尺规作图的过往

<正>尺规作图是中学几何证明学习的良好工具,它亦能培养逻辑思维能力.尺规作图的起源不仅仅为培养思维,更是要解决数学问题.尺规作图是由几何作图发展而来,而几何作图是几何学产生、发展的产物.我们今天就来一起追溯尺规作图的过往.1几何作图与尺规作图几何作图兴起于希腊数学史上的雅典时期(公元前5世纪—公元前3世纪).为几何作图的兴起奠定思想基础的,首推阿那克萨哥拉(Anaxagoras,公元前500-前428).他是希腊     

尺规作图里有精彩

题目已知线段a,求作高为a的等边三角形.这是学了尺规作图后老师留给我们的作业,初看似曾相识,因为我们已在课堂上研究过如何作边长为定长的等边三角形.思考一作出高为a的线段及其对应边所在的直线都是容易的,难点在如何确定边     

一道尺规作图的探究

<正>2015年北京中考16题给出了线段垂直平分线的尺规作图的作法,让学生写出作图的依据.作图依据主要有以下三种:(1)到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上(A、B都在PQ的垂直平分线上);两点确定一条直线(AB垂直PQ);(2)判定四边形ADBC为菱形;菱形的对角线互相垂直平分;(3)判定△ACD≌△BCD;根据全等的性质得到对应角相等;根据"三线合一"得出结论.以(1)为例,进行证明:     

一道有趣的尺规作图题

何平同学在文章中,对一道新颖有趣的作图题,想出了5种作法,颇具创造性,值得称赞.我们要特别关注这5种作法是如何想出来的.     

圆锥曲线准线的尺规作图法

圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )的一个共同特性是 ,曲线上任意一点到焦点的距离和到相应准线的距离的比等于其离心率 .那么当给定了圆锥曲线的图形 (包括焦点的位置 )后 ,怎样画出该曲线的准线 ?这是教学中经常遇到的问题 .下面介绍一种利用直尺和圆规 (简称尺规 )画圆锥曲线准线的方法 .1　椭圆准线的尺规作图法例 1　试用直尺和圆规 ,作出图 1中椭圆的准线 ,图中点Ｆ、Ｆ′为椭圆的两个焦点 .图 1　椭圆图 2　椭圆及其准线作法　 (1 )连结ＦＦ′,作线段ＦＦ′的中点Ｏ .(2 )作射线ＯＦ交椭圆于点Ａ ,作射线ＯＦ′交椭圆于点Ａ′.(3 )过…     

用尺规作图不可能三等分任意角

三等分任意角问题 ,连同立方倍积问题和变圆为方问题 ,是古希腊巧辩学派的学者们于公元前 5世纪提出并研究了的几何学三大问题 .2 0 0 0多年来 ,历代数学家为了解决这三个问题 ,耗费了许多心血 ,但都遭到失败 .其实这三个问题 ,于 19世纪就被严格证明为不可能用直尺、圆规 ,经有限次的作图步骤来解决的问题 .自 16 37年笛卡尔 (ＲｅｎｅＤｅｓｃａｒｔｅｓ,15 96 - 16 5 0 )创立了解析几何学之后 ,尺规作图的可能性就有了判定准则 .1837年万泽尔 (Ｐｉｅｒｒｅｈａｎ ｒｅｎｔＷａｎｔｚｅｌ,1814- 184 8)首先证明了“立方倍积”和“三等分…     

尺规作图的回归:为何,何为

<正>尺规作图在初中平面几何中的地位可以说是“几经沉浮”.改革开放前对几何作图要求较高,改革开放后因为义务教育的逐步普及,一段时间内对几何作图的要求逐步弱化,至2001年《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的版本,尺规作图的要求已经降至最低.《义务教育数学课程标准(2011年版)》开始逐步提高对尺规作图的要求,重新要求了解作图的道理;《义务教育数学课程标准(2022年版)》对尺规作图的要求进一步提高,小学阶段就开始增加尺规作图,初中阶段基于基本作图的简单几何作图要求有所提升,要求经历尺规作图的过程,理解尺规作图的基本原理与方法.     

等腰三角形的构造与作图

等腰三角形是一种特殊的三角形,在初中几何中占有极其重要的地位．有关等腰三角形的性质和判定在教材中有详尽的分析．等腰三角形的边角计算在分类思想的指导下,通过适当训练可以很快掌握．但是等腰三角形的作法教材未系统给出,导致对于构造等腰三角形的综合题常常束手无策或严重漏解,丢分现象普遍．下面我们就一起系统地来解决这类问题．     

还原本来面目,巧解“尺规作图填依据”

<正>近几年北京中考题有一道"尺规作图"填依据的填空题,很多同学都对这道题感到很苦恼,填什么,怎么填,怎么才能把依据填全,这种类型题考查的落脚点不是在尺规作图的操作层面,而是落脚于"为什么这么作"、"这么作的原因是什么",考查的是技能操作里面蕴含的数学原理.其实就是一道几何证明题.     

2021年中考试题角平分线尺规作图问题的思考

<正>尺规作图起源于古希腊,在学习尺规作图画角平分线时,教材中先为我们介绍了分角器,接着引出利用尺规作图画角平分线的固定程序,在学习尺规作图的过程中,同学们应经历自己作角平分线的过程．纵观2021年全国各地区中考试题,在尺规作图这部分内容的考查中,主要分为两种题型:作法操作类和作法原理类．让我们一起来看看基于尺规作图作角平分线的具体例题吧!     

趣谈无尺作图

所谓的无尺作图指的是不用直尺、三角板,只用圆规作图．无尺作图不需要很高深的知识,但有挑战性,能吸引人去探索,培养数学思维和数学能力．现举例说明．一、作已知线段的倍数点     

切两直角边于两定点的抛物线的规尺作图

切两直角边于两定点的抛物线的规尺作图盛天钧（镇江市高等专科学校２１２００３）本文将介绍在不知方程的情况下，如何用规尺作出一条抛物线，使其分别切平面直角坐标系Ｏ。轴和叩轴于异于原点的两定点Ａ和儿为简单起见，我们先求出抛物线的方程，借助它推得一般性结论，...     

尺规作图

俗话说 :“不以规矩 ,不成方圆” ,究竟什么是“规” ,什么是“矩” ?“规”就是圆规 ,是用来画圆的工具 ,在我国古代甲骨文中就有“规”这个字 .“矩”就像现在木工使用的角尺 ,由长短两尺相交成直角而成 ,两者间用木杠连接以使其牢固 ,其中短尺叫勾 ,长尺叫股 .矩的使用是我国古代的一个发明 ,山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩 ,女娲氏手执规”之图形 .矩不仅可以画直线、直角 ,加上刻度可以测量 ,还可以代替圆规 .甲骨文中也有矩字 ,这可追溯到大禹治水 (公元前20 0 0年 )前 .《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳 ,右规矩” .…     

从《原本》与“课标”谈尺规作图教学

尺规作图是有限次地使用无刻度的直尺和圆规作图的活动,也称为初等几何作图或欧几里得作图.《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以后简称《课程标准》)不仅把尺规作图作为一种几何任务,更重要的是将它作为一种感知几何图形、理解图形性质、探究几何规律的认知工具本文以一个尺规作图的教学为例,基于尺规作图的整体性,探索“一般观念统领下的尺规作图教学.”     

无尺作图中两个基本作图命题的直接作图

给出了《无尺作图》两个基本作图命题的直接作图,使两个基本作图命题实际作图过程中使用圆规的次数减少到13次和10次,完全抛开了《无尺作图》基础作图体系的其他命题,完成了基础作图体系的优化研究.     

无尺作图的基础作图体系的简化

简化了《无尺作图》的原基础作图体系中七个作图命题的作图过程,便得：1.两个基本命题实际作图过程中使用圆规的次数从原来的约300次和200次都减少到100次以下;2.简化了的那些命题的逻辑推理更加简明精巧;3.整个体系中的命题个数减少两个,而且其逻辑结构与更加优美。     

大道至简 大简至美——南京市2017年中考数学尺规作图题赏析和思考

尺规作图,顾名思义,是指用没有刻度的直尺和圆规来作图,它起源于古希腊的数学课题.尺规作图,题型多样,对于培养学生的动手操作能力有着不可替代的作用.南京市2017年初中毕业学业考试数学中呈现了一道这样的题,仅用尺规,用两种不同的方法判断一个角是否为直角.考生的奇思妙想精彩纷呈,笔者有幸参与此题批阅,现摘其解法,与大家分享,同时,将自己的思考奉上与各位交流.     

尺规作图助力数学探索撤回

数学课程于学生的理性思维发展、分析和解决问题能力的培养起着至关重要的作用.激发学生的数学学习兴趣和探索的欲望,要擅长发掘有意思的数学问题,将研究数学的乐趣带给学生;要培养学生分析问题、解决问题的能力,就要在平时的教学中关注分析问题、形成解决策略的过程,重视过程性教学,而不是结果导向的、单一性讲授式教学.在这个理念下,笔者设计了这样一节尺规作图的解题探究课,从两个路径出发,通过“强化”条件和“弱化”制定分级目标,辅以研究数学问题的通法帮助学生建构尺规作图题目的思考步骤,从而使学生领略尺规作图的魅力所在,完成数学思维的深度探索.     

椭圆切线的尺规作法

在研究椭圆问题时 ,得到以下椭圆切线的一个尺规作法 :已知椭圆方程为x2a2 + y2b2 =1 (a>b >0 ) ,过椭圆上一点Q(x0 ,y0 )的切线方程为x0 xa2 + y0 yb2 =1 .设Q(x0 ,y0 )为椭圆上任一点 ,下面给出切线的作法 .作法 :( 1 )若Q为椭圆的顶点 ,则切线垂直于所在的轴 ;( 2 )若Q在任一非顶点处如图 ,过Q作QA ⊥x轴 ,垂足为A ,反向延长QA ,①以O为圆心 ,a为半径画弧交射线AQ的延长线于P点②过P点作OP的垂线PN交x轴于N点③连结NQ ,即为过Q点的切线 .　　证明　不妨设Q在第一象限 ,Q(x0 ,y0 ) ,则A为 (x0 ,0 )因为OP =a ,x0 2a2 + y0 2b2…