+py′+qy=f ( x)对应的齐次…     

一类非线性pantograph混合随机微分方程的定性分析

研究了下列非线性pantograph混合随机微分方程dx(t)=f(x(t),x(θ_1t), t,r(t))dt+g(x(t),x(θ_2t),t, r(t))dB(t),t≥0的零解的指数稳定性.利用随机微分方程的相关理论与M-矩阵理论,得到方程的零解的渐近有界性、p-阶指数稳定、几乎必然指数稳定和H_∞稳定.推广了已有文献中的相关结论.     

Hammerstein型积分方程组的非零解及其对两点边值问题的应用

本文研究Hammerstein型积分方程组 (Ⅰ)φ(x)=∫_G K_1(x,y)f_1(φ(y),ψ(y))dy, ψ(x)=∫_G K_2(x,y)f_2(φ(y),ψ(y))dy非零解的存在性(其中G为R~N中有界闭区域,mesG=1,并将所得结果应用于二阶常微分方程两点边值问题 (Ⅱ)(t)=-f(x(t),(t)), α_0x(0)-β_0(0)=0, α_1x(1) β_1(1)=0。其中α_0、α_1、β_0、β_1≥0,|α_0 β_0 -α_1 α_1 β_1|≠0。所得结论与[1]第四章及[3]第六章所述结论具有不同形式,且不能用[1、3]的方法得出,特别当f(u,v)是多项式情况下所得结果是[2]中部分结果的推广和补充。     

曲线与其曲率圆

设一条曲线的方程为y=f(x).该曲线在点M(x_0,y_0)处的曲率圆在切点附近的一支曲线方程设为y=g(x),并设f(x)在x=x_0附近有三阶连续导数,且f″(x_0)≠0.将f(x)-g(x)在x=x_0处展开为二阶泰勒公式(注意到 f(x_0)=g(x_0),f′(x_0)=g′(x_0)及f″(x_o)=g″(x_0):     

n阶非线性泛函微分方程的渐近性和非振动性

§1.引言本文讨论n阶非线性泛函微分方程 L_nx(t)+P(t)L_(n-1)x(t)+f(t,x(t),x(g(t)))=h(t) (1)解的渐近性和非振动性,其中L_0x(t)=x(t),L_kx(t)=a_k(t)(L_(k-1)x(t))′,k=1,2,…u,a,p,h,g∈C~0E[t_0,∞),且a_k(t)>0,k=1,2,…n-1,a_n(t)=1;t_0≤g(t)≤t,当t→∞时,g(t)→∞;f∈C~0([t_0,∞)×R_2,R)。我们给出了方程(1)的所有振动解和有界解具有渐近性态:L_kx(f)→0,k=0,1,2,…n-1,的若干充分性准则,并给出了它不存在有界振动解的几个保证性条件。所得定理和推论都分别推广了文[1]-[4]的相应结果。     

含不连续项的常微分积分方程的解

本文研究微分积分方程 u'=g(t,u)+integral from 0 to 1(k(t,s)f(s,u(s))ds),u(0)=x_0最小解、最大解的存在性.本文的特点是关于方程中函数g(t,x),f(t,x)没作任何连续性假定.     

完全二阶常微分方程的奇周期解北大核心CSCD

本文讨论完全形式的二阶常微分方程-u"(t)=f(t,u(t),u’(t)),t∈R周期解的存在性,其中f:R^(3)→R连续,f(t,x,y)关于t以2π为周期.我们在非线性项f满足一些精准的不等式条件下,获得了方程奇2π-周期解的一些存在性结果.这些不等式条件允许f(t,x,y)当|(x,y)|→0及|(x,y)|→∞时关于(x,y)可以超线性或次线性增长.     

解y"=g(x,y)初值问题含参数线性多步方法的相容阶和收敛阶

1 引 言对于直接积分二阶常微分方程的初值问题 y"=g(x,y) y (x_0)=y_0,y'(x_0)=y"_0,x_0 x T,(1)     

中点弦所在的直线方程

已知平面上一点M(x_0,y_0)以及二次曲线C: Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)简记为G(x,y)=0。又方程Ax_o+B(y_0+x_0y)/2+Cy_0+D(x+x_0)/2+E(y+y_0)/2+F=0简记为 G＇_(x_0,y_0)(x,y)=0 (2)显然有① G＇_(x_0,y_0)(x,y)=G＇_(x,y)(x_0,y_0) ② G＇_(x_0,y_0)(x_0,y_0)=G(x_0,y_0)我们有如下众所周知的结论1)当M(x_0,y_0)在曲线(1)上时,方程(2)表     

话说齐权方程

齐次方程作为可化为可分离变量的方程,在一般高等数学教材中都有介绍.齐次方程稍加推广即得齐权方程.齐权方程的可积简化了大量一阶方程的求解过程,拓宽了方程的可积范围.定义1　设t为任意非零的量,若f(x,y)满足f(tx,ty)≡trf(x,y)则称函数f(x,y)为r次齐次函数.特别地,若令t=1x,上式变为f(1,yx)≡1xrf(x,y)或f(x,y)=xrf(1,yx)=xrφ(yx)当r=0时,f(x,y)=φ(yx)　　方程dydx=φ(yx)(1)　称为齐次方程.经变换yx=u(或xy=v)可将(1)化为可分离变量的方程积出.定义2　若存在数m,当分别以tx、tmy、tm-1y′顺次代替函数f(x,y,y′)中的x、y、y′时成立f…