牛顿定理的两种新证法

<正>牛顿定理[1]圆外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形的对角线的交点重合.此定理是说,若凸四边形ABDF外切于圆,AB,BD,DF,FA边上的切点分别为P、Q、R、S.则四条直线AD、BF、PR、QS交于形内一点.文献[1]给出了8种证法.经笔者探究,给出如下两种新的证法,供鉴析.     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

婆氏定理与四边形的九点圆

印度数学家婆罗摩及多(Brahmegpta,598 年～660年)发现了下面的著名定理[1]: 婆氏定理　设圆内接四边形ABCD的对角 线互相垂直相交于E,则过点E平分一边BC的 直线必垂直于对边AD.反之,过点E垂直于一 边AD的直线必平分对边BC. 本文将对角线互相垂直的圆内接四边形简 称为“婆氏四边形”. 下面的著名定理提出了四边形的九点圆概 念[2]: 库得奇———大上定理　以圆内接四边形任 意三个顶点作三角形,则这四个三角形的九点 圆心共圆. 上述定理中的四个圆心所在的圆被称为四 边形的九点圆.它的半径等于四边形外接圆半 径的一…     

巴普定理的推广及其它

文［１］介绍了巴普定理：圆内接凸四边形所在圆周上任一点到一双对边的距离之积等于该点到另一双对边的距离之积． 本文将此定理推广到圆内接凸２ｎ边形,并自然得到西姆松定理在凸ｎ边形的推广． 为了表述方便,我们不妨作如下定义： 隔边２ｎ条线段首尾相连,任取定一条线段,标号为１,将其余线段按逆时针方向依次标号为２、３、…、２ｎ,则由标号为奇数（或偶数）的线段组成的一组线段叫这２ｎ条线段的一组隔边,且标号为奇数的一组隔边与标号为偶数的另一组隔边互称互补隔边组． 定理１ 圆内接凸２ｎ边形所在圆周上任一点到一组隔边…     

配极四边形面积研究

<正>配极四边形定义四边形ABCD内接于圆,以该四边形的顶点为切点,作外接圆的四条切线,四条切线构成的封闭图形为圆外切四边形EFGH,此圆外切四边形与原内接四边形互为配极四边形.定理1内外配极四边形面积的关系式为     

四点共圆之托勒密定理

<正>说起四点共圆,想必大家一定都不陌生,它的诸多性质帮助我们解决了很多几何上的难题.今天要研究的托勒密定理,能让我们在四点共圆的基础上进一步深入学习,探索更多的规律.1定理的内容托勒密定理实际上出自伟大的古希腊数学家依巴谷之手,而托勒密只是从他的书中摘出.托勒密定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.     

抛物线的切点多边形和切线多边形重心的一个定理及应用

过抛物线上任意三点 A1 ,A2 ,A3 ,分别作切线 ,三条切线围成一个△ B1 B2 B3 叫做切线三角形 ,而△ A1 A2 A3 叫切点三角形 .同样过抛物线上任意四点 A1 ,A2 ,A3 ,A4,分别作切线 ,四条切线围成一个凸四边形叫切线四边形 ,同样 A1 A2 A3 A4叫切点四边形 .不难发现 ,过抛物线上任意五点作五条切线 ,它们相交成 10个点 ,已不能围成凸五边形 ,看来 n≥ 5时 ,切点 n边形已不再有切线 n边形了 .本文将研究切点 n( =3 ,4 )边形与此时切线 n边形的重心的性质 ,然后给出一个应用 .定理 1　如图 1,设 A1 与 A2 是抛物线 y2= 2 px上任意两点 ,…     

一道试题的探究

一、试题展示2014年泰州市高三第三次调研测试的第14题是：在△ABC中,BC=√2,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧）.当∠C变化时,线段CD长的最大值为______.二、背景探究本题的背景是托勒密定理：凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形时取得.     

一道试题的探究

<正>一、试题展示2014年泰州市高三第三次调研测试的第14题是:在△ABC中,BC=2(1/2),AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时,线段CD长的最大值为.二、背景探究本题的背景是托勒密定理:凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形时取得.     

巴斯卡（Pascal）定理和布利安香（Brianchon）定理的一个推论及其应用

在射影几何中有一对著名的定理——巴斯卡定理和布利安香定理 .综合应用这两个定理可以得到一个有益的推论 .有了它可以证明更多的中学几何命题 .推论　设一个简单四线形外切于一个非退化二次曲线 ,通过任一顶点与不相邻的边上的切点的直线和曲线相交于另一点 ,则连接此点和与该顶点不相邻的另一边上的切点的直线 (有两条 ) ,和连接该顶点的相邻两边上的切点的直线 ,以及通过该顶点的对角线四直线共点 .证明　设外切于非退化二次曲线 k的简单四线形的四边 DA、AB、BC、CD上的切点依次是 P、Q、R、S,AS与 k相交于另一点 S′(图1) .因为…     

巧用托勒密定理解代数题

托勒密定理:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积,由于这个定理所揭示的是圆内接四边形的边与对角线的特定关系,因而在证明与圆有关的线段关系的几何命题中有着独特的作用,若     

“平几”中真,“立几”中也真吗?

立体几何中,常常会遇到与平面几何中“形式”相同的命题,这些平面几何中的真命题,在立体几何中还真?下面给出一组平面几何中的无误的真命题,考虑在立体几何中,哪些真?哪些不真? 1.不相交的两条直线一定平行。 2.两条互相垂直的直线一定交于一点。 3.如果一条直线与两条互相平行的直线中的一条相交,那么必与另一条直线相交。 4.四条边都相等的四边形一定是菱形。 5.四边形的四个内角和必为360°。 6.各边都相等的四边形的两条对角线一定互相垂直。 7.平行于同一直线的两条直线一定平行。 8.垂直于同一条直线的两条直线一定平行。     

凸四边形内切圆心轨迹圆弧的探究证明与推广应用

<正>两组对边长度之和相等的凸四边形存在内切圆这个结论是熟知的.笔者研究了2022年北大强基测试中凸四边形内切圆问题,发现了凸四边形的边长与内切圆圆心轨迹的关系,并推广到一般情形;进而得到一个圆外切四边形面积的简洁公式,为2021年中国数学奥林匹克(CMO)试题中凸四边形内切圆问题提供一种证明方法.     

S_(ABCD)=(abcd-(pk-ad)~2)～(1/2)——圆外切四边形面积公式

著名的布拉麦高塔(Brahmaguta)定理已给出圆内接四边形面积公式,书中可常见,而圆外切四边形面积公式却鲜为人知.问边长为a,b,c,d的圆外切四边形的面积S是多少?答曰:S≤abcd.这是因为仅知边长为a,b,c,d的圆外切四边形,其形状无法确定(或者说它可以外切于无数个半径相异的圆),所以,其面积无法确定———有无穷多个值,其中有一个最大值为abcd.然而,边长一定的圆内接四边形却又有确定的面积值.这是因为它不仅边长一定,并且还隐含着一个制约条件:“圆内接四边形的对角和等于180°”.从而固定了四边形的形状,所以,面积唯一.同理,给边长一定的圆…     

帕斯卡定理的面积法证明及应用

<正>帕斯卡定理^([1])圆的内接六边形的三双对边如果分别相交,那么三个交点共线.这是法国数学帕斯卡16岁时发现的一个惊人的定理,发表于1639年.这条共点直线为帕斯卡线.帕斯卡定理可改写成:设六边形ABCDEF内接于圆(与顶点次序无关,即ABCDEF无需为凸六边形),直线AB与DE交于点x,直线CD与AF交于点z,直线EF与BC交于点y,则x、y、z三点共线.     

一个四边形面积定理及其应用

一个四边形面积定理及其应用刘名禄（浙江省安吉县报福中学３１３３０４）本文介绍一个四边形面积定理及其应用．１定理定理任意凸四边形的面积等于一组对边中点分别与对边两端点连线和对边组成的两个三角形的面积之和（如图１，即ＳＡＢＣＤ—Ｓ。ＡＢＦ＋Ｓ。。。。，Ｅ...     

圆内接五边形的一个性质

我们知道,圆内接四边形有一个性质即:两条对角线的乘积等于该四边形两对对边乘积的和(托勒迷定理).近日笔者对圆内接五边形进行了类比研究,得到了圆内接五边形的一个优美性质,现归纳出来以飨读者.     

圆幂定理(上)

<正>在圆的知识中,以下几个定理都与线段的乘积式有关,它们是:相交弦定理圆的弦相交于圆内的一点,各弦被这点分成的两条线段的乘积相等.图1(1)PA·PB=PC·PD.切割线定理由圆外一点向圆引两条割线.则在每条割线上,由该点到割线与圆的两个交点所成的两个线段的乘积相等,都等于切线的平方.图1(2)PA·PB=PC·PD=PE2.     

关于四边形的两个定理

三角形中我们有余弦定理表示边与角的关系,在四边形中也有类似的定理. (1)中线定理 如图凸四边形ABCD中,E、F、G、H是各边中点,EF、GH是两条中线,则2(EF2-GH2)=AD2+BC2-AB2-CD2     

"关于四边形的两个定理"的向量证明及推广

<数学通报>2010年第5期刊登的文[1]中给出了凸四边形中的中线定理和对角线定理如下: (1)中线定理:如图1在凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)=AD2+BC2-AB2-CD2.