推广一个法向量 求解一类高考题

一、缘起 容易知道,在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,0)和点B(0,b)的直线x/a+y/b=1(其中ab≠0)的一个法向量是n=(1/a,1/b). 把此结论推广到空间直角坐标系O-xyz中思考,就有以下结论. 二、定理 在空间直角坐标系O-xyz中,过三点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(其中abc≠0,ab≠0)的平面ABC的一个法向量是n=(1/a,1/b,1/c). 证明:因为→AB=(-a,b,0),则由n·→AB=(1/a,1/b,1/c)·(-a,b,0)=-1+1+0=0,知n⊥→AB.     

法向量截面法求解二面角

坐标向量法是解答立体几何问题的通性通法,它大大降低了传统解法中“一作二证三计算”的解题技巧,节省了思维,尤其是用法向量求解二面角,不论二面角的开口方向、大小如何,不管两半平面的“形状”怎样,无论二面角有棱没棱,更是“所向披靡”．     

四法求解无棱二面角

众所周知,二面角既是立体几何的一个重点,也是立体几何的一个难点,难主要难在不知如何作出二面角的平面角,特别是无棱（所求二面角中两个平面没有公共棱）二面角更不知从何下手．我在学习之余收集了几个这方面的题目,并加以整理,介绍求解无棱二面角大致的几种方法,希望能对大家有所启迪．     

例析空间向量在求“角”问题中的应用

解决立体几何问题有综合推理与空间向量的方法,其中利用空间向量法可回避经过作图—证明—计算等复杂的推理过程,为一些用传统方法解决技巧性大、随机性较强的问题提供了通法.本文拟对2010年高考题空间向量在立体几何中有关线线、线面、面面所成角的问题的应用进行归纳和说明,以帮助同学们加深对这类问题的理解.一、异面直线所成的角考点若AB、CD为两条异面直线,(?),(?)分别为它们的方向向量,那么AB、CD所成     

不用平面法向量求二面角的简单方法

立体几何较难的是求二面角的平面角,传统的综合法作二面角较难,空间向量的方法写起来繁,同时,求二面角的大小需要判断是锐二面角还是钝二面角,有时要依赖观察,但在复杂的立体图中,要准确判断有时是困难的．本文结合2013年高考题,给出一种不依赖于求两个半平面法向量的求二面角的方法,且计算量相对于求法向量来说也不大．     

浅谈向量法求二面角

求二面角是立体几何中的重点和难点,也是高考中的热点问题．用以往“从形到形”推理方法,即要求学生根据提设条件,找到二面角的平面角,再由线面、线线等关系计算出结果．但对许多学生来说,掌握这种“从形到形”的推理方法比较困难．若利用向量法求二面角操作起来简单易行,学生容易接受．下面介绍利用向量法求二面角的两种解法．     

通过一题多解与一题多变掌握二面角的平面角的求法

二面角的平面角是立体几何中三种角(异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成角)之一,也是最难计算的角,常给同学们造成困难.本文通过一道题的多变与一道题的多解来介绍二面角的平面角的求法,供同学们参考.     

“向量回路法”为求空间角注入新的活力

说起向量回路法,或许之前你从没听说过,对它陌生不已.可它确实为求空间角注入新的途径、新的契机,特别是求难以建系或难以找‘平面角'的立几空间角题,更是魅力无尽.传统几何法(即作、证、说、算法)与坐标向量法(即建立空间直角坐标系法)是求空间角的两大主题,是教学、应考与杂志、     

法向量截面法求解二面角

坐标向量法是解答立体几何问题的通性通法,它大大降低了传统解法中一作二证三计算的解题技巧,节省了思维,尤其是用法向量求解二面角,不论二面角的开口方向、大小如何,不管两半平面的形状怎样,无论二面角有棱没棱,更是     

一道立体几何题的向量解法

高中数学中,空间向量作为解决立体几何的一种工具,主要应用于通过建立空间直角坐标系,利用向量的夹角来求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的大小.对某些特殊的几何体如平行六面体,在不建立空间直角坐标系的情况下也可以用向量进行求解证明.引列:平行六面体AC1中AB=2,AD=3,AA1=4,且∠A1AB=∠A1AD=60°.求对角线AC1的长.解:如图,平行六面体AC1中,∵AC1=AB+AD+AA1∴AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=22+32+42+2×2×3×cos60°+2×2×2×4×cos60°+2×3×4×cos60°=55∴对角线…     

法向量求二面角大小的又一个简单判定方法

立体几何中的求二面角大小问题,是高考重点考查内容,法向量法是求二面角大小的一种主要方法.我们知道:二面角大小与其两个平面的法向量的夹角相等或互补.但到底是相等还是互补,教学中很多师生采用直观判断,参考资料涉及此问题也回避不谈.文[1]给出了一种很好的判定方法,本文给出     

对新教材中如何用法向量求二面角大小的补充

在立体几何中适当地引入向量,对一些问题的求解有着十分重要的作用.但是在上海新课改的大纲中只说明了可以运用向量法求解,而高三拓展Ⅱ（理科）配备的例题中,对于如何用法向量确定二面角也没有给出很好的解决办法,只是强调由图可知.这就给教师和学生带来很大的困惑,到底如何用法向量来确定所求的二面角就是所找的呢？     

用平行线移位求解空间距离与空间角

直线在空间平行移动过程中,它携着点、牵着面自由自在"行走"空间,使线与线、线与面、面与面的平行(重合外)与垂直关系,转换过来又转换过去不断相互转化,其本质都是平行线移来又移去,平行与垂直关系的不变性所决定的,平行线的这一永不变节的几何属性,自然决定了它在立体几何中不可缺失的地位和作用,证离不开它,用它来移位求解空间距离与空间角,更是妙不可言,请看:     

充分利用正方体 谙熟异面直线距

正方体是立体几何中最基本的图形，求异面直线的距离是立体几何中最基本的计算题，而定义法、转化法、向量法又是解决距离最基本的方法．下面，在正方体中，应用上述基本方法来研究两异面直线间的距离．     

高等解析几何视野下几类特殊平面法向量的求解技巧

一、问题提出在高中数学教学中,常常用向量法解决立体几何问题,比如用平面的法向量去求二面角的大小、线面角、空间距离,去证明线线关系、线面关系等.但是,大部分学生在计算法向量时常常算错,导致立体几何题严重失分.本文试图用高等解析几何中的平面方程及法向量知识来总结几类特殊的平面的法向量的求法,从而使学生少犯计算错误,大大提高计算的正确率.     

例谈利用向量法求解2004年高考立几综合题

纵观2004年全国各地高考立几综合题，求空间距离、空间角及证明空间平行垂直关系是立体几何题盛行不衰的主题，而利用向量法处理这些问题具有很强的操作性、稳定性．下面举例谈谈向量法求解2004年高考立体几何试题的类型及解题方法。     

由一道高考立体几何题想开去

立体几何主要研究空间的直线、平面和简单几何体及它们的几何性质、位置关系的判定、画法、度量计算以及相关的应用,以培养学生的空间想象能力和推理论证能力.立体几何是高考必考的内容,试题一般以"两小题一大题或一大题一小题"的形式出现,分值在17-23分左右.笔者选取2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科卷的第19题进行例述.     

向量法探索2011年高考立体几何中的存在性问题

纵观2011年全国各地的高考数学试卷,立体几何试题出现了一批具有探索性、开放性的试题,通过探索性试题考察学生综合运用知识的能力以及分析问题和解决问题的能力,对这些试题的研究不难发现,如果灵活地运用平面向量和空间向     

对立体几何教学应用向量法的思考

1 问题的提出 2003年4月颁布的<普通高中数学课程标谁(实验)>(以下简称课程标准)增加了一些新的内容,空间向量即是其中的一个重要方面:在"必修课程数学4"部分的平面向量基础上,将其概念及运算拓展到空间,在"选修课程2-1"部分增加了空间中的向量与立体几何,向量是近现代数学最基本和最重要的概念之一,课程标准中明确提出关于向量的要求是符合国际数学课程改革大趋势的,比如澳大利亚的高中数学教学大纲在C层次(大纲分为A、B、C三个层次,以适合不同的人学习不同的数学)就将"向量及其应用"作为一个重要的核心专题专门列出[1];<美国学校数学教育的原则和标准>也将向量作为高中学生应当发展的用来表达几何思想、解决几何问题以及对某些情形作出几何解释的重要方式之一[2].     

四法助你求解线面角

直线与平面所成的角（简称线面角）是立体几何中的一个重要的数学概念,其计算体现了立体几何的基本要求,体现了逻辑推理与运算求解的高度统一.高考中,线面角的求解题目屡见不鲜,是高考中的重点题型之一.本文主要通过一个高考题目和同学们交流求解线面角的四种方法,帮助同学们求解立体几何中的线面角.