On the uniqueness of viscous compressible fluid motions in unbounded domain

Summary Employing the weight function approach it is showed a uniqueness theorem for the euqations governing the motion of a viscous compressible fluid, in unbounded domains. The theorem does not require that the density of the fluid be bounded from below by a positive constant. Moreover, no boundedness assumption is made on the velocity, temperature, density and their first derivatives.

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Sommario Con l'uso del metodo della funzione peso si dimostra un teorema di unicità per le equazioni dei fluidi viscosi compressibili, in domini non limitati. Non si richiede che la densità del fluido sia inferiormente limitata da una costante positiva. Inoltre, la velocità, la temperatura e la densità con le loro derivate prime possono essere anche non limitate.

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Work performed under auspices of GNFM of italian CNR.     

On velocity and temperature distribution in turbulent flow between parallel plates

Summary By means of mixing-length and turbulent Prandtl number hypothesis we solved the problem of parallel turbulent flow at constant density, both from the dynamic and thermal point of view; we then analyzed the fit with experimental data of various mixing-length formulas, and also the dependence of temperature profiles on the value of the turbulent Prandtl number.This critical analysis allowed the choice of the most suitable mixing-length formula and the value for the turbulent Prandtl number. On the basis of these results we extended the study discarding the condition of constant density; in particular we considered the case of liquids whose density was taken dependent on temperature changes across the walls, but independent of the pressure changes in flow direction.The study belongs to the case of fully developed temperature and velocity profiles.

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Sommario Mediante l'introduzione del numero di Prandtl turbolento e della lunghezza di miscelamento nelle equazioni di Reynolds, viene risolto il problema della distribuzione di velocità e temperatura in un fluido a densità costante, in moto turbolento tra due piani paralleli. Le distribuzioni di velocità, ottenute con diverse espressioni della lunghezza di miscelamento, vengono poi confrontate con i dati sperimentali, allo scopo di scegliere la più opportuna di queste lunghezze; infine viene esaminata l'influenza del numero di Prandtl turbolento sulla distribuzione di temperatura.In accordo con le suddette scelte, lo studio è successivamente esteso al caso di densità dipendente dalla sola temperatura, ritenendo trascurabili le variazioni di densità per effetto del gradiente di pressione. In altri termini si limita lo studio ai liquidi.Tutti i risultati ottenuti si riferiscono a moti stabilizzati in velocità e temperatura.

     

Chemical convective instability and quasi-equilibrium thermodynamics

Summary A nonlinear stability analysis is described for the Bénard problem for a chemically reacting fluid heated from above; the findings are compared with those of Wollkind & Frisch. Next an energy stability analysis is given for the model of Wollkind & Frisch and it is shown that instabilities may occur.

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Sommario Si sviluppa un'analisi non lineare della stabilità per il problema di Bénard relativo ad un fluido chimicamente reagente e riscaldato dall'alto; i risultati sono confrontati con quelli trovati in precedenza da Wollkind & Frisch. Successivamente si elabora un'analisi non lineare della stabilità proprio per il modello di Wollkind & Frisch e si mostra che si possono presentare delle instabilità.

     

Free vibrations of a meniscus with edge constraints

Summary The gravity capillary small vibrations of the meniscus of a fluid contained in a trough, when the line of contact on the lateral walls is fixed, are studied for the incompressible inviscid case. The two cases when the bottom end of the trough is closed or open are considered. It is found that the vibration frequencies and modes may be determined as eigenmodes and eigenvalues of a linear operator whose components, in a suitable basis of L ₂ (–1, 1),are given analitically. The influence of the relevant nondimensional parameters and the distinguishing features of the case of an open channel are then determined, and substantiated by numerical results.

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Sommario Si considerano le piccole oscillazioni capillari, in presenza di gravità e per fluido non viscoso e incompressibile, del menisco di un fluido contenuto in un recipiente rettangolare; le linee di contatto tra menisco e pareti laterali sono fisse. Sono simulati i due casi in cui il fondo del recipiente è aperto o chiuso. Si trova che modi e frequenze delle oscillazioni possono essere determinati come autovettori e autovalori di un operatore lineare delle cui componenti, rispetto ad una base di L ₂ (–1, 1),viene fornita l'espressione analitica. L'influenza dei pertinenti parametri adimensionali e le caratteristiche peculiari del caso con fondo aperto sono analizzate e confrontate con risultati numerici.

     

The thermohydrodynamic flow equations for hydrostatic thrust bearings

Summary This paper studies the flow in rotating hydrostatic thrust bearings lubricated with incompressible fluids under pressure. It considers, besides the effects of inertia on the lubricant, its increase in temperature in the film due to fluid friction (thermohydrodynamic flow).From the system of differential equations of Navier-Stokes, continuity and energy, we obtain differential or integro-differential equations that can furnish the values of the temperature and of the components of velocity and pressure of the fluid in the bearing. From these we obtain the values of the load-carrying capacity, of the volume flow rate of the fluid and those of the friction torque.

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Sommario Si studia il regime fluido nei cuscinetti idrostatici di spinta rotanti lubrificati con fluidi incompressibili in pressione, tenendo conto, oltre che degli effetti di inerzia sul lubrificante, anche del suo aumento di temperatura nel meato dovuto alle azioni di attrito fluido (regime termofluidodinamico).Si ricavano dal sistema di equazioni differenziali di Navier-Stokes, di continuità e dell'energia, le equazioni differenziali od integro-differenziali atte a fornire i valori della temperatura, delle componenti della velocità e della pressione del fluido nel cuscinetto e, mediante essi, i valori della capacità di carico, della portata volumetrica di fluido e del momento d'attrito.

     

Creep damage and rupture in AISI 310 austenitic steel

Summary We recall two approaches for dealing with creep damage in metals: the metallurgical — one which consists in measuring creep cavitation and the phenomenological — one with Kachanov's damage laws.For the first type we refer papers which deal particularly with the measure of density variation in order to compair them with the results of the present work where this technique is applied to AISI 310 steel. A wide statistical analysis, which consists in using Fisher's function and which is applied to damage laws with different numbers of indipendent variables, points out that strain is the variable which density variation strictly depends on for AISI 310 steel in the employed test conditions.We obtain the connection between tension stresses and creep rupture times by the density variation law and the constitutive law compairing it with experimental results.At the end we compair our results with Kachanov's law in order to prove that density variation is equal to damage factor for the steel which here we deal with and to compute Kachanov's rupture parameters.

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Sommario Si richiamano i due modi di affrontare il problema del danneggiamento a scorrimento viscoso dei materiali metallici: quello di tipo metallurgico che consiste nella misura della cavitazione e quello fenomenologico ingegneristico con leggi di danno del tipo di quella del Kachanov.Per il primo tipo si sono ricercati i lavori che trattano in particolare della misura di variazione di densità per confrontarli con i risultati di questa nota in cui la tecnica è stata applicata all'acciaio tipo AISI 310. Un'ampia indagine statistica che consiste nell'uso della funzione del Fisher e che è svolta su leggi di danno con differente numero di variabili indipendenti rileva che, per l'acciaio qui considerato, la variazione di densità dipende in modo molto stretto dalla deformazione.Si determinano il legame carichi tempi di rottura a trazione per lo scorrimento viscoso per mezzo della legge di variazione di densità e la legge costitutiva confrontandoli con i risultati sperimentali.Si confrontano infine i risultati con la legge del Kachanov al fine di provare l'uguaglianza tra la variazione densità ed il fattore di danno per l'acciaio qui considerato e di determinare i valori delle costanti del Kachanov.

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Research partially supported by C.N.R. grant N. CT 76.00645.07 and M.P.I. research grant (1976) and in the framework of the Nuclear Reactor Safety Program of Ispra.     

Turbulence measurements in a grid mixing tank

Summary An experiment is described in which a laser-Doppler anemometer was used to measure the spatial decay of turbulence generated by a vertically oscillating grid. In addition to being of theoretical interest, these measurements are necessary for scaling results from mixed-layer entrainment experiments. The main result of the present experiments is the determination of the variation of the length and velocity scales of the grid-induced motion as a function of distance from the grid. The results confirm previous reports that the turbulent kinetic energy (actually, the mean square fluctuating velocity) decreases approximately with the inverse square of the distance from the grid. Power spectra are calculated for the velocity signal and these, along with the raw data, are used to analyze the development of fluid motion with increasing distance from the grid. It is shown that true turbulence is not obtained for depths less than about two mesh spacings from the grid. Problems with background noise in the laser signal are also discussed.

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Sommario Si è utilizzato un laser-doppler per la misura dell'abbattimento della turbolenza generata da una griglia in moto verticale-oscillatorio. Tali misure, oltre a rivestire interesse teorico, tendono a valutare le variazioni delle scale di lunghezza e velocità del moto turbolento in funzione della profondità (distanza dalla griglia). I risultati concordano con precedenti esperimenti con i quali si è dimostrato che l'energia cinetica legata a tale turbolenza decresce con l'inverso del quadrato della distanza dalla griglia.I dati, rilevati con l'ausilio di un calcolatore, sono stati usati per calcolare gli spettri di energia e quindi analizzare lo sviluppo del moto del fluido incrementando la profondità. Si è mostrato che la turbolenza si sviluppa a profondità maggiori di circa due volte la dimensione della maglia che costituisce la griglia.Si sono infine discussi i problemi connessi con i disturbi di fondo di diversa natura presenti nell'acquisizione dati.

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Readers interested in more details, may request them to Dott. Ing. L. Damiani, Ist. di Idraulica e Costruzioni Idrauliche, Facoltà di Ingegneria Università di Bari, Via Re David 200, 70125 Bari.     

On physical foundations of plasticity

Complexity of plastic response is caused by the fact that plastically deformed solids are composites with a changing structure. At the mesoscale (m) a pattern of high and low dislocation density regions is spontaneously formed. The evolution of the composite structures is treated as a consequence of the structuralization process governed by four types of mechanisms: (i) the overproduction of dislocation, (ii) the screening of their elastic fields, (iii) the formation of dipolar dislocation patterns, (iv) the instability transition leading to the formation of subgrain boundaries, dislocation grids, microshear bands, or persistent slip bands. The proposed theoretical model consists of the balance law for the dislocation density of stored dislocations, the relations which determine the average shape of glide dislocations, and the continuum mechanics equations for stress and strain. To demonstrate the capacity of the model some available solutions simulating the mesoscale structure evolution are briefly reviewed.

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Sommario La complessità della risposta plastica è dovuta al fatto che i solidi soggetti a deformazioni plastiche sono corpi compositi di struttura variabile. A mesoscala (m) si forma spontaneamente un insieme di regioni di alta e bassa densità di dislocazioni. Si tratta il comportamento delle strutture composite come conseguenza di un processo di strutturalizzazione governato da quattro tipi di meccanismi: (1) sovrapproduzione di dislocazioni; (2) la schermatura del loro campo elastico;(3) la formazione di tipi di dislocazioni dipolari;(4) transizione di instabilità. Il modello teorico proposto è composto dalle equazioni di bilancio per la densità di dislocazione delle dislocazioni immagazzinate, dalle relazioni che determinano l'andamento medio delle dislocazioni di scorrimento e dalle equazioni della meccanica dei continui per sforzi e deformazioni. Per controllare la validità del modello, si riesaminano brevemente alcune soluzioni conosciute che simulano l'evoluzione della struttura a mesoscala.

     

Scoop optimal shape in a gas ultracentrifuge

Summary The aim of the present study is to design the shape of the UF ₆ extraction scoop for the ultracentrifuges so as to minimize the restraining moment. The local reduction of the fluid velocity is evaluated by considering the equilibrium between the accelerating and restraining forces acting on the fluid. By defining the function to be minimized and the links to be considered for the variables of the problem, the minimum is obtained by means of a typical variational problem. Some optimization examples, at various Mach numbers, and some comparisons with non optimal shape scoops are then shown.

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Sommario Lo scopo del presente studio è quello di individuare la forma che minimizza il momento resistente degli «scoops» di estrazione nelle ultracentrifughe per separazione isotopica dell'esafluoruro di uranio. La riduzione locale della velocità del fluido è calcolata considerando l'equilibrio tra le forze di trascinamento e quelle frenanti agenti sul fluido. La ricerca del minimo è risolta come un tipico problema variazionale. Sono stati esaminati alcuni esempi di ottimizzazione per diversi numeri di Mach; i risultati numerici sono stati confrontati con quelli relativi a «scoops» communemente adottati.

     

Topography effects on vortices in a rotating fluid

This paper reviews some aspects of topography effects on the dynamics of barotropic monopolar, dipolar and tripolar vortices in a rotating fluid. It is shown that the modulated point-vortex model (essentially based on conservation of potential vorticity) is capable of describing the flow evolution correctly, as can be concluded from comparisons with numerical simulations and laboratory observations.

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Sommario In questo articolo sono passati in rassegna alcuni aspetti degli effetti topografici nella dinamica dei vortici barotropici, monopolari, dipolari e tripolari in un fluido rotante. Si osserva che il modello di vortice puntiforme modulato (essenzialmente basato sulla conservazione della vorticità potenziale) è capace di descrivere correttamente l'evoluzione del flusso, come si può concludere dal paragone con simulazioni numeriche ed osservazioni di laboratorio.

     

Velocity and concentration fields in settling tank of non-interacting solid particles

Summary In this paper there is a synthetic presentation of the theoretical principles of the phase difference method for the simultaneous measurements of size, velocity and concentration of particles dispersed in fluid, its application to spherical glass particles free falling in water at rest, and the measured velocity and concentration fields of the particles in a settling tank model. Particles with diameter between 75÷150 m were used. The method used seems reliable in obtaining the necessary information to analyze the performance of settling tanks in relation to the influencing factors the particles settling.

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Sommario In questo articolo sono presentati in forma sintetica i principi teorici del metodo della differenza di fase per la misura simultanea di velocità, dimensione e concentrazione di particelle disperse in un fluido, ed un'applicazione di tale metodo al caso di particelle di vetro, di dimensioni fra i 75–150 m, disperse in acqua. Le misure effettuate sono relative alla sedimentazione di particelle in acqua in quiete ed ai campi di velocità e concentrazione delle particelle che si realizzano in un modello fisico di vasca di sedimentazione rettangolare. I risultati ottenuti sembrano confermare l'adeguatezza del metodo impiegato per analizzare l'efficienza delle vasche di sedimentazione in relazione ai fattori che influenzano la sedimentazione di particelle.

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This work was supported by the Italian Ministry of Education.     

On transient development of ship waves on a running stratified ocean

Summary A theoretical study is made of the linearized problem of transient development of waves created by the free surface pressure disturbances on a running stratified ocean which is composed of two layers of fluids of different densities with the infinitely deep bottom layer. With the aid of the same method of the author (1969c), asymptotic solutions for the free and interfacial surface elevation functions are obtained explicitly. Solutions of the corresponding steady state problem of ship waves in a stratified ocean due to Crapper (1967) are recovered in the limit t without having to resort to the use of the radiation condition at infinity or an equivalent device. The solution of the problem, in general, consists of two different classes of waves. The waves of the first class are the usual surface waves for the homogeneous ocean with a little modification in amplitude; and the waves in the second class are the internal waves with large amplitude for small differences in density between the upper and lower layer of the ocean. Some discussions about the internal wave motions related to the infinitesimal density stratification and shallow upper layer are made.

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Sommario Si compie uno studio teorico sul problema linearizzato del transitorio creato da perturbazioni di pressione sulla superficie libera di un oceano stratificato formato da due strati di densità diversa con lo strato inferiore di profondità infinita. Per mezzo del metodo già sviluppato dall'autore (1969c) si ottengono soluzioni asintotiche esplicite per le funzioni che danno le quote della superficie libera e di quella di separazione. Le soluzioni del corrispondente problema a regime di onde prodotte da una nave in un oceano stratificato dovute a Crapper (1967) sono ritrovate al limite t senza dover ricorrere all'uso delle condizioni di radiazione all'infinito o ad un equivalente artificio. La soluzione del problema, in generale, consiste di due diverse classi di onde. Le onde della prima classe sono le solite onde di superficie di un oceano omogeneo con piccole modifiche nell'ampiezza; le onde della seconda classe sono onde interne con grande ampiezza per piccole differenze di densità fra lo strato superiore e inferiore dell'oceano. Si discute poi il moto ondoso interno relativo alla stratificazione infinitesimale di densità e allo strato superiore di piccole profondità.

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Summary presented to the Seventy-sixth annual meeting of the American Mathematical Society at San-Antonio, January, 1970.     

Modelling and simulation of nonpremixed turbulent flames

A computational model for nonpremixed turbulent flames is presented. It is based on the conserved scalar approach and on a convenient specification of the probability density function, which allows the mean density to be recovered in closed (algebraic) form. The k-1 model is adopted for turbulence, and the resulting equations for parabolic flows are solved via a block implicit algorithm. The computed results are compared with experimental data and other authors' predictions.

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Sommario Si propone un modello per fiamme turbolente nonpremiscelate. Esso si basa sull'approccio dello scalare conservato e su una conveniente specificazione della funzione densità di probabilità, che permette di ottenere la densità media in forma chiusa (algebrica). Per la turbolenza si adotta il modello k-1, ed il sistema di equazioni risultante per flussi parabolici è risolto attraverso un algoritmo implicito a blocchi. I risultati calcolati sono confrontati con dati sperimentali e previsioni di altri autori.

     

Analysis of the static and dynamic behaviour of a magnetic liquid seal

Summary A rotating shaft seal, using ferrofluid between biconical truncated magnetic poles, is analysed both in static and dynamic conditions. After solving Laplace's equation and allowing an approximate expression for the magnetic potential, the magnetic forces acting on the working fluid are obtained. It is thus possible to determine the baric field existing in static conditions and the highest tolerable pressure jump. In the case of dynamic working the flow is schematized by two interior regions, where the azimuthal velocity prevails, and four boundary layers on the walls, where meridional transport of fluid takes place. Assuming laminar motion, by means of a perturbation procedure it is possible to see that in the interior, to a first approximation, two potential vortexes exist, whose circulations, after imposing the rotational equilibrium of the fluid about the symmetry axis, are found to be equal to about one half of the rotating pole peripheral circulation. This allows the determination of the baric field in the rotating fluid and of the friction moment exerted on the shaft.

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Sommario Si analizza il funzionamento in condizioni statiche e dinamiche di una tenuta ferrofluidica con poli a troncatura biconica. Risolta l'equazione di Laplace ed assegnata un'espressione approssimata al potenziale magnetico, vengono calcolate le forze magnetiche agenti sul fluido di lavoro. Ciò consente la determinazione immediata del campo barico esistente in condizioni statiche e del dislivello massimo di pressione sopportabile. Nel caso di funzionamento dinamico si schematizza il flusso mediante due regioni interne, che non toccano le pareti e nelle quali prevale la componente azimutale della velocità, e quattro strati limite lungo dette pareti, ove avviene trasporto meridiano di fluido. Nell'ipotesi di moto laminare, mediante un procedimento perturbativo si vede che, in prima approssimazione, nelle regioni interne vi sono due vortici potenziali, le circolazioni dei quali, determinate imponendo l'equilibrio della vena fluida alla rotazione intorno all'asse di simmetria, sono eguali circa alla metà della circolazione periferica sul polo rotante. Segue la determinazione del campo barico nel fluido rotante e del momento d'attrito esercitato sull'albero.

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This work was supported by the M.P.I., Italy     

Physical and Numerical Experiments on an Under-Expanded Jet

The axial characteristics of axisymmetric under-expanded sonic jets are dealt with, both experimentally and numerically. Experiments were carried out in a test rig where a sonic nozzle discharged into an ambient which could be kept at different pressures. The density measurements were taken by means of a differential interferometer. The numerical simulation was obtained by adapting a code by Bird (1994) which is based on the MonteCarlo method. The comparison between experimental data and numerical results was carried out by considering the density distribution along the axis of the jet. The direct simulation was then applied to explore the jet characteristics in a rather wide range of the dimensionless products upon which the phenomenology depends. New expressions are presented for the density distribution along the jet axis and for the location of the Mach disk. Sommario. Si trattano sia sperimentalmente che numericamente le caratteristiche assiali di getti assialsimmetrici sonici sottoespansi. Gli esperimenti sono stati eseguiti con ugelli sonici in ambienti a pressione variabile. La densità è stata misurata mediante un interferometro differenziale e le simulazioni sono state condotte mediante un codice basato sul metodo MonteCarlo. Il confronto tra dati sperimentali e numerici è basato sulla distribuzione di densità lungo l'asse del getto. La simulazione diretta è stata poi applicata allo studio del getto in un ampio campo di valori dei numeri caratteristici. Si discutono la distribuzione della densità lungo l'asse e la posizione del disco di Mach, ottenute sia dai dati sperimentali che dai risultati numerici e si propongono per esse nuove espressioni.     

Unsteady Flow of an Oscillating Porous Disk and a Fluid at Infinity

An exact analytic solution of the unsteady Navier–Stokes equations is obtained for the flow caused by the non-coaxial rotations of a porous disk and a fluid at infinity. The porous disk is executing oscillations in its own plane with superimposed injection or suction. An increasing or decreasing velocity amplitude of the oscillating porous disk is also discussed. Further, it is shown that a combination of suction/injection and decreasing/increasing velocity amplitude is possible as well. In addition, the flow due to porous oscillating disk and a fluid at infinity rotating about an axis parallel to the z-axis is attempted as a second problem. Sommario. Si studia il flusso non stazionario prodotto dall'oscillazione di un disco poroso in un fluido e si fornisce una soluzione analitica delle equazioni di Navier–Stokes. Si discute l'effetto di una suzione/iniezione e di una variazione sull'ampiezza della velocità' di oscillazione. Infine si studia il flusso dovuto alle oscillazioni non coassiali di un disco poroso e di un fluido all'infinito.     

The constant collision frequency model for electrical conductivity

Summary The constant collision frequency charged particle transport model for general separable scattering and ionization kernels is generalized for the determination of the spatially uniform electrical current density and the electrical conductivity to include a time-dependent electric field, and a constant magnetic field. It is shown that the conductivity is independent of the assumed velocity distribution of both scattering and ionization kernels and the source.

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Sommario Il modello di frequenza di collisione costante nell'ambito del trasporto di particelle cariche per nuclei di scattering e ionizzazione separabili è esteso al caso di un campo elettrico dipendente dal tempo e di un campo magnetico costante ai fini della determinazione della densità di corrente elettrica spazialmente uniforme e della conducibilità elettrica. Si dimostra che la conducibilità è indipendente dalla distribuzione di velocità di ambedue i nuclei di scattering e di ionizzazione e della sorgente.

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C.N.R. Visiting Professor on leave from the University of Arizona.     

Flow through geometrically irregular media with lattice gas automata

Summary The determination of the permeability is an interesting problem of fluid dynamics of wide interdisciplinary concern. Many authors approached this subject by developing numerical models of flows through porous media at either macro-scale and micro-scale. According to the latter point of view, we present in this paper a verification of Darcy's law and a first determination of the permeability starting by the knowledge of the microstructure of a three-dimensional random medium. The flow is here reproduced by using a particular class of cellular automata with the Boltzmann approximation.

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Sommario La determinazione del coefficiente di permeabilità rappresenta un interessante problema comune a molte discipline. Tale determinazione viene affrontata dai diversi autori o tramite la conoscenza di grandezze macroscopiche — come la resistività o la porositá — ovvero partendo dalla conoscenza della microstruttura del mezzo poroso e cercando di simulare il processo di moto fluido che si svolge lungo i canalicoli del mezzo stesso. Seguendo quest'ultimo punto di vista, viene qui di seguito presentata una tecnica alternativa per la verifica della legge di Darcy e, quindi, per una prima valutazione del coefficiente di permeabilità per un mezzo tridimensionale complesso. La simulazione dei moti fluidi viene effettuata tramite una particolare classe di gas reticolari che evolvono secondo le regole degli automi cellulari.

     

The differential geometry of bending

Summary The deformation associated with uniform bending has been treated using the techniques of differential geometry. The Burgers circuit as well as various related tensor quantities such as torsion and dislocation density have all been determinated with respect to these various states of deformation.

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Sommario La deformazione associata con la flessione uniforme viene trattata usando le tecniche della geometria differenziale. Il circuito di Burgers e altre quantità tensoriali e la densità di dislocazione, vengono determinate nei vari stati di deformazione.

     

MHD boundary layer equations for power-law fluids with variable electric conductivity

The boundary layer in a power-law fluid flowing in the presence of a transverse variable magnetic field is investigated. Assuming the electric conductivity of the fluid is dependent on its velocity, Meksyn's method is used to get an analytical solution for the velocity field and the coefficient of friction. The effect of the magnetic field is then discussed.

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Sommario Lo scopo di questo lavoro è di studiare lo strato limite laminare con relazione costitutiva a legge di potenza bidimensionale di un fluido non-newttoniano incompressibile elettroconduttore che scorre lungo una parete piana in presenza di un campo magnetico trasversale e di una pressione esterna. La conducibilità elettrica del fluido viene assunta come funzione della velocità nella forma =₀ u, dove ₀ è costante eu è la velocità del flusso parallela alla parete. L'equazione base è stata risolta applicando il metodo di Meksyn per ottenere una soluzione analitica per la velocità ed il coefficiente di attrito. Viene inoltre discusso l'effetto del campo magnetico e la variazione della conducibilità elettrica.