四面体求积的另一公式

数学通报85年3期发表了“四面体的求积公式”一文。该文给出了由四面体的六条棱求其体积的公式。读后颇受启发。 本文试图证明四面体求积的另一公式。即已知四面体由一个顶点出发的三条棱长及其中每两条棱的夹角,求其体积,这个公式较易记忆,且计算量较小。为此,先证明如下的引理。     

巧用四面体的外接平行六面体解一类题

四面体是最简单的多面体,有关四面体的性质和计算也是我们经常要遇到的。本文主要是举例说明如何用四面体的外接平行六面体来研究四面体的性质和解决它的有关计算。因为四面体的每两条对棱都不共面,因此可以作两个平行平面使其各通过其中一棱。通过三双对棱所作的三组平行平面围成一个平行六面体,叫做四面体的外接平行六面体。四面体的六条棱就分别是六面体六个面上     

为什么正多面体只有五种

我们知道,平面上的正多边形,可以有正三角形、正方形、正五边形、正六边形等等.对于任意一个正整数n,都有正n边形存在.平面上的多边形,类比到空间,就是多面体——由若干个平面多边形围成的封闭的空间图形.围成多面体的各个多边形叫多面体的面,两个面的公共边叫多面体的棱,棱和棱的公共点叫多面体的顶点.把多面体的任一面伸展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样     

四面体对棱所成的角的公式

我们知道,四面体是最基本的几何体,所以,人们非常注重对它的研究,并获得了一系列可喜的成果。如《数学通报》1985年第3期》四面体的求积公式》一文,介绍了由六条棱求共体积的公式.笔者受此文的启发,得出了由六条棱长求其对棱所成的角的公式,现介绍如下。 定理 在四面体A—BCD中,设对棱AD和BC所成的角为α(0<α≤π/2),则     

四面体的六棱求积与对棱距离公式

文[1]与文[2]分别给出了已知四面体六条棱的长求四面体体积的两个计算公式，读后获益匪浅，只是觉得其形式不易记忆，文[2]的公式虽然较文[1]的简单，由于其几何特征不明显也觉得难以记住．本文推出一个新的六棱求积公式与读者共享，并给出已知六棱长求四面体对棱距离的一个公式．     

四面体求积公式的矢量证法

数学通报一九八六年第五期发表了胡国华同志“四面体求积的另一公式”一文,该文给出了已知四面体由一个顶点出发的三条棱长以及每两条棱的夹角,求出体积的公式为v=abc/b。     

再谈四面体的六棱求积公式

文[1]，文[2]，文[3]都是本刊陆续刊登的已知四面体六条棱的长求四面体体积的计算公式，可见此问题具有一定的研究价值，读完这一连串文章确实获益匪浅．笔者通过研究，借鉴这三篇文章的证明方法，得出已知四面体的六条棱求积的一个新公式．     

直线和平面所成角公式

《数学通报》1986年第5期刊登了“四面体求积的另一公式”一文,读后颇受启发。我从该公式得到了一个“直线和平面所成角公式”,现介绍如下。若四面体由一个顶点出发的三条棱长分别为a、b、c,其所对的面角分别为a、β、Y,如图1所示;那么四面体求积的另一公式是: V=1/6abc。     

旋转体求积的一个简单公式

旋转体求积的一个简单公式叶家旺（福建省建瓯一中３５３１００）高中《立体几何》甲种本中，对于多边形绕同一平面内的一条直线旋转一周所得旋转体的体积，一般采用割、补法，将它转化为若干个圆柱、圆锥和圆台的体积求解．没有给出一般性的求积公式．本文试证一个求旋转...     

欧拉凸多面形定理和欧拉示性数

Ⅰ.凸多面形的欧拉定理 1.定理的敍述和来源象中学立体几何教科书中所說的,由若干个平面多边形所围成的封閉的立体叫作多面体。这些多边形的每一个叫作多面体的面,这些多边形的边和頂点分別叫作多面体的棱和頂点。当多面体在它的每一个面的平面的同一側,它就叫作凸多面体。凸多面体的表面叫作凸多面形,它的面、棱和頂点也就是凸多面形的面、棱和頂点。例如图1中的(一)到(四)都是凸多面形,图1中的(五)不是凸多面形。     

极端性原理

一、极端性原理所谓极端性原理指的是直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法。例1 证明:任何四面体中,一定有一个顶点,由它出发的3条棱可以构成一个三角形。证明组成四面体的六条棱中总存在最长棱,不     

三棱锥体积在解题中的应用

三棱锥是一种特殊的棱锥;它的每一个顶点都可为棱锥的顶点,它的每一个面均可为棱锥的底面,而体积总是不变的。利用这一特点,可以把求多面体的体积和多边形的面积分别转化为求三棱锥的体积和三校锥的底面积;把求点到平面的距离、直线和平面的距离以及两条异面直线的距离转化为求三棱锥的高等等。一求多面体的体积多面体的体积,可以转化成若干个三棱锥的体积和,由于三棱锥的底面具有轮换性,可适当选取三棱锥的底面,较容易地求出三棱锥的体积,进而求出多面体的体积。     

第十章 多面体和旋转体

§1 多面体的表面积和体积要点常见的多面体的概念和性质,多面体的表面积和体积的计算。例1 在一个平行六面体中,一个顶点上三条棱长分别是a、b、C,这三条棱中每两条所成角是60°,求平行六面体体积。     

四面体的两个体积公式

四面体的两个体积公式韩绍文席学勤（河南项城市高中４６６２００）本文给出四面体的两个体积公式．定理１如果一个四面体的两条相对棱的长分别是ａ，ｂ，它们的距离是ｄ，所成的角为θ，那么它的体积是Ｖ＝１６ａｂｄｓｉｎθ证明如图，四面体ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ａ，ＣＤ...     

四面体体积比的一个定理

我们知道,若一个四面体被一个平面所截,如果截口是一个三角形,则只要知道了截面分四面体三条棱之比,就可较容易地求出截面分四面体两部分体积之比。但如果截面是四边形,那么情况就要复杂得多。本文介绍四面体体积比的一个定理,从中可以看到用分割法解立几题的作用。 定理 设A—BCD是体积等于V的四面体,它被平面a所截,ABCDA是由四条棱AB、BC、CD、DA首尾顺次相连的空间封闭折线,a与AB、BC、CD、DA的交点依次为P_1,P_2,P_2,P_4     

三角形与四面体的类比思考

我们知道平面内最简单的多边形是三角形,空间最简单的多面体为四面体.许多与三角形有关的概念和性质,在四面体中也有类似的结论.如果我们将平面几何中的关于三角形的某些结论和公式作相应的修改,我们就可以得到许多优美的关于空间四面体的结论和性质.1三角形内角平分线与四面体     

巧用三棱台的一个性质妙解题

众所周知 ,任何一个平面多边形都可以分割成若干个三角形 ,任何一个多面体均可分割成若干个三棱锥 .三棱台ＡＢＣ Ａ1Ｂ1Ｃ1可分割成如图 1所示的三个三棱锥Ａ Ａ1Ｂ1Ｃ1,Ｃ ＡＢ1Ｃ1,Ｂ1 ＡＢＣ ,设三棱台的上、下底面积分别为Ｓ1,Ｓ2 ,高为ｈ ,体积为Ｖ ,则其体积为Ｖ =13(Ｓ1+Ｓ2 +Ｓ1Ｓ2 )ｈ =13ｈＳ1+ 13ｈＳ2+ 13ｈＳ1Ｓ2 .因为ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=13ｈＳ1,ＶＢ1 ＡＢＣ=13ｈＳ2 ,所以ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=13ｈＳ1Ｓ2 .图 1　三棱台的分割图设ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=Ｖ1,ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=Ｖ2 ,ＶＢ1 ＡＢＣ=Ｖ3 ,设 ＡＢＡ1Ｂ1=ｋ ,则 Ｖ2Ｖ1=Ｖ3 Ｖ2=Ｓ2…     

“空间四点定球”的探索

在平面几何中,不在同一直线上的三点可以确定一个圆:若三点连线组成三角形,且三角形的三边己知,则此三角形的外接圆的半径可以求出。在空间中不在同一平面内的四点可以确定一个球,若四点连线组成四面体,且四面体的六条棱长已知,那末此四面体的外接球半径是否可以求出?本文对此问题进行探索。设四面体D—ABC中,BC=a、AC=b、AB=c其相对棱DA、DB、DC的长分别为a、b、c,求DABC的外接球的半径。解:在平面ABC中过A作AE⊥BC于E,在平面DBC中过D作DF⊥BC于F,则平面ABC与平面DBC所成二面角的平面角,是异面直线DF与AE所成的角,或此角的补角,由于棱长已知,所以各个     

再谈四面体的六棱求积公式

文[1],文[2],文[3]都是本刊陆续刊登的已知四面体六条棱的长求四面体体积的计算公式,可见此问题具有一定的研究价值,读完这一连串文章确实获益匪浅.笔者通过研究,借鉴这三篇文章的证明方法,得出已知四面体的六条棱求积的一个新公式.图1引理图引理在四面体SABC中∠CSB=α,∠CSA=β,∠BSA=γ,α1为二面角C SA B的平面角,则cosα1=cosα-cosβ·cosγsinβ·sinγ.证作CH⊥面ASB于H,CD⊥SA于D,连结DH并延长交SB于M,则∠CDM=α1为二面角C SA B的平面角.CD=SD·tanβ,CS=SD·secβ,DM=SD·tanγ,SM=SD·secγ.在△CSM与…     

欧拉公式及其应用

对于简单多面体来说,若顶点数为V,面数为F,棱数为E,则V F-E=2.这就是著名的欧拉定理,其关系式叫做欧拉公式.其中的常数f(p)=V F-E=2叫做简单多面体的欧拉示性数.欧拉公式揭示了简单多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间特有的规律.欧拉公式只适用于简单多面体,是计算和推理简单多面体问题的理论依据.例1将正方体的各棱三等分,经过三分之一分点,从正方体的8个角截去8个相同的小四面体,试验证截后的凸多面体符合欧拉公式.图1分析先弄清楚截去8个角后得到什么样的几何体,然后分类计算面数、顶点数与棱数.证明截去8个角后,原正方体的每…