三角形等角共轭点的一个有趣性质

文 [1 ]给出如下有趣恒等式 :设 P、Q是△ ABC的等角共轭点(∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA) ,则有AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC=1 ( 1 )今给出 ( 1 )式的如下不等式推广 :命题　设 P、Q是△ ABC内任意两点 ,则AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC≥ 1 ( 2 )等号当且仅当∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA时成立 .证明　如图 1 ,顺次以 BC,CA,AB为对称轴 ,作△ PBC,△ PCA,△ PAB的对称三角形△ A′BC,△ B′CA,△ C′AB.连结A…     

三角形等角共轭点的一个性质

本文将给出三角形等角共轭点的一个新性质.即 命题设P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),则在BC、CA、AB上分别存在点D、E、F,使得PD DQ=PE EQ=PF FQ,且AD、BE、CF三线共点.     

三角形等角共轭点的一个性质

定理 设P、Q为△ABC内两点,且∠PAB=∠QAC, ∠PBC=∠QBA,∠PCA=∠QCB,求证:(AP)/(AQ)=(sin∠BQC)/(sin∠BPC), (BP)/(BQ)=(sin∠AQC)/(sin∠APC), (CP)/(CQ)=(sin∠AQB)/(sin∠APB).     

四面体的等角共轭点性质初探

1 引言 在文[1]和[2]中,我们已将三角形"等距共轭点"的概念及有关性质推广至四面体中.本文将进一步研究"等角共轭点"的概念及性质在四面体中的推广. 过△ABC的顶点A作两条直线,关于∠A的平分线对称,与BC所在直线分别交于A1、A2,则线段AA1与AA2称为从△ABC的顶点A引出的一对"等角线".     

三角形的一个有趣性质

设△ABC三边为a、b、c,三角为α、β、r,则以Sinα、sinβ、sinr为边的三角形存在,且这个三角形的三角仍为α、β、r。证明:在△ABC中,由正弦定理知: a/sinα=b/sinβ=c/sinr=2R(R为△ABC外接圆半径) (1)由(1)得:Sinα=a/2R,sinβ=b/2R,sinr=c/2R。     

关于三角形旁切圆半径的一个有趣性质

文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质.     

完全三角形的有趣性质

边长为整数且周长值是其面积值的二倍的三角形称为完全三角形 .设△ＡＢＣ的内角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的所对边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ(均为整数 ) ,内切圆半径、面积、半周长分别为ｒ ,Ｓ ,Ｐ ,则完全三角形具有如下有趣的性质 :定理 1　若△ＡＢＣ为完全三角形 ,则1)ｒ =1;2 )Ｐ >33;3)ａ +ｂ -ｃ =2ｃｏｔ Ｃ2 .证　 1)Ｓ =Ｐｒ ,由完全三角形的定义知Ｓ =Ｐ ,所以ｒ =1.2 )Ｐ =12 (ａ +ｂ +ｃ)=ｒ ｃｏｔ Ａ2 +ｃｏｔ Ｂ2 +ｃｏｔ Ｃ2 ,由 1)知　ｒ =1.所以Ｐ =ｃｏｔ Ａ2 +ｃｏｔ Ｂ2 +ｃｏｔ Ｃ2 .又ｃｏｔ Ａ2 +ｃｏｔ Ｂ2 +ｃｏｔ Ｃ2 ≥ 33,故Ｐ…     

三角形的内心和重心所在直线的一个有趣性质

本文继续探究与欧拉线有关的问题,并给出三个新的有趣结果:(1)当不等边三角形的重心和内心所在直线垂直该三角形的一边时,重心和内心到该边距离之比为4:3;(2)直角三角形中,重心与内心的连线垂直三角形的一边,则该边与其余两边的比为3:4:5;(3)直角三角形的重心与内心的连线与一直角边交于一点,若内心到该交点的距离是内心与重心距离的■倍,则该三角形的三边之比为1:■:2.     

三角形的一个性质

性质 已知△ABC及其内部一点P，若λ1 PA^→λ2 PB^→＋λ3 PC^→=0，λ1，λ2，λ3都是大于0的实数，则△PBC，△PAC，△PAB的面积之比为λ1：λ2：λ3。     

三角形的一个性质

1性质的叙述性质已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则△PBC,△PAC,△PAB的面积之比为λ1∶λ2∶λ3.(即S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3)2性质的证明图1证明如图1,设PF=λ2PB,PD=λ3PC,由平行四边形法则可得PF PD=λ2PB λ3PC=P     

锐角三角形的两个有趣性质

性质1如图1,在锐角△ABC中,AB>AC>BC,点O、H分别是三角形的外心和垂心,则∠OAH+∠OCH=∠OBH.证明延长AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于点D、E、F,∵点H是△ABC的垂心,显然AD、BE、CF是△ABC的三条高,于是易证B、C、E、F四点共圆,     

三角形中一个有趣的巧合点

题目P是△ABC所在平面内的任意一点,以PA、PB为边作PAC′B,所以PA、PC为边作PCB′A,以PB、PC为边作PBA′C,则AA′、BB′、CC′、三线共点,且互相平分.分析由题设可分为以下六种情形:(1)P点在△ABC的内部,如图1,(2)P点在△ABC的外部,如图2,(3)P点在△ABC的某条边上,如图3,(4)P点与△ABC的某条边的中点重合,     

关于海伦三角形的一个有趣定理

文中杨之用拟合的方法给出了诺尔曼——埃尔德什定理（即：平面上存在不共线的n个点，其中任两个点间的距离都是整数）的一个初等证明．但证明复杂，且其中有n-1个点都在一条直线上．本文将用构造性方法证明更有趣的结论。     

一个有趣性质的拓广

读贵刊1994年第2期《矩形外接圆周上点的有趣性质》(以下简称《有趣性质》)一文,笔者发现文中结论仍是一种特殊情形,很容易拓广为更一般的结论.《有趣性质》一文主要证得了一个引理及一个定理,即命题1　矩形外接圆周上任一点,到各顶点距离的平方和为定值.命题2　矩形外接圆周上任一点,到各边中点距离的平方和为定值.这两个结论告诉我们:矩形外接圆周上任一点到矩形四条边的端点及中点的距离的平方和均为定值.很容易提出:矩形的四条边上的其它点是不是也具有这样的性质?还可提出:是不是仅仅是矩形外接圆周上的点才具有这样的性质?定理1　P为…     

调和级数的一个有趣性质

对于调和级数sum from n=1 to ∞(1/n),它是一个发散的无穷级数,但笔者对其稍作变形,发现它有一个很有趣的性质.即性质:调和级数sum from n=1 to ∞(1/n),如果在调和级数中删去分母中含有数字1,2,3,…9 中任一个的所有项,则所得无穷级数将都收敛,且其和小于30.     

圆锥曲线的一个有趣性质

笔者最近探得了圆锥曲线的一个有趣性质，以椭圆为例介绍如下．     

等腰三角形的一个有趣性质

<正>笔者在利用几何画板绘制几何图形时,发现等腰三角形一个有趣的性质:在△ABC中,AB=AC,∠BAC≠60°,AD是△ABC的角平分线,点E在直线AC上,且∠DEC=30°,线段DE的垂直平分线交直线AB于点F,则∠ADF等于30°或150°.显然,点E的位置与△ABC的形状有关.分两种情况:一、当∠BAC<60°时,有两种情况.1.当点E在线段AC上时,如图1所示.     

圆锥曲线的一个有趣性质

最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究 ,得到了一个十分有趣性质 .定理 1　设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )上的一点 ,E、F是左 ,右焦点 ,A ,B是左 ,右顶点 ,∠EPF =2α ,∠APB =β,e是离心率 ,则e=- 2cotαcotβ α∈ 0 ,π2 ,β∈ π2 ,π ,(其中yP ≠ 0 ) .图 1证明　对于△PEF ,由题设及椭圆焦点三角形的面积公式知S△PEF =b2 ·tanα .另一方面 ,S△PEF =12 ｜EF｜·｜yP｜ ,从而b2 tanα=c｜yP｜ ,故 ｜yP｜=b2ctanα①对于△APB ,不妨设点P(x ,y)在x轴上方 ,如图 1 ,由两条直线所成的角的公式得tanβ=kPB -kPA1 +…     

直角三角形的一个有趣性质

在直角三角形中,我偶然发现竟有这样一有趣的性质,即下面的一个等量关系式: p ·(p-c)=(P-a)·(p-b)=S_△ABC 式中a、b、c表示Rt△ABC三边的长,其中c为斜边,p=(1/2)(a+b+c),S_△ABC表示Rt△ABC的面积证明很简单: