构造辅助函数解题

不等式与函数（或数列）相结合的综合题在近几年各地的高考试题中大量出现,已经成为高考的热点题型,这类试题虽然以不等式的形式出现,但主角往往是函数,证明、解答这类问题,用传统的方法通常难以奏效,但若采取构造辅助函数后利用导数的相关知识及函数的单调性进行解决,可能会达到化繁为简、化难为易的效果,本文举例说明通过构造辅助函数解题的思考途径和策略,供读者参考.     

再谈作辅助函数解题

介绍用辅助函数法解决有关不等式、积分、中值定理等问题的方法     

如何作辅助函数解题

利用辅助函数求解数学问题 ,是高等数中常用的方法之一 ,但如何才能找到合适的辅助函数 ,许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数 ,使学生感到突然。实际上只要对这一类问题深入分析 ,找出它们的来龙去脉 ,就不会感到神秘了。本文以证明拉格朗日中值定理来说明通过形象思维和逻辑思维寻求辅助函数的几种方法。例 1　若 f ( x)在 [a,b]上连续 ,在 ( a,b)内可导 ,证明 :至少存在一点ξ∈ ( a,b) ,使f ( b) -f ( a) =f′(ξ) ( b -a)　　分析 :试利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理 ,能否构一个函数 ,它满足罗尔定理 ,其导数恰为拉格…     

构造辅助函数解题举例

“构造”是数学家们常用的思想方法,譬如当一个实际问题需要数学家帮助解决时,他首先想到的就是构造。就是说,他将首先通过抽象分析,去构造一个数学模型,并希望通过数学     

用函数的奇偶性解题

对于一些数学问题,若能充分地利用函数的奇偶性解题,可收到简捷、巧妙、明了的效果.     

利用函数图像法解题

<正>在初中阶段同学们学习了解一元一次不等式,但在函数综合题中会遇到在特定条件下解一元二次不等式与分式不等式问题,同学们总是感觉无从下手,下面将为同学们介绍利用函数图像解决这类问题的方法.例1 已知y=-1/m(m>0),求使不等     

用辅助圆巧解题

我在学习过程中发现有一些题目若用辅助圆来解决则显得简捷、明朗 .例 1　 (2 0 0 0年全国高考试题 )椭圆 ｘ29 ｙ24=1的焦点为Ｆ1、Ｆ2 ,点Ｐ为其上的动点 ,当∠Ｆ1ＰＦ2 为钝角时 ,求点Ｐ横坐标的取值范围分析 :若用常规方法设点的坐标 ,在△Ｆ1ＰＦ2 中运用余弦定理来确定横坐标的取值范围 ,十分繁琐 ,在高考中就浪费了大量的宝贵时间 ,得不偿失 .因此 ,必须另找一种较快的方法 .图 1　例 1图解　先找出∠Ｆ1ＰＦ2 =90°时Ｐ的位置 .作以Ｆ1Ｆ2 为直径的圆ｘ2 ｙ2 =5 ,那么直径所对的圆周角为直角 .联立椭圆与辅助圆的方程 ,ｘ29 ｙ24=1…     

用辅助切线法解一道联考函数题

2012年4月湖北省七市联考理科压轴题是一道文字简洁题意清晰的好题,题目是以学生最为熟悉的指数函数e~x和对数函数Inx为载体的函数问题,重点考查利用导数处理不等式恒成立问题的求解及不等式证明.本题意境深远,很有研究价值,本文笔者结合图象用辅助切线法来解这道联考函数题,与大家交流.题目已知函数f(x)=ae~x,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,e=2.718…,且y=f(x)与y=g(x)的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.(Ⅰ)求常数a的值;(Ⅱ)若存在x使不等式(x-m)/(f(x))>x~1/2成立,求     

用面积法解题

用面积法解题就是根据题目给出的条件,利用等积变换原理有和关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题.所谓高效解题就是转化的环节少一些,不走弯路.有时我们选用面积法将问题转化,就能恰到好处地达到这一目的.     

用递推法解题

用递推法解题，就是根据题目的特点，构造递推关系解题的一种方法，解此类问题的关键是构造递推关系．本文介绍用递推方法探求一类问题，体现了数列和相关知识网络的交汇性，突出了知识间的相互作用．     

例说函数构造法解题

一、证明不等式.例1设a、b、c为绝对值小于1的实数,求证ab+bc+1>0.证明:构造函数f(a)=(b+c)a+(bc+1)(|a|>1).若b+c=0,则由|bc|<1,知f(a)>0;若b+c≠0则f(a)为单调函数,f(a)的值在f(1)与f(-1)之间,但f(1)=(1+b)(1+c)>0,f(-1)=(1-b)(1-c)>0,f(-1)与f(1)均大于0,∴f(a)>0.例2证明:(1+1)(1+31)(1+51)…(1+2n1-1)>2n+1(n=1,2,…)(98年高考)证明:构造函数f(x)=(1+1)(1+31)…(1+2x1-1)2x+1当x∈N*时,f(x+1)f(x)=(1+1)(1+13)…(1+2x1-1)(1+2x1+1)2(x+1)+1·2x+1(1+1)(1+31)…(1+2x1-1)=2x+2(2x+3)(2x+1)=(22xx++22)2-1>1·∴f(x)为增函数∴f(x)≥f(1…     

用原函数构造辅助函数

辅助函数法是高等数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，例如拉格朗目中值定理与柯西中值定理的证明都使用了辅助函数法。构造辅助函数的方法很多，构造出的辅助函数也可以有各种不同的形式。大部分高等数学教材（例如「1」〔Zj上，拉格朗目中值定理和柯西中值定理证明中的辅助函数都是从几何角度得出的，然而上述两个定理证明中的辅助函数也可以用原函数构造出来。本文先通过拉格朗目中值定理与柯西中值定理的证明，介绍用原函数构造辅助函数的方法，然后再介绍一些用此法进行证明的其他实例。在拉格朗目中值定理的证明中，设八x）在…     

辅助函数法应用举例

本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2],     

辅助函数构造法初探

解题时,依据题中的结论与条件的关系,恰当地构造一个辅助函数,把结论转化为研究这一函数的性质,由此达到解题的目的,这种方法叫做辅助函数法。下面介绍几种常见的辅助函数构造法,供参考。一、直接法这种方法就是在仔细审题的基础上,直接运用题目的条件或结论构造一辅助函数,使所求问题发生转化。直接法是一种常用的     

用导数研究函数性质解题四则

<正>~~     

用辅助函数解高考题两例

函数是高中数学知识的主干,常与其它章节综合在一起考查,在历年的高考中占有重要地位,如2004年高考中,函数的部分题目均以选择题、解答题“压轴”的身份出现,一般综合性强,难度大.如果合理的应用函数的思想、巧妙构建辅助函数,借助导数的相关知识及函数的单调性、最值等问题,处理好与函数有关的综合性问题, 使解题思路自然通畅,困难迎刃而解.     

用主元素法解题

<正>在一个代数问题中,有时会出现两个或两个以上的变量,这时就需要进行适当的变形.变形时可以确定其中的一个变元为主变元,然后围绕这个主变元来寻求问题的解决.这种解题方法通常称为主元素法.一、确认主元     

用坐标法解题举例

用坐标法解题,就是根据问题的图形或数式的特点,建立适当的坐标系,巧妙地把形与数或数与形联系起来,从而使问题得以直观简洁的解答的一种方法。能用坐标法解答的问题很多,但技巧性也很强。本文仅就现行初中课本知识能够解决的问题作一例说。     

用面积法高效解题

用面积法解题是根据题目给出的条件,利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法.所谓高效解题是走解题的直线距离,说白了,就是将转化的环节减少一些,少走弯路.     

辅助函数的积分构造法

讨论微分中值定理应用中辅助函数的积分构造法,并借助实例进行具体分析.