三角形中线长度计算面积的公式的简证

文[1]给出了利用三角形中线长计算其面积的公式：如果m，n，p分别是△ABC三边上的中线。则S△ABC=√（m＋n＋p）（m＋n-p）（m＋p-n）（n＋p-m）/3（1）文[1]给出的证明较为复杂，本文给出一种简便的证法．     

三角形的一个面积计算公式

文[1]给出了一个利用三角形三条中线长度计算三角形面积的公式:如果m,n,p分别是△ABC三边上的中线,那么S_(△ABC)=[(m n p)(m n-p)(m p- n)(n p-m)]~(1/2)/3 (1)本文拟给出一个更为一般的三角形面积计算公式.     

三角形中线长度计算面积的公式

如果m，n，P分别是△月刀C三边上的中线，那么S△戒=推导过程如下:如图1，设月E，月F，(】〕是△ABC三边上的中线，O是重心，AE气m，BF二”，CD二P.延长OF至H使月阿二C晒，.则四边形AOCI了是平行四边形.由三角形中线性质可得:AO=毕，Bo二琴，田二琴.oH=ZoF J JJ BE一Zx要一琴，AH一印二馨J JJ图1三角形在△AOH中，由余弦定理可得:哪艺O片H AOZ AHZ一OHZ (警)2 (譬)2一(誓)2 2m 3业3 ZAO·八H_、Zm‘一Zb =mZ PZ一nZ ZmP si矛艺O叭H=1一cc巧2匕O八H=1一(m， P‘一，’)，4m2P2“些匹鲤气黯粤‘丝~‘:0<匕O叭H<…     

三角形中线长度计算面积公式的另证

已知△ABC三边上的中线AD、BE、CF长度分别为m、n、p,那么     

三角形中线长度计算面积公式的简证

文[1]利用余弦定理及三角形面积公式推导出三角形中线长度计算面积公式：如果m，n，P分别是△ABC三边上的中线，那么     

分点线三角形面积定理

定义1三角形顶点及对边分点的连线称之为三角形的分点线.定义2由三角形分点线围成的三角形称之为分点线三角形.图1三角形如图1,△ABC的边AB,BC,CA上的分点分别为D,E,F;AE和CD,BF和AE,CD和BF分别交于点P,Q,R.则CD,BF,AE称之为△ABC的分点线,△PQR称之为△ABC的分点线三角形.我们     

三角形中的特殊线的性质

<正>性质1如图1,△ABC中,D是BC的中点,AD、AE是∠BAC的等角线,AF是△ABC的外接圆切线交BC的延长线于点F.则BE/CE=BF/CF.证明∵D是BC的中点,∴BD=CD,∵AD、AE是∠BAC的等角线,由内角等角线的性质定理得AB²/AC2/AC²=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB2=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB²/AC2/AC²=BF/AF·AF/CF=BF/CF(2)     

探索性问题例析

本文对探索性问题的三种常见类型举例解析． 一、探索结论 例1．在△ABC中,若c^2=a^2＋b^2,则△ABC是直角三角形,请研究：若c^n=a^n＋b^n（n〉2）,判断△ABC的形状,并证明你的结论．     

三角形中线长度计算面积公式的简证

文[1]利用余弦定理及三角形面积公式推导出三角形中线长度计算面积公式:如果m,n,p分别是△ABC三边上的中线,那么     

三角形的一个性质再探

文[1]从2004年全国高中数学联合竞赛试题第四题出发，通过对问题的进一步探索推广得到下列结论：设点O在△ABC内部，且λ→↑OA＋m→↑OB＋n→↑OC=0,（其中λ，m，n均是正数）。则S△AOB：S△BOC：S△AOC=1/λm：1/mn：1/nλ，文[2]利用向量的几何意义对上述结论给出了较为简捷的证明。     

关于Evans问题的一个结果

用初等数论的思想方法研究Evans问题,可以证明：△ABC是以c为底的本原Evans三角形的充要条件是其三边由本原Heron数组公式所给出,且相应参数要满足（mt＋ns）（ms-nt）│2mnst.当本原Heron数组公式中m=s=k,n=k-1,t=k＋1（k∈N＋,k≥2）时可以得到一类本原Evans三角形.     

一道联赛试题的两种求解思路四种解法

<正>试题(2017年全国初中数学联赛初三第二试(A))如图1,△ABC中,AB>AC,∠BAC=45°,E是∠BAC的外角平分线与△ABC的外接圆的交点,点F在AB上且EF⊥AB.已知AF=1,BF=5,求△ABC的面积.分析在△ABC中,AB=AF+BF=6,∠BAC=45°,求△ABC面积的关键是求得线     

关于三角形的一个性质

如图 1 ,在△ ABC中 ,设 AH =BI =1m AB,BD =CE=1m BC,CF =AG=1m AC,其中 m >2 .AD与 BG交于 P,BF与 CI交于R,AE与 CH交于 Q,则有如下结论 :(1 )△ RQP∽△ ABC;(2 ) S△ RQP∶ S△ ABC =(m - 22 m - 1 ) 2 .证明　 (1 )过 D点作 DK⊥ BG于 K,过A作 AM⊥ BG,交 BG或其延长线于     

正n边形所有对角线与边长的m次方幂的和

关于半径为R的圆内接正n边形所有对角线与边长的m（m∈Z^＋）次方幂的和，文[1]研讨了m=2p（p∈Z^＋）且P〈n时的情形，[2]进一步研讨了m=2p（p∈Z^＋）时的情形，但当m=2p-1（p∈Z^＋）时的情形，没有解决。本文给出m∈Z^＋时的情形。     

由tanA/2=r/p-a导出的三角恒等式

1．引理 记△ABC的三边分别为a，b，C，其内切圆、外接圆半径分别为r，R，p=1/2（a＋b＋c），则tanA/2=r/p-a，tanB/2=r/p-b，tanC/2=r/p-c.     

三角形等圆线的性质

如图 1 ,D为△ ABC边 BC上的点 ,若△ ABD与△ ADC内切圆相等 ,则把线段 AD叫做△ ABC的等圆线 .文 [1 ]论证了等圆线的存在性和唯一性 ,本文给出等圆线的几条性质 .下面的讨论中 ,p、p1、p2 分别是△ ABC、△ ABD、△ ADC的半周长 ,γ、γ′分别是△ ABC与△ ABD、△ ADC的内切圆半径 ,BC= a,CA =b,AB =c.定理 1　若 AD是△ ABC的等圆线 ,则AD2 =p( p - a) .　　证明　如图 1 ,由S△ ABD S△ ADC=S△ A BC,得　 r′p1 r′p2 =rp即　 r′r=pp1 p21由图 1易知p1 p2 =p AD 2　　　　 图 1若 I是△ ABC内心 ,…     

帕普斯定理的一般形式

容如下: 如图1,在△ABC中。D是BC边上的中点,则有:AB2 AC2=2(AD2 BD2), 这里所要证明的并不是这个定理,而是其一般形式. 在△ABC中,D是BC边或其延长线上一点,且BD:DC=m=1, 求证:AB2 mAC2=(m 1)AD2 m(m 1)DC2.     

一道中国国家队集训队试题的简证

<正>题目[1]在△ABC中,已知D为∠A的平分线上任一点,E、F分别为AB、AC延长线上的点,且CE∥BD,BF∥CD,若M、N分别为CE、BF的中点,证明:AD⊥MN.证明如图所示,连接DE、DF.则由CE∥BD得S_(△BCD)=S_(△BED).由BF∥CD得S_(△BCD)=S_(△CFD).于是S_(△BED)=S_(△CFD).易知△BED与△CFD等高,所以BE=     

一道经典几何题的解法探究

题目：△ABC中,＜A=90°,AB—AC,D为BC边上的一点,试说明BD^2＋DC^2=2AD^2． 这是一道经典的几何题,需要解决的问题BD^2＋DC^2=2AD^2与勾股定理形似,可变形为BD^2＋DC^2=（√2AD）^2,从而设法将BD、DC、√2AD三条线段集中在一个直角三角形中,通常可以通过“旋转法”实现．     

紧流形上椭圆微分算子预解式的一致L^p-L^q估计——献给陆善镇教授75华诞

假设n和m是两个正整数,P（x,D）是定义在维数为n的紧致无边流形M上的一般m阶椭圆自伴微分算子.在一定条件下,本文主要证明微分算子P（x,D）的预解式的一致L^p-L^q估计,其中n〉m≥2,（p,q）在Sobolev线上并满足1/p-1/q=m/n,p≤2（n＋1）/n＋3,q≥2（n＋1）/n-1.本文的一个核心引理是建立曲面Σx={ξ∈Tx^＊（M）：p（x,ξ）=1}上测度的Fourier变换衰减估计的具体表达式,并利用它来得到局部算子的一致L^p-L^q估计.