一道不等式证明题的多种解法

<正>一、问题求证:若实数a,b,c满足ax+x,则有(f(b)-f(a))/(b-a)<(f(c)-f(b))/(c-b).二、问题求解思路1利用中间量过渡证明不等式.方法1要证(f(b)-f(a))/(b-a)<(f(c)-f(b))/(c-b),只需证(f(b)-f(a))/(b-a)b+1<(f(c)-f(b))/(c-b).思路:根据f(x)=eb+1<(f(c)-f(b))/(c-b).思路:根据f(x)=e^x+x的图像特征(如     

一道函数题引发的思考

<正>我们学过基本不等式后老师出的一道函数题引发了我的思考,下面是我对这道题的一点感悟.题已知:f(x)=ax²+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x2+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x²+1/2对一切实数x都成立.一般解法假设存在实数a、b、c满足题意.∵f(x)的图像过(-1,0)对一切实数x都成立,     

幂函数不等式的错解剖析

<正>例若(a+1)^(-(1/3))<(3-2a)(-(1/3))<(3-2a)^(-(1/3)),则实数a的取值范围是_____.错解1因为函数y=x(-(1/3)),则实数a的取值范围是_____.错解1因为函数y=x^(-(1/3))为减函数,故不等式可化为a+1>3-2a.解得a>2/3.错因剖析忽略了函数y=x(-(1/3))为减函数,故不等式可化为a+1>3-2a.解得a>2/3.错因剖析忽略了函数y=x^(-(1/3))的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),以及函数的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).错解2因为函数y=x(-(1/3))的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),以及函数的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).错解2因为函数y=x^(-(1/3))的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).故不等式可化为     

三次与四次函数图像对称性探索

<正>二次函数是初中数学教学的一个重难点,我们先来回顾一下.对于二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x2+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x²+b/ax+c/a).根据公式(x+m)2+b/ax+c/a).根据公式(x+m)²=x2=x²+2mx+m2+2mx+m²,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)2,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)²+n(其中m、n是与x无关的常数).从上式中得到f(x)的对称轴方程为x=m(m=-b/2a),这也可以表达为:对于任意的x总有f(m     

三次函数图像对称性的证明

<正>我们已经知道二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax2+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d     

两道初中数学竞赛最值问题的另解

<正>问题1(2014年全国初中数学联赛第10题)已知a、b为正整数,且b-a=2013,若关于x的方程x²-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x2-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x²-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x2-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x²+2013.因为x=1不是方程(*)的根,所以x-1≠0.从而     

综合题新编选登

题158已知函数f(x)的导数f′(x)满足0α时,总有f(x)α,在α与β之间存在一点c,αα,所以f′(c)=1,与已知0相似文献   

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

反客为主

2007年北京市海淀区高三第二学期期中练习第8题是:已知函数f(x)=x~2 ax 1/x~2 a/x b(x∈R,且x≠0).若实数a、b使得f(x)=0有实根,则a~2 b~2的最小值为( ).     

函数的周期性与图像对称性的相互关系

全文约定:函数y=f(x)的定义域为R．结论1 若函数y=f(x)的图像关于x=a 和x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)为周期函数．证明∵函数y=f(x)的图像关于x= a和x=b对称, ∴ f(-x)-f(x 2a), 且 f(-x)-f(x 2b)．∴ f(x 2a)=f(x 2b)．∴ f(x)=f[x (2a-2b)]．∴函数y=f(x)是周期函数,2a-2b是     

例谈一个结论的应用

<正>结论若a、b为实数,a²+b2+b²=0,则a=0且b=0.在解题中若能充分利用这一结论,将会使一些看似无从下手的问题迎刃而解,现举几例.例1已知实数x、y满足x2=0,则a=0且b=0.在解题中若能充分利用这一结论,将会使一些看似无从下手的问题迎刃而解,现举几例.例1已知实数x、y满足x²+y2+y²-zx+4y+5=0求x、y的值.分析此题为一个方程两个未知数,似乎     

伸缩变换在解析几何中的应用

<正>我们知道圆与椭圆经过伸缩变换可以互相转化,把椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0),横坐标缩短为原来的a(a>1)倍(或伸长为原来的a(a<1)倍),再把纵坐标缩短为原来的b(b>1)倍(或伸长为原来的b(b<1)倍,就可以得到圆x2=1(a>b>0),横坐标缩短为原来的a(a>1)倍(或伸长为原来的a(a<1)倍),再把纵坐标缩短为原来的b(b>1)倍(或伸长为原来的b(b<1)倍,就可以得到圆x²+y2+y²=1的图像.又由于圆的对称性使得圆中直线与圆的位置关系比较容易解决,而且在     

数学解题应遵循“多想少算”原则

1问题的提出在辅导一名高三学生时,遇到了这样一个数学问题:函数f(x)=1+3x²/|x|√1+x²(x≠0)的最小值为__.     

2015年新课标(Ⅰ)卷数学(理)第12题解法的探究

<正>一、试题呈现题目(2015年新课标(Ⅰ)理12)设函数f(x)=e~x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x_0,使得f(x_0)<0,则实数a的取值范围是().(A)[-3/2e,1)(B)[-3/2e,3/4)(C)[3/2e,3/4)(D)[3/2e,1)二、思路分析本题是有关不等式的存在性恒成立问题,难点是不等式的解是整数,但处理的方法与一般性的恒成立问题并无本质区别,解决这类问题通常有三种思路:     

在分析中发现,在反思中探究——对一个问题的探索历程

问题：已知f（x）=ax~2＋bx＋c（a≠0）,且方程f（x）=x无实数解,下列命题：①方程f[f（x）]=x也一定没有实数解;②若a〉0,则不等式f[f（x）]〉x对一切实数x都成立;③若a〈0,则必存在实数x_0,使f[f（x_0）]④若a＋b＋c=0,     

借助中间桥梁巧化问题

<正>1.问题提出(2011年高考湖南文第8题)已知函数f(x)=e^x-1,g(x)=-xx-1,g(x)=-x²+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-22+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2)](B)(2-2(1/2)](B)(2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2))(C)[1,3](D)(1,3)2.问题解读本题属于"方程问题",而且是"超越方程",难以直接入手!一般地,解决"超越方程"往往利用转化与化归的思想,把问题转化为y=f(x)与y=g(x)的交点问题.在同一坐标系中,画出y=f     

三次函数零点个数问题的分类讨论标准

<正>形如f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)的函数称为三次函数.高中阶段需掌握三次函数性质如下:性质1 f(x)恒过定点(0,d).性质2若a>0,当x→+∞时,f(x)=+∞;当x→-∞时,f(x)=-∞.若a<0,当x→+∞时,f(x)=-∞;当x→-∞时,f(x)=+∞.说明:性质1虽然显而易见,却往往是学生画图时经常忽略的前提条件.性质2则是三次函数的无穷大性质,要求图像始终穿过x轴     

从一个无理不等式的多种巧证谈起

数学报刊上介绍“一题多解”的文章不乏其例。本文涉及的一个无理不等式的几种巧证,没有沿袭有理化法证明无理不等式的固有模式(包括三角变换法化去根号的方法),旨在从开发发散性思维的角度,注重说明广泛而合理的联想对于拓宽解题思路、寻求最佳途径所起的作用。例已知f(x)=(1 x~2)~(1/2),a、b为相异实数,试证 |f(a)-f(b)|<|a-b|。证法1 欲证|f(a)-f(b)|<|a-b|,只须证|(f(a)-f(b))/(a-b)|<1。坐标平面上点A(a,f(a))与点B(b,f(b))决定的直线的斜率k_(AB)正是(f(a)-f(b))/(a-b),这样,原命题等价于证明|k_(AB)|<1,即是证明直线AB的倾斜角α小于45°或者大于135°。注意到f(x)=(1 x~2)~(1/2)的图象是双曲线y~2-x~2=1的上支,其渐近线     

利用导数求参变量范围题的错题分析

<正>题目设函数f（x）=-a（x²+1）^1/2+x+ a,x∈（0,1）a∈R⁺.若f（x）在（0,1）上是增函数,求a的取值范围.错解f′（x）=（-ax）/（x²+1）^1/2+1,∵f（x）在（0,1）上是增函数,∴在x∈（0,1）上有f′（x）>0,     

函数f(x)=(cx+d)/(ax+b)的性质与应用

<正>函数是高中数学的核心内容,是高考考查的重中之重.我们仅学习了:一次函数y=kx+b、反比例函数y=k/x(k≠0)、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)、指数函数y=a2+bx+c(a≠0)、指数函数y=a^x(a>0,a≠1)、对数函数y=log_ax(a>0,a≠1)、正弦曲线y=sinx、余弦曲线y=cosx、正切曲线y=tanx等基本类型的初等函数.事实上,我们碰