数学归纳法的求解策略

数学归纳法是数学中的重要思想和方法 ,在历年的高考和各级竞赛中经常出现 ,它不但是解决大量与自然数有关的问题的强有力的方法 ,更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程 .它的两个步骤看似呆板 ,其实在证明时不但需要高超的技巧 ,而且还需要辩证思维 .本文就数学归纳法的常见求解策略作一些简单的探讨 .1　 兼顾两头 ,实现过渡运用数学归纳法证明问题时 ,要想从 n=k到 n =k 1顺利实施归纳过渡 ,关键在于通过对问题的具体分析、兼顾两头 ,寻找 p(k)与 p(k 1)的“交接口”,才能有效地利用归纳假设 ,作出巧妙的安排 ,寻找突破 ,做到…     

数学归纳法学习中的一、二、三

数学归纳法是数学证明中的重要方法,它是由特殊到一般的推理方法,常用来证明与正整数有关的可以递推的问题.在高中数学课程中,数学归纳法并不是一个"教师容易教,学生容易学"的单元,学生在利用数学归纳法的过程中诸如"忽视     

从《数学归纳法》再看课堂有效性

数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的无限问题正确性的数学方法.由于自然数的个数是无限的,因此与自然数有关的命题是不可能通过有限次检验去证明.这需要通过在有限的情况下,去证明无限的情形.而数学归纳法正好提供了一种从有限到无限,保证命题结论正确可靠的数学方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.应当强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.在设计时,更注重教学引入的选取照顾学生的接受性,重视学生的学习规律,有意识地提高学生的综合能力.     

谈数学归纳法的教学

统编教材第三册,以一节书的篇幅介绍了数学归纳法,这是因为数学归纳法是一种重要的推理方法,它在初等数学和高等数学中都有广泛的应用。让学生在中学学习阶段就懂得数学归纳法的原理,掌握它的证题方法是十分必要的。这对于提高他们的逻辑推理能力、解题能力和进一步学习都有很大的好处。鉴于中学生的基础知识不宽和教学时间有限,在学生初次接触数学归纳法时,不宜将数学归纳法证题的各种“变着”(如反向归纳法、翘翘板归纳法等)和盘托出,讲得过深过难。而只能使学生懂得数学归纳法的基本原理,掌握它的一般证题方法。要实现这一教学目的,笔者认为在教学过程中必须抓好三环。即讲清数学归纳法的形成过程(即数学归纳法是怎样总结出来的),熟练三类基本题(即恒等式、数列的通项公式和整除问题)的证法,以及在后续的教学中适当的引伸和经常应用。     

重视应用数学归纳法

<正>同学们知道,数学归纳法是一种较为特殊的证明方法,同时也是一种非常重要的证明方法.对于与自然数有关的命题,都可以运用它来进行证明.但是,由于在高考中,对数学归纳法的考查并非重点,以致于同学们对此并不加以重视,这不能不说是一种无奈的缺憾.有感于此,本文拟对数学归纳法做些解读,以期能引起同学的关注.一、准确理解数学归纳法对数学归纳法的理解主要包括对其原理与步骤两个方面:     

关于数学归纳法的说课

1教材的地位和作用数学归纳法的地位和作用主要体现在以下3个方面:1.1中学数学中的许多重要结论,如等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式,二项式定理都可以利用数学归纳法进行证明.在实际问题中,由归纳、猜想得出的一些与正整数有关的数学命题,通过用数学归纳法加以证明,可以使学生对有关知识的认识更加深入,理解更加透彻.1.2运用数学归纳法可以证明许多数学命题,通过这些数学命题的证明,既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的良好训练.1.3数学归纳法在今后的数学学习过程中经常用到,它是很重要的一种数学工具.因此,掌握数…     

数学归纳法中实施过渡的技巧与策略

数学归纳法中实施过渡的技巧与策略４１０００７长沙市雅礼中学李再湘教学归纳法是教学思维方法中最重要、最常用的方法之一．这不仅是因为其中大量的问题都与自然数有关，更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程，因此，在教学中，应加深学生对数学归纳法原理的理...     

归纳公理与数学归纳法探究

数学归纳法是一种重要的证明方法.许多文献通过证法分析探寻数学归纳法的逻辑基础、证明方法等[1]-[5].本文试图从归纳公理出发,分析归纳公理在皮亚诺公理体系中的地位以及与数学归纳法之间的关系,由此进一步探讨数学归纳法的本质.     

数学归纳法的构造

数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一.它在各个数学分支领域中都有着极为广泛的应用,正确地掌握并灵活地应用此方法是数学教学的基本要求之一.数学归纳法具有多种形式,无论何种形式其核心都是必不可少的两个基本步骤.对于各种具体问題选用适宜的数学归纳法形式以使两个基本步骤得以实现是解决问题的重要一环.这方面已有不少论著作出广泛的讨论.本文的主要目的在于给出数学归纳法的一个一般性定理,由此不仅可以     

着力于数学归纳法原理理解的教学设计

一、数学归纳法原理教学的重新构想1.传统的数学归纳法教学的弊端.传统的数学归纳法教学,常常是先说明不完全归纳法的可误性,再举些多米诺骨牌游戏之类的例子作引子,然后就直接“抛”出了数学归纳法的证明步骤,接着通过大量的例子操作,使学生掌握数学归纳法的步骤.这样的教学处理,学生只是死记了数学归纳法步骤,机械地套用,尽管教师反复讲解,结果学生还是觉得方法出来得突然,不能深刻理解数学归纳法中蕴涵着的数学递推证明思想.2.设计的意图是寻求突破对数学归纳法原理的理解.本设计的做法是创设问题情景,在问题的解决过程中,让学生体验递推…     

漫谈数学归纳法

漫谈数学归纳法韩景志（安徽定远中学２３３２００）数学归纳法是一种很重要的数学方法它的广泛实用性是众所周知的但对这种方法的历史来源，理论基础，运用技巧，以及它和其他数学方法之间的联系，人们却考虑甚少，也知之不多本文就想简要地谈一谈这些问题１数学...     

悄然走红的数学归纳法

数学归纳法是高中数学的重要的数学思想方法,在历年全国各地的高考中也经常出现．自2012年高考湖北卷（理）第22题再次考查了数学归纳法以后,真是一石激起千层浪,对数学归纳法的考查一下子成了热门内容．在2013年湖北各地的模拟试卷中多次考查了数学归纳法．众所周知,数学归纳法主要是证明跟正整数有关的数学问题,这类问题一般式长、量多,考察学生的综合能力,     

用二项式定理证明不等式的几类问题

众所周知,数学归纳法在含有自然数的命题证明方面有着较大的优势,但同时我们也发现:不是所有与自然数有关的命题都可以用数学归纳法来证明,而且在使用的新教材里目前对数学归纳法已经不作要求了.所以,在缺少了数学归纳法或出现了不宜用数学归纳法的题目之后,我们就需要去寻找另外的方法.实践证明,二项式定理在实际应用中具有很大的价值.例如,解决与自然数有关的幂不等式的证明,它就给我们提供了一种结构简明、思路清晰的证明方法.下面举例说明.1简单构造二项式和直接应用二项式定理例1(1)求证:n≥2时,2n≥n2+n+22;(2)证明:C2nn-1<4n-1(n>1)…     

“数学归纳法”教学中的几个问题

数学归纳法是处理一类同无穷多个自然数有关的命题 P(n)的一种重要方法,在初、高等数学中,都有着重要的地位,基本原理是:命题1 P(1)正确,且 P(k)正确=P(k+1)正确,则 P(n)(n∈N)正确.学习数学归纳法时,学生常常产生下列问题:①命题1是怎样想到的?②命题1“保险”吗?它能不     

数学归纳法常见错例辨析

<正>数学归纳法是现行普通高中课程标准实验教科书选修4-5《不等式选讲》中的重要内容,其主要用于研究与正整数有关的数学问题.它是各级各类考试命题的热点,同时它也是学好高等数学的基础,但很多同学却因只了解了数学归纳法程式化的证题步骤而对其原理不明确而导致解题的失误,现举例加以辨析,以期对大家的学习有所帮助.1.奠基不够充分     

搭建“递推关系”实现数学归纳法推理过渡

数学归纳法是证明与自然序列有关问题的重要方法,在处理某些特殊类型的问题时,需要搭建合适的“递推关系”,以便顺利实现从n=k到n=k+1的归纳递推,本文结合具体实例进行说明.     

高考中应用数学归纳法的四种重点题型剖析

数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法．在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时,数学归纳法往往是非常有用的研究工具．数学归纳法的掌握是推理论证能力的一种体现,它也是注重考查能力的高考数学中的一个热点和难点,下面是2007-2009年全国各省市高考理科数学综合考查数学归纳法的一个情况表     

数学归纳法证题技巧

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的命题的一种推理方法,在证明许多数学问题的时候,它都有着不可替代的作用．使用数学归纳法证题的一个难点是如何完成第二步的递推证明．本文就此递推过程所用到的几种基本方法、技巧予以举例说明．     

加强命题证明数列不等式问题的探讨

由于数列不等式与正整数有关,所以,“数学归纳法”成为数列不等式证明的首选方法．但是,一些数列不等式题直接用“数学归纳法”却行不通,而需要先对其进行放缩以证明它的“加强不等式”,它是证明数列不等式问题的一种有效方法．这时解决问题的关键是构造“加强不等式”,构造“加强不等式”是件不容易做好的事情．为此,本文对加强命题证明数列不等式问题从哪里“强”、如何“强”、“强”到什么程度作一些探讨．     

由一个诡辨看数学归纳法的适用范围

数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一 .中学数学中的一些概念、公式、定理及很多的命题 ,通过数学归纳法导出和证明更符合学生的认知特点 ,也符合人们从特殊到一般的认知规律 .在中学阶段 ,有些公式、定理和命题 ,由于受中学生所掌握的数学知识的限制 ,往往只能让学生先暂且接受其真实性 ,再用数学归纳法给出证明 .但是 ,数学归纳法究竟在哪些地方可以用 ,这一直困扰着我们很多的中学生 .下面 ,笔者想从一个诡辨谈起 ,来看数学归纳法的适用范围 .命题　任意一个有n(n为自然数 )根毛的宠物狗都是“裸狗” .证明　 (用数学归纳法 )1…