常数“e”漫谈

我们第一次认识数学常数e=2．71828…是在中学数学教科书上：“在科学技术中常常使用以无理数e=2．71828…为底的对数,以e为底的对数叫做自然对数,为了简便,N的自然对数log_eN简记为lNN”．早在17世纪,苏格兰数学家、业余天文学爱好者纳皮尔(J．Napier)在进行繁重的天文学数据计算时就发明了对数,并实现了将乘除法     

说说“均值换元”

<正>若x+y=m,则可令x=m2+t,y=m2-t,这种换元就称为"均值换元".用均值换元解决一些问题,可以简化解题步骤,降低解题难度,达到事半功倍的效果,下面略举几例,以飧读者.例1人教版《数学》七年级下95页例3解方程组3x+4y=165x-6y烅烄烆=33①②解令3x=8+t,4y=8-t,则5x=40+5t3,6y=24-3t2,     

代换法的几种策略

在初中数学竞赛中 ,经常用代换法来解答一些问题 .然而 ,运用此法需要注意一些策略 ,才能得心应手 .本文举例介绍如下 ,供读者学习参考 .策略之一　以常数代换代数式在解一些附有一定条件的求代数式值的问题时 ,用常数代换代数式 ,不但使计算简化 ,计算量减少 ,而且可以收到很好的效果 .例 1　若 3ｘ3-ｘ =1,则 9ｘ4 + 12ｘ3-3ｘ2-7ｘ + 2 0 0 1的值等于 (　　 ) .(Ａ) 1999(Ｂ) 2 0 0 1(Ｃ) 2 0 0 3 (Ｄ) 2 0 0 5(2 0 0 1年全国初中数学联赛武汉选拔赛 )解　由题设 ,得 3ｘ3-ｘ -1=0 ,用“0”代换“3ｘ3-ｘ -1” ,则原式 =9ｘ4 -3ｘ2 -3ｘ …     

一数学证明题引出的思考

<正>求证:C1n/1-C2n/2+C3n/3+…+(-1)n-1Cnn/n=1+1/2+1/3+…+1/n(n∈N*).这是文[1]中给出的一道数学题,此文中指出本题"入手一做感觉棘手,很繁杂,与同组老师研讨时,一致认为要用数学归纳法证明",后给出了具体的证明过程,几乎用到了组合数性质的所有常用公式,可以说是一道高三复习组合数性质和数学归纳法的好题.笔者读完此文后,对"一致认为要用数学归纳法证明"有些疑问,难道此题不用数学归纳法就很难证明吗?于是,对此题的非数学归纳法证明作了思考.     

数形结合在解决参数范围问题中的应用

<正>数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形",即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的,参数范围问题是数学中的重点题型之一,恰当的用好数形结合法可以收到事半功倍的     

无理数e的故事

<正>在讲到对数函数的时候,人教版必修一有这样一句话:"另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把logeN记为lnN."很多心细的同学对这句话充满了好奇.对于无理数π,同学们已经非常的熟悉,它的历史可以追溯到古代,而无理数e的历史不过400年左右.数字π起源于一个几何     

对黄金三角形教学潜能的挖掘——一堂数学思维活动课教学实录

顶角为 3 6°的等腰三角形称黄金三角形 ,它以其优美的图形和奇特的性质出现于初中几何教材 :黄金三角形的底与腰之比等于黄金数ω(ω=5 -12 ) .以黄金三角形的底为腰所作的黄金三角形与原三形的相似比等于ω;以黄金三角形的腰为底所作的黄金三角形与原三角形的相似比等于 1ω( 1ω=5 12 ) .笔者在数列、数学归纳法单元教学中 ,借助于黄金三角形的上述性质 ,引导学生运用观察、归纳、猜想、论证的思维操作方法 ,构建两个著名数列—— Fibonacci数列和 Lucas数列 ,完成了一次对数学知识的探索、发现过程 .设黄金三角形 ABC的腰 AB=1,则底…     

巧用替换法妙求结果均为2017的趣题

<正>一年一度的佳节——2017新年元旦就要到来了,为了欢度节日,特为数学爱好者,提供几道数学趣题以资助乐,并且欣赏替换法的魅力.替换法一巧用"0"替换代数式例1设m²+m+1949=0,则m2+m+1949=0,则m³+1948m+68=______.分析根据条件,若想巧用"0"替换代数式m3+1948m+68=______.分析根据条件,若想巧用"0"替换代数式m²+m+1949,必须将m2+m+1949,必须将m³+1948m+68转换为含m3+1948m+68转换为含m²+m+1949的代数式,再用"0"来替换它,则易得结果.     

对数换底公式的性质及应用

读了本刊1957年第3期“恒等式N=a~(loga~N)及其应用”一文,使我想起对数的换底公式.上文虽也提到换底公式,并在个别地方应用了它,但还觉不全面.因此,特草写此文,以供同志们参考. 1.对数换底公式.m以a为底的对数等于m和a以另一数b为底的对数之商:     

推陈“式”新 蓄意“图”谋——浅析新定义试题的分析与解答策略

数学离不开“式”和“图”.把具备相同特征的“式”和“图”,经过转变、提炼会产生不同情境、不同要求下的考查试题.当我们再把这些“式”和“图”的特征归纳清楚,并赋予一个新的名称时,便可产生新定义试题.本文主要从以下视角来分析这类试题的形式及其解法.1定义新运算定义新运算,是指依据实数的基本运算原理定义新运算符号,实现考查知识与能力的数学试题.这类试题既有约定新符号的,也有借助后继学习知识组织试题的,还有用数学史上的某些特定材料的.例1用“☆”定义新运算:对于任意实数a、b,都有a☆b=b2+1.例如7☆4=42+1=17,那么5☆3=;当m为实数时,m☆(m☆2)=.此问题,给相应的新符号以特定的内涵,并重新约定新运算,且所有新运算都必须与约定的运算相吻合,且遵循基本算理.因此,5☆3=32+1=10,m☆(m☆2)=m☆(22+1)=(22+1)2+1=26.例2阅读下列材料,并解决后面的问题.材料:一般地,n个相同的因数a相乘:a.a…a记为an.如23=8,此时,3叫做以2为底8的对数,记为log28(即log28=3).一般地,若an=b(a>0且a≠1,b>0),则n叫做以a为底b的对数,记为logab...     

同高三角形面积之比

<正>性质等高不等底的三角形面积之比等于底边之比.性质应用举例:例1如图1,在平行四边形ABCD中,M是BC边上一点,AM与对角线BD交于点N,若S△ABN=3,S△BMN=2,则S△DMN=,S△AND=.分析由S△ABN=3,S△BMN=2,利用等高不等底的三角形面积之比等于底边之比,可求出AN:MN的值,根据△AND∽△MNB,继     

_n型仿射Weyl群α值5的A_2×A_(12)~2型左胞腔

描述了_n型仿射Weyl群a值为5的A_2×A_(12)²型左胞腔的个数.并计算出当n=8时,这样的左胞腔个数为8个;当n=9时,这样的左胞腔个数为35个;当n≥10时,左胞腔个数为1/(30)(n2型左胞腔的个数.并计算出当n=8时,这样的左胞腔个数为8个;当n=9时,这样的左胞腔个数为35个;当n≥10时,左胞腔个数为1/(30)(n⁵-20n5-20n⁴-155n4-155n³+7520n3+7520n²-7254n+220240)个.     

数形结合思想在解题中的应用

数和形是研究数学的两个侧面,利用数形结合常常可以使研究的问题化难为易,正如华罗庚教授所说的那样"数无形,少有观,形无数,难入微",而函数则是体现数形结合思想的最突出代表,在数学中应加强数形结合的渗透.一、概念数学中,以形示数,渗透数形结合思想数学中的概念往往反映一定的数量关系,这种数量关系常用文字、符号表示,而图形也是一种语言,而且是更简便、更直观的图像语言,运用"图像语言"对"文字语言"加以解释,一方面渗透数形结合的思想,另一方面又能帮助学生更好的理解概念,例如:二次函数的顶点和最值是两个密切联系的概念,在教学二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质时,利用图像作如下描述:     

重视“0”的作用

<正>在数学中,"0"不仅表示没有,而且有着丰富的内涵,七年级许多题型中,"0"就初露锋芒,重视了它,不仅能使问题迎刃而解,还可帮助理解相关的数学概念.一、帮助理解非负数例已知|x+2|+(y-3)2=0,求xy的值.分析大于或等于零的数称为非负数.某数的绝对值、平方均为非负数.若几个非负数的和为零,则每一项皆为零.故本题每一项等于0即可求出x、y的值.     

独立同分布随机变量加权和的概率估计

设{ξ_i}_i=1ⁿ为独立同分布的随机变量,且P(ξ_i=1)=P(ξ_i=-1)=1/2.设a=(a₁,…,a_n)为与{ξⁱ}_i=1ⁿ独立的服从超球面S^n-1={(a₁,…,a_n)∈Rⁿ|∑_i-1ⁿ a_i²=1}上均匀分布的随机变量,该文用极坐标变换得到了P(|∑_i=1ⁿ a_iξ_i|≤1)的表达式.当n<7时,该文通过直接计算得到此概率值大于等于1/2;当n≥8时,该文通过R软件也得到了此概率值大于等于1/2.特别地,n=3,4时,借助于贝塔函数,该文直接证明了该概率值大于等于1/2.     

命题:“若{x≥a,x≤a则x=a”的应用

<正>命题:"若x≥a x≤a,则x=a",体现了"相等"与"不等"的对立统一及其相互转化的关系.命题虽然十分简单,却在解答数学竞赛试题中发挥重要作用.本文举例介绍其应用.一、在求值中的应用例1(2013年全国初中数学联赛)已知实数a,b,c,d,满足:2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.分析与解答一方面,根据菲波那契恒等式和实数的平方是非负数可以得如下不等式:     

从特殊入手 寻解题途径

<正>当我们面对的数学问题比较复杂而无从着手时,从特殊数入手往往是克服困难解决问题的好办法.本文关注"特殊数",请"特殊数"来帮忙,从而使难题获得巧解,现举例说明.例1设a-b=2+3^(1/2),b-c=-3(1/2),b-c=-3⁽³⁾+2,则a(3)+2,则a²+b2+b²+c2+c²-ab-bc-ca的值为__.分析根据一般情况下成立的式子,在特殊情况也必然成立的辩证观点,对某些问题可在已知条件中赋予特殊常数,寻找解题途径.     

两例对数即时定义赏析

<正>一、基于对数性质的新定义运算【例1】已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）,观察下列运算a₁×a₂=log₂ 3×log₃4=lg3/lg2×lg4/lg3=2,a₁·a₂·a₃·a₄·a₅·a₆=log₂3·log₃4……log₆7·log₇8=lg3/lg2·lg4/lg3……lg7/lg6·lg8/lg7=3,……     

构造一元二次方程解一类赛题

<正>有些数学问题表面上与一元二次方程无关,但通过构造一元二次方程,就可以利用一元二次方程中丰富的知识与方法来求解.一、利用根的定义构造一元二次方程例1设a²+1=3a,b2+1=3a,b²+1=3b,且a≠b,则代数式1/a2+1=3b,且a≠b,则代数式1/a²+1/b2+1/b²的值为().     

对数运算法则的课堂设计

对数这一章,其重点与难点在“对数的运算法则”,若按教材的安排进行讲授.常常存在思路单一,运算公式容易混淆的现象。笔者采用了“以旧带新,以点带面.启迪思维.效果回收”的程序进行讲授.效果良好,既传授了知识、又培养了能力。一、以旧带新,导入新课 1.复习旧课 (1)什么叫对数?对数式log_(?)V各字母的取值范围是什么? (2)同底数暴的运算法则 a~p·a~q=a~(p q) (1) (3)指数式与对数式互换 a~p=M(?)log_aM=p (2) a~(p q)=c(?)log_ac=p q (3 2.导入新课由(1)(2)(3)即得log_aMN=log_aM log_aN.即两个正数积的对数等于这两个正数对数的和。