多视角思考三角形面积最值问题

<正>三角形面积问题是解三角形专题中的重要题型,尤其是三角形面积最值题,极能考查学生综合解决问题的能力,备受命题者们的青睐.三角形面积最值问题一般有两种类型:一是三角形面积最值的求解、二是求使得三角形面积取最值的条件.为了更好地帮助同学们学好     

甲、乙“话”面积

<正>甲:我看到这样一道题:已知△ABC的三边长分别是5~(1/2),10~(1/2)和5,求这个三角形的面积.乙:△ABC的三边长度都知道了,要计算三角形的面积,当然需要求出一条边上的高线.我们尝试作出其中的两条高线AD和BE,如图2,你觉得计算哪一条比较方便?甲:因为BC是整数,我猜计算AD会好     

几何赛题最值探讨

<正>几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积等)的最大值或最小值;求几何最值常用的几何性质有:(1)斜边大于直角边;(2)两点之间线段最短;(3)垂线段最短;(4)三角形任两边之和大于第三边.     

例谈圆的一性质在解题中的妙用

<正>"已知三角形中的一条边和该边所对的角,求与该三角形相关的长度或者面积的最值",这种类型的题,在模拟题中屡屡出现,一般这种题常用统一"边化角"方法来处理,但是计算过程比较繁琐.本文另辟蹊径,利用初中学过的圆的性质"同弧所对的圆周角相等"来构造三角形的外接圆,使已知边为圆的一条弦,该弦所对的圆周角为已知角,这样三角形的另一个顶点就落在圆周上,这就可以利用圆的性质来解决了.并且解题过程相当简洁,下面举例     

椭圆内接n边形最大面积的探求

如何求内接于椭圆的n边形的最大面积? 这个求最大值问题中,没有对n边形的边或内角加以任何限制,因此无法确定取最大面积的 n边形的特征,解题难以入手.但我们知道,圆的内接三角形中,正三角形的面积最大.本文就以此结论为基础,光由圆引申到椭圆,再由三角形弓呻到多边形,求出答案. 1.圆内接三角形的最大面积 圆内接三角形中以正三角形的面积最大     

三角形的中位线定理的应用

<正>三角形的中位线定理是指:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.它不仅表示出中位线与第三边大小的数量关系,而且也表示出其与第三边平行的位置关系.应用该定理可解决两条线段的大小关系和平行关系问题.现举例加以说明,供参考.一、求线段的最值问题图1例1如图1,AB是     

一道最值题 三种思考法

<正>题目已知在三角形中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c;满足C=π/6,且b=4 3sinB.则三角形ABC面积的最大值为___.思考一根据已知条件,联想到正弦定理,通过恒等变换,把三角形面积表示成某个角的三角函数的形式,即转化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式,然后求最值.     

一类三角形中的最值问题

设点P(a,b)是直角角标平面内的一个定点,过点P(a,b)的直线与两个坐标轴围成一个直角三角形,如图1中的的三角形OAB.由于过点P(a,b)的直线有无穷多条,而每一条直线都与坐标轴围成一个三角形.所以,围绕这类三角形,我们可以提出一系列的最值问题.例如,这类三角形的三条边长有无最值?三角形的面积有无最值?三角形中内接矩形的面积有无最值?角形的内切圆和外接圆的面积有无最值?等等.下面我们对这些问题逐一进行探讨.为了方便,我们不妨设a＞O,b＞O,即点P(a,b)是第一象限内的点.     

二次函数图像中最值问题的突破——以一道中考模拟压轴题的演变为例

二次函数图像中竖直线段的最值问题是数学中考常涉及的内容.它与几何图形结合求几何图形的最值问题是很容易拓展的内容.然而,在2019年4月苏州一模考试中,28题压轴题第2小问求三角形面积的最值问题,班级的得分率为0.65,仍有35%的学生因为数学建模不够准确,导致得分率较低,甚至不能得分.建模是数学学习的一个重要思想,笔者将水平线段、斜线段、三角形的周长、三角形的面积以及四边形的面积的最值问题统一转化为求例题竖直线段的最值问题.     

三角形奠基法

<正>长度和角度的计算是几何中最常见的问题.而三角形中既含有长度又含有角度,因此解三角形是求得长度和角度最基本的方法.面对具体问题中复杂的几何图形,到底先从那个几何图形入手,对问题的处理影响极大.我们知道,一个三角形在满足至少有一个边的三个条     

构建方程求线段之比一例

<正>求线段比,应努力构建a/b,的方程,进而求解得到a/b的值,即几何问题代数化.可以b从以下角度构建关于a,b的方程:1.作平行线构造相似三角形,利用相似三角形对应边成比例;2.构造更多等高的三角形,利用两种不同方式表示面积比.举例如下.     

从竞赛角度解二次函数图象中三角形面积的最值问题

<正>二次函数图象中三角形面积的最值问题,是全国各地经久不衰的中考热点,也是各级各类竞赛的热门试题.从中考角度看通常有三种解法,即直接求面积法、铅锤法、平行切线法,详见樊龙老师发表于《中学生数学》2013年6月下的《二次函数图象中三角形面积的最值问题》.~([1])若从数学竞赛角度来看,还可以有另外两种解法,能使得解题过程显得直接明了.借     

利用三角形三边关系巧求最值

<正>基本事实三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.如图1所示,|a-b|≤c≤a+b,当A、B、C三点共线时,c最小值=|a-b|,c最大值=a+b.利用三角形的三边关系可以巧解几何最值问题.一、求最小值例1如图2,⊙O表示一个圆形水池,某人不慎落入水池中的P处(P与O不重合),问此人应以什么方向才能最短时间游到岸边?     

一道三角形最值题的多视角求解

<正>题目在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2b,△ABC的面积为2,则边a的最小值为___.分析1本题是一道限制条件下的三角形最值问题,主要考查余弦定理和三角形面积问题,通常情况下求解本题从正余弦定理与三角形面积公式的解题视角入手,凭借已知条件确定所求量的关系式,然后根据所学知识采取相应的解题方法求出最值即可.     

求换角度求解一道三角综合题

<正>题目在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,设S为△ABC的面积,满足S=1/23/4(a2+b2-c2),求sinA+sinB的最大值.在高三第一轮复习三角函数时,偶遇这道三角函数综合题.本题是一道以三角形为背景的三角函数最值问题,在求解过程中,必然涉及到余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识的应用.首先根据余弦定理和三角形面积公式可以得到关于角C的正切值,进而确     

利用面积证明三角形全等

<正>我们知道利用三角形的三对边、角相等可证明三角形全等.除此之外,能否把边、角相等条件的其中之一换成面积相等呢?我们一起来探讨一下.首先把三对边、角相等的条件减少为两对,分别可能是两边、两角或者一边一角.1两个三角形两边相等+面积相等如图1所示,△ABC和△DEF中,AB=DE,     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０１６两个相似的不等边三角形的各边均为整数，且其中一个三角形的最长边与另一个三角形的最短边均为１９９６，求其相似比的可能值及所有可能的相似三角形的对数．解设最长边为１９９６的三角形的最短边...     

拓展思维方向，总结解题规律——对一道三角形面积题的探究

<正>三角形面积问题中经常同时兼备三角形的“边”与“角”这两类不同的要素,而涉及三角形面积的最值或取值范围问题,又进一步融合三角形中“动点”与“静点”之间的对比与变化,构建相应的定值与最值、取值范围等变量之间的关系,构成一幅优美的图片,倍受各方关注,一直是高考数学命题的一个热点题型．     

求“悬空三角形”的面积

<正>在解代数几何综合题时,我们常常会遇到平面直角坐标系中求三角形面积的问题,还往往会与函数图像相结合.有的三角形面积比较好解决,有的三角形面积求解就比较棘手,仅靠S△=12ah是不够的.下面给同学们梳理一下:一、如果三角形恰有一边在某坐标轴上如图1,边BC落在y轴上,这种情况较简单,把落在轴上的边BC作底,点A到y轴的     

共边三角形的一个性质

两个三角形如果有一条公共边,我们就说这两个三角形是共边三角形.共边三角形有一个大家熟知的定理,简称共边定理.本文介绍共边三角形的一个性质,它将与共边定理进行一定的有益配合.