三角形的广义内接正方形

如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的三边上 ,称正方形是该三角形的内接正方形 .根据“抽屉原则”,内接正方形的四个顶点必有两个在三角形的同一边上 ,此时 ,称正方形是该三角形的该边上的内接正方形[1] .笔者对文 [1 ]作了研究 ,并给出定义 :如果一个正方形的两个顶点在三角形的同一边所在直线上 (顶点可能在延长线上 ) ,其余两个顶点分别在另两条边上 ,称正方形是该三角形的 (该边上的 )广义内接正方形 .容易看到 :任何三角形的每边上都有广义内接正方形 ;如果正方形的顶点都不在边的延长线上 ,此时 ,广义内接正方形就是内接正方形 …     

移动魔方

准备材料 正方形折纸、彩笔、尺子、铅笔. 第一步 拿出正方形折纸,用尺子将其均匀地分成25个正方形格子,并用铅笔画线标记. 第二步 将正方形折纸沿横线向下折叠4次后展开. 从左往右数,第一排第二个小正方形沿对角线向右下方对折后展开;第三个小正方形沿对角线分别向左下方和右下方各对折1次并展开;第五个小正方形沿对角线向右下...     

加法原理与乘法原理的应用举例

加法原理与乘法原理是解决中学排列、组合问题的关键的两个原理。一般举例甚浅,给人形成一种可有可无的印象,看不到方法的强有力性,作为教科书的补充,今举二例: 例1、在n×n个小方格上,求由若干个小方格刚好拼成正方形的个数。解;设一个小方格的边长为1,完成拼成正方形这件事,有n类办法: 拼成边长为1的正方形,有n~2个; 拼成边长为2的正方形,有(n-1)~2个; 拼成边长为3的正方形,有(n-2)~2个; ……拼成边长为(n-1)的正方形,有2~2个; 拼成边长为n的正方形,有1~2个; 故依加法原理知,刚好能够拼成的正方形共有     

三角形的内接正方形

如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的三边上 ,称该正方形是该三角形的内接正方形 .根据“抽屉原理”,内接正方形的四个顶点中必有两个在三角形的同一边上 ,此时 ,称正方形为三角形的该边上的内接正方形 .文 [1]从一个实际情景出发 ,提出了 :如何作一个三角形的内接正方形 ?在对直角三角形和锐角三角形给出具体的作法后 ,文 [1]进一步提出了三个问题 .(1)同一直角 (锐角 )三角形 ,有几种内接正方形 ?哪一个的面积最大 ?(2 )如何折出钝角三角形的面积最大的正方形 ?(3)如何由一个三角形纸片折出面积最大的正方形 ?本文先给出一个作一个…     

一道课本题的变式探究

题目(人教版·数学·八年级下册,第116页,实验与探究1)如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,两个正方形的边长相等,那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的14,想一想为什么?     

由一道中考模拟题引起的思考

背景在直线l上摆放着三个正方形.(1)如图1,已知水平放置的两个正方形的边长依次是a,b.斜着放置的正方形的面积S=____,两个直角三角形的面积和为____;(均用a,b表示)(2)如图2,小正方形的面积S1=1,斜着放置的正方形的面积S=4,求图中两个钝角三角形的面积m1和m2,并给出图中四个三角形的面积关系;     

正方形正方体被分割的块数

问题1过正方形相邻两边的n等分点，分别引各边的平行线，求这些直线（连同正方形的四边）所构成的正方形的个数．下面用递推法给出问题I的一种求法．如图1所示，设所构成的正方形有an个．则an由两部分构成（1）组成的正方形仅由正方形A。T'1CL'1内部的直线（及各边）所构成的正方形的个数（不含阴影区域的所有正方形）；（2）组成的正方形除（1）以外的所有正方形的个数（含阴影区域的所有正方形）．对于（1），由于正方形A。T'1CL'1的各边被这些直线进行了（n-1）等分的划分，所以可以构成an-1个正方形．对于（2），先考察含有矩形ABT…     

也谈“趣分正方形”

<正>贵刊在2015年3月下的智慧窗,刊登了王秉春老师的文章"趣分正方形":如图1,是一个8×8的正方形,请你从该图中去掉一个小正方形,将剩下的63个小正方形分成21个1×3的长方形.文中虽只有一个答案,但非常精彩,并很有启发.现进一步地探讨:在图1的64个小正方形中去掉了怎样的一个小正方形才符合题意,总共有几种去法?试一一列举.并阐明理由.为此,借贵刊一角,介绍出来,与     

剪出来的精彩

近几年考试中,开放性、探索性试题可谓大放异彩.而其中和剪纸有关的操作型规律探索试题,更以其丰富的知识性和趣味性,绽放出夺目的光彩.本文撷取其中的三例进行解析,望能对同学们的学习有所帮助.例1如图1,将一张正方形纸片剪成四个小正方形,得到4个小正方形,称为第一次操作;然后,将其中的一个正方形再剪成四个小正     

由"想一想"而想到的

《几何》第二册第157页,"想一想": 如图1,正方形 ABCD的对角线相交 于点O,点O是正方 形A'B'C'D'的一个顶 点.如果两个正方形 的边长相等,那么正 方形A'B'C'D'绕点O 无论怎样转动,两个 正方形重叠部分的面 积,总等于一个正方形面积的1/4,想一想:这     

画九分之二的正方形

<正>图中大正方形由九个小方格组成,现要取一个面积为大正方形的九分之二,使取出的正方形中和剩下的部分都有2016字样,该如何取?     

由围棋盘所想到的……

亲爱的同学们,你们当中的许多人一定喜欢下围棋．围棋盘是18×18的正方形网格,你想过它上边有多少个正方形吗? 设小正方形的边长为1．     

勾股定理一种证法及其在教学中的价值

勾股定理一种证法及其在教学中的价值哈家定（山东省济宁教育学院２７２１３７）我们知道，勾股定理的直观意义是：直角三角形中分别以直角边为一边的两个正方形面积合在一起恰好填满以斜边为一边的正方形．其直观性在于“填满”．但由于两个正方形难以合成一个正方形，因...     

正方形有关类推操作问题

<正>正方形有关的类推操作问题在近年来中考中屡见不鲜.这种问题以某一个图形为背景,按相同的操作方式分别进行正方形的构造或放置,要求我们解答所得到的第n个正方形有关量的值问题.解答时,要注意先依次计算前几个正方形对应量的值,再仔细观察、比较,将隐含在其中的规律找出来.现举例介绍如下:     

一道模拟题的本质探究与结论推广

考题 若正方形的四个顶点均在函数y=-4x3+3x的图像上,则这样的正方形共有_____个. 一、问题本质探究与求解 本题为江苏省淮阴中学月考理科数学模拟14题,为了探究本质并推广到一般,不妨研究其一般形式. 探究1 若正方形的四个顶点均在函数f(x)=mx3+nx(m≠0)的图像上,则这样的正方形共有几个,此时系数m,n需满足什么条件. 由f(x)=mx3+nx得f(-x)=m(-x)3+n(-x)=-(mx3+nx)=-f(x),所以f(x)=mx3+nx是奇函数,关于原点成中心对称,而正方形也是中心对称图形,从而正方形的中心在原点.     

正方形中的一个规律

在正方形中,存在许多规律,我们遇到这样的题目时,要多思考,挖掘本质特点,才能有利于掌握知识.图1已知:图1,两个全等的正方形ABCD、FEGO,且O为正方形ABCD的中心,正方形的边分别交于M、N两点;可得性质S四MBNO=14S正ABCD.     

一个游戏引出的问题

1 有趣的游戏 有这样一个简单而有趣的游戏,用火柴棒构造小正方形,两个小正方形可以共用一根火柴棒,假定手中有一定数量(比如20根)的火柴棒,如何构造出尽量多的由小正方形组合而成的图形呢?     

正方体及其展开图

我们知道 ,正方体共有六个面、十二条棱、八个顶点 .我们可以沿着其中若干条棱将正方体剪开后展开成平面 ,成为六个不同位置的正方形 ,它们中每一个正方形至少与另一个正方形有一条公共边 (不允许只有一个公共顶点的情形出现 ) ;反过来说 ,展开图上六个边与边相连的相同小正方形 ,我们也可以沿着其中若干条边折叠 ,使其成为正方体如图 ( 1 ) .在正方体中上与下 ,左与右 ,前与后都是相对的面 ,上与左 ,右与后等是相邻的面 .( 1 )我们首先研究平面上六个不同位置的正方形何时才能折叠成正方体 .通过观察图 ( 1 ) ,显然的事实是 :1 排在同一条…     

一个几何猜想的导数证明

1问题的提出《数学通报》2005年第5期载文《扇形内的内接正方形》.文章在介绍了扇形的内接正方形的几何作法,并讨论得到“中心角为锐角的扇形有且仅有三个内接正方形”的结论之后,进一步研究,提出如下猜想:在半径一定,中心角为锐角的扇形中剪出一块面积尽量大的正方形,则该正方     

剪剪又拼拼,多方成一方

<正>正方形纸片,同学们都非常熟悉,它不仅能折成小船或盒子,而且可以剪拼成许多有趣、奇妙的图案.古今中外,不计其数的数学家和数学爱好者都被它的对称和美所折服,从而称赞它、歌颂它、研究它.确实,正方形蕴藏着很多的奥秘,以至于人类经过数千年探索,仍然不断有新的美妙发现.今天,我们来进行正方形纸片的一个好玩的游戏:通过剪剪拼拼,将多个正方形刚好组合成一个大正方形而无