对两角和差的余弦公式教学的一点改进

现行高中《代数》课本(甲种本)第一册第三章一开始就通过作辅助角-β,构造出两个全等的三角形ΔOP_1P_1与ΔOP_2P_4,然后利用等式|P_1P_3|=|P_2P_4(如图1),首先证明了两角和的余弦公式 cos(α β)=cosαcosβ-sinaαsianβ.(C_ )其次,用-β代替β,导出了两角差的余弦公式 cos(α-β)=cosαcosβ sinaαsinaβ (C_-)     

两角和差余弦公式的探究性教学

新课标教材中普遍运用向量的数量积来推导两角差的余弦公式,使公式的推导过程显得逻辑严谨,简洁明了,也为用向量工具解决三角函数问题提供了一个典型范例.但教学中我们发现,虽然此前学生已经掌握了平面向量的知识,但很少有人能自然地想到用向量数量积来证明公式.课堂中学生常常是被老师(教材)牵着鼻子走,处于一种被动接受的学习状态.新课程倡导学生要积极主动地学习,鼓励学生参与.在两角和差余弦公式推导的教学中,能否通过合理的教学设计,让学生主动地发现公式的证明方法,成为学习的主人呢?下面谈谈笔者的一些不成熟的想法,供大家参考.     

指向核心素养的两角差的余弦公式教学再设计北大核心

“两角差的余弦公式”(简称差余公式)是经典内容,涉及的数学知识广泛,包含了丰富的数学思想与方法.本课的教学对学生获得“四基”、提升“四能”、培养数学思维和发展数学学科核心素养都很有作用.本文在分析这一内容教学现状的基础上,以发展学生数学学科核心素养为指向,给出笔者的教学设计,敬请同行批评指正.     

基于CPFS结构理论的“两角差的余弦公式”教学设计

CPFS结构是由概念域、概念系、命题域、命题系四个单元组成的复合结构,是数学学习心理特有的认知结构.构建良好的CPFS结构,有助于学生整合数学知识,形成完善的数学知识结构.本文中基于CPFS结构理论对“两角差的余弦公式”进行了教学设计,可以帮助学生形成良好的三角函数命题域与命题系.     

精心预设，动态生成——以“有理数乘方”的概念教学为例

新课标背景下的数学教学是师生双边互动、教学相长的过程,课堂是从精心预设到动态生成的过程.文章以“有理数乘方”的概念教学为例,通过三个教学片段的剖析来谈谈一线数学教师该如何做好课堂预设,让课堂在动态发展中促进学生思维、知识与能力智慧的生成.     

精心预设 关注生成——谈一堂数学好课的建构

在新课改的影响下,新课程已由单一维度的“知识与技能”向多维度发展.教学中逐渐打破了“以师为主”的教学模式,更加注重学生主体作用的发挥和长远发展.为了上好课,教师要从学生出发,精心筹备课前预案,以便教学时可以找到合适的切入点,进而激发学生学习兴趣.当然,教师也要根据课上活动及时调整教学预案,使教学活动更加适合学生发展,更能凸显学生主体地位,进而促进“教”与“学”协调发展,促进学生综合学习能力全面提升.     

关注单元整体联系 厘清教学前后逻辑——以“两角差的余弦公式”为例

对比人教A版新旧教材“两角差的余弦公式”的内容变化,发现在公式的引入、推导及其应用上存在若干不同,新教材更加关注单元整体联系.在分析两版教材该内容的变化基础上,深入理解新教材的改编用意,构建“两角差的余弦公式”的教学设计,注重理清研究思路,聚焦核心素养,把握学生心理.     

注重知识产生过程 提升逻辑推理能力——由两角差的余弦公式及其应用引发的教学思考

高中数学教学要坚持从学生最近发展区出发,注重知识的发生过程,遵循学生的心理认知特点和发展规律,科学合理地设置问题(情境),启发学生思考,探寻知识的自然生成,让学生主动发现、建构知识,引导学生把握数学内容的本质,从而提升学生的推理能力,发展学生的数学核心素养.本文以两角差的余弦公式教学设计为例,通过立足思维起点、探寻问题支点、提升能力重点,设计有效问题,引发学生积极思考、自主探究,让原本复杂的公式发现与证明过程变得顺理成章,水到渠成.     

核心素养导向下的问题驱动式教学——以“两角差的余弦公式”为例

<正>《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出高中数学的课程目标之一就是发展学生的核心素养,学者章建跃也提出“教好数学就是落实核心素养”.那么,六大核心素养怎样才能落地生根?什么样态的知识教学有利于学科核心素养的发展?学者李松林认为问题驱动的整合式教学有利于学生核心素养的发展,并提出学习即持续的自主建构,学生的学习及核心素养的发展最终依靠的都是学生本身的内源性学习力.     

清晰的思维是课堂教学的主线——以两角差的余弦公式的课堂教学为例

使用教材：人民教育出版社课程教材研究所普通高中课程标准实验教科书A版数学必修4（2007年2月第2版,2012年6月浙江第13次印刷）. 写作背景：衢州市高中数学特级教师师徒结对教研活动,两个徒弟教学同一内容——两角差的余弦公式.结合上课教师的备课思考、教学反思、特级教师和听课专家的分析点评,联系自己的教育教学实践经验,为两角差的余弦公式的教学提供清晰的思维.     

关于《两角和与差的余弦》的说课

1　教材结构与内容简析这节课的主要内容是两角和的余弦公式的推导 .学生在前面已掌握了任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的八个基本关系式、诱导公式 ,以及两点间的距离公式 ,这些是学习本节内容的知识基础 .本节课教材是三角函数这一内容中最重要的部分之一 .它是和、差、倍、半公式以及和差化积、积化和差公式、万能公式的推导基础 ,其地位十分重要 .这个公式的推导蕴含着比较丰富的数学思想方法和十分出色的解题技巧 .因此若能精心设计本课 ,则能使它成为发展学生以创新为核心的能力及培养学生良好个性心理品质的典型载体 .2　教…     

精心预设,适当留白,动态生成——以“反比例函数”第1课时的教学为例

"动态生成"是新课程改革的产物,更是教学理念中的核心,越来越多的数学教师在这一理念的指导下,不断追求教学的精彩生成.数学生成性教学是一个动态的过程,需要内因和外因的共同参与,既离不开具体学情的影响,也需要教师有机整合教材理念,最为重要的是教师的精心预设和课堂教学中的适时留白.     

学思课堂 精心预设 指向生成 绽放精彩——以“分式”教学为例

“动态生成”是新课程改革的理念之一,数学的学习主要在于课堂教学,而数学课堂教学是一个动态生成过程.如何在数学课堂教学中促进有效生成,需要教师在课前进行精心预设.精心预设要求教师钻研教材,研究学情,基于知识的内在联系和学生的已有认知进行预设,从而形成线条清晰的学习思维轮廓.学生在精心预设的引导下自然生成,加深情感体验,促进深度学习,演绎学思课堂的精彩.     

关于《两角和与差的余弦》的几点思考

文[1]对《两角和与差的余弦》在教材中的地位和作用、这一节课的教学目标、重点、难点和关键作了精辟的分析,读后获益非浅.但是在教学模式和课堂设计方面,笔者觉得下列几点是可以商榷的.1　文[1]写道:“探讨三角函数问题的最常用最基础的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线.”本节课未用到三角函数线,也可在半径不为1的圆中研究.本节课用的是更一般的工具———坐标法.根据三角函数的定义,把有关角的正、余弦转化为角的终边与单位圆交点的坐标.2　文[2]写道:“关键突破性阶段ｃｏｓ(α β)=?……让学生去探索,若5分钟后学生…