对几类无理函数极值问题的探讨

函数是中学数学的重要基础知识 ,对函数问题的研究贯穿中学数学的始终 ,函数的极值又是函数的一个重要性质 ,并在生产、生活和社会实践中有着广泛应用 ,本文将应用化归思想方法根据基本初等函数的性质来研究几类无理函数的极值问题 .类型 1　 y=px q ax b( pa≠ 0 ) ,这种类型题通过代换 t=ax b可化为二次函数进行讨论 .类型 2　 y =px q ax2 bx c( pa≠ 0且 b2 - 4ac>0 ) ,这种类型题通过三角代换可化为三角函数进行讨论 .例 1　求下列函数的极值 :( 1 ) y =- 2 x 1 x 2 ;( 2 ) y =x - 2 4- 2 x - x2 ;( 3) y =2 x -…     

运用转轴法探究双曲线y=ax＋b／x的几何特征

文 [1]着重探索函数y =ax + bx (ab≠ 0 ) (1)的应用价值 ,文 [2 ]运用判别式法验证了函数 y=(ax +c) + bx +d(ab≠ 0 )的图象是双曲线 ,本文运用转轴法来探究双曲线 (1)及其平移状态的几何特征 .引理 1　对于双曲线 (1) ,当b >0时 ,把直线 y=ax到y轴的角的平分线记为x′轴 ,则x轴到x′轴的角θ1=π4 + 12 arctana ;当b <0时 ,把 y轴到直线 y =ax的角的平分线记为 y′轴 ,则 y轴到 y′轴的角θ2 =θ1=π4 + 12 arctana .证　如图 1,当b >0时 ,θ1=12arctana + π2 - 0 =π4 + 12 arctana ;当b <0时 ,θ2=12π2 + (π +arctana) - π2 =π4 +…     

探求引进直线系y=kx+b解决最值问题

数形结合是一个极富数学特点的信息转换 ,解析法则是这一数学思想的重要体现 .在处理某些最值问题时 ,我们可以依据问题的结构特征 ,挖掘出潜在的几何背景 ,通过图形的性质来说明代数事实 .【例 1】　已知x≥ 1,y≥ 1,且log2ax log2ay=loga(ax2 ) loga(ay2 )(其中a>0 ,a≠ 1) ,求loga(xy)的取值范围 .解 :令logax =m ,logay =n ,则loga(xy) =m n ,∵x≥ 1,y≥ 1,且log2ax log2ay=loga(ax2 ) loga(ay2 )∴ (m-1) 2 (n -1) 2 =4.令b=m n ,从而转化为b的取值范围 .因此只需解决圆与直线间位置关系变化时的直线在y轴上的截距范围 .∴ 1)当…     

椭圆和双曲线的其它形式方程

1.椭圆和双曲线的其它形式方程直线与x轴交于点(a,0),则称a为直线在x轴上的截距;直线与y轴交于点(0,b),则称b为直线在y轴上的截距.直线在x、y轴上的截距分别是a和b,且ab≠0时,直线有截距式方程:x/a+y/b=1.椭圆标准方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0时,椭圆与x轴交于点(±a,0),与y轴交于点(0,土b),与直线的截距式方程类比,不妨也称椭圆的标准方程为椭圆的截距式方程.但根据不同的已知条件,直线还有以下     

一道解析几何试题的来龙去脉

2005年北京春考理科第18题是一道解析几何综合题,我们做一些分析,会有所启示。试题如图1,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a＞0,b≠0),且交抛物线y~2=2px(p＞0)于M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)两点。 (Ⅰ)写出直线l的截距式方程； (Ⅱ)证明：1/y_1 1/y_2=1/b； (Ⅲ)当a=2p时,求∠MON的大小。试题叙述简洁明快,形式新颖。试题第(Ⅱ)问最初来源于对下面习题的改造：习题如图2,设抛物线y=ax~2与直线y=bx c有两个交点,其横坐标分别为x_1,x_2,且a≠0,b≠0,b~2 4ac＞0,x_3是直线y=0与y=bx c     

7 直线和圆圆锥曲线

7 1　直线方程和简单的线性规划内容概述1 在平面直角坐标系中 ,常用的直线普通方程形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式Ax+By+C =0五种 ,求直线方程常用待定系数法 .2 过两点 (x1,y1)、(x2 ,y2 ) ,倾斜角为α(α ≠π2 )的直线的斜率可以用斜率公式k =tanα =y2 - y1x2 -x1求得 ,当α=π2 时 ,直线的斜率不存在 .3 若两条直线有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2 :y=k2 x+b2 时 ,则l1∥l2 　 　 k1=k2 ,b1≠b2 ;　l1⊥l2 　 　k1k2 =- 1;若两条直线至少有一条没有斜率时 ,它们的平行、垂直关系都容易根据它们的具体情况进行判断 .4 …     

综合题新编选登

题179已知函数f(x)=ax3 bx2 c(a,b,c∈R,a≠0)的图象过点P(-1,2),且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直.1)若c=0,试求函数f(x)的单调区间.2)若a>0,b>0且(-∞,m),(n, ∞)是f(x)的单调递增区间.试求n-m的范围.解由f(x)=ax3 bx2 c的图象过点P(-1,2)知-a b c=2.又f′(x)=3ax2 2bx.因为f     

椭圆和双曲线的其它形式方程

1．椭圆和双曲线的其它形式方程 直线与x轴交于点（a,0）,则称a为直线在x轴上的截距;直线与y轴交于点（0,b）,则称b为直线在y轴上的截距．直线在x、y轴上的截距分别是a和b,且ab≠0时,     

函数y=a~x(a>1)的图象能与直线y=x相交吗?

我们的数学教材中 ,讨论指数函数y =ax(a >0 ,a≠ 1)和对数函数y =logax(a >0 ,a≠ 1)时 ,在a >1的情况下 ,所列举的几个函数的图象与直线y=x均没有公共点 ,那么是否当a>1时 ,函数y =ax,y=logax的图象与直线y=x均没有公共点呢 ?其实不然 ,因y=logax的图象与y=ax 的图象关于直线y =x对称 ,现以y=ax 为例说明这个问题 :作函数y =ax -x(a>1) .先求出函数y =ax -x(a>1)何时取得最小值 .求导 ,得这个函数的导函数y′ =axlna -1.令y′ =0 ,得axlna =1因为a >1,所以lna>0 ,上式两边取自然对数得ln(axlna) =0 ,即xlna lnlna =0所以x=-lnlnalna类似上…     

错在哪里

问题　已知函数 y =ax2 6 x bx2 1 对于一切实数 x都有 {y| 1≤ y≤ 9},求实数 a、b的值 .不少学生 (还有部分老师 )是这样解的 :∵　函数 y =ax2 6 x bx2 1 的定义域为R,于是 ( y - a) x2 - 6 x y - b =0 ,当 y≠a,由Δ≥ 0 ,得 36 - 4( y - a) ( y - b)≥ 0 ,即y2 - ( a b) y ab - 9≤ 0 ( 1 )又 1≤ y≤ 9,即 y2 - 1 0 y 9≤ 0 ( 2 )而不等式 ( 1 ) ( 2 )同解 ,∴　 a b =1 0 ,　 ab - 9=9,∴　 a =5 7,b =5- 7,或　 b =5 7,a =5- 7;当 y =a时 ,结论也成立 .剖析　这道题与《中学数学》(湖北 ) 1 999年增刊 P1 …     

再谈直线x0x/a2±y0y/b2=x02/a2±y02/b2的几何意义及其性质

文 [1 ]、[2 ]分别讨论了直线x0 xa2 + y0 yb2 =1 ,x0 xa2 - y0 yb2 =1的几何意义 ,对应地 ,本文讨论直线 x0 xa2 + y0 yb2 =x0 2a2 + y0 2b2 和直线x0 xa2 - y0 yb2 =x0 2a2- y0 2b2 的几何意义 ,作为文 [1 ],[2 ]的补充 .为节约篇幅 ,本文重点讨论x0 xa2 - y0 yb2 =x0 2a2 - y0 2b2 在双曲线 x2a2 - y2b2 =1中的几何意义和性质 ,类似得x0 xa2 +y0 yb2 =x0 2a2 + y0 2b2 中椭圆中的几何意义和性质 .1　直线x0 xa2 ± y0 yb2 =x0 2a2 ± y0 2b2 的几何意义　　已知点D(x0 ,y0 )不在坐标原点 .性质 1 1　当x0 2a2 - y0 2b2 =1 (点D(x0 ,y0 …     

构造向量解题

文 [1 ]举例说明了平面向量在中学数学中的广泛应用 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再举几例 ,说明构造向量 ,利用向量的内积在中学数学其它一些方面的应用 .1　求值例 1　设 a,b,c,x,y,z均为实数 ,且a2 b2 c2 =2 5,x2 y2 z2 =3 6,ax by cz =3 0 .求 a b cx y z的值 .解　由题设条件 ,考虑构造向量 p=(6a,6b) ,q=(5x,5y) .由 (p.q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 90 0 (ax by) 2 ≤ 90 0 (a2 b2 ) (x2 y2 ) ,即　 (3 0 - cz) 2 ≤ (2 5- c2 ) (3 6- z2 ) ,变形整理得　 (5z - 6c) 2≤ 0 ,∴　 5z =6c.同理　 5x =6a,　 5y =6b.∴…     

三次函数性质的研究和应用

随着新教材的使用和推广,使高中学生用导数来解决高次和无理函数的性质成为现实,三次函数的有关问题作为典型在近几年的高考和竞赛试题中不断出现,因此有必要对三次函数进行研究.文[1]用初等的方法解决了三次函数图象的对称中心问题,本文试用导数对y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)进行较全面的研究,并加以适当的应用.一、y=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象和性质1.三次函数的单调性分析:因为f′(x)=3ax2+2bx+c,所以Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),于是:Ⅰ.当b2-3ac>0时,方程f′(x)=0有两个不同的实根x1,x2(访设x10,所以y=ax3+bx2+cx+d(a>0)在(-∞,x1)或(…     

再谈“两相交直线所成角的平分线方程”

本刊 2 0 0 3年第 8期中 ,金亮同学的结论是 :当两相交直线的斜率之积为± 1时 ,两直线方程相加减即得两直线所成角的平分线方程 .我经研究后发现 ,该结论的表达不准确 ,这从金亮同学的证明中可以看出 ,应改为 :两相交直线ax +by +c1 =0与bx±ay +c2 =0 ( |a|≠ |b| ,a≠ 0 ,b≠ 0 )的方程相加减即得两直线所成角的平方线方程 .因为a2 +b2 =b2 + (±a) 2 ,本人可将此结论推广如下 .推广　当两相交直线l1 ∶a1 x +b1 y +c1 =0 ,l2 ∶a2 x +b2 y +c2 =0 (a1 b2 ≠a2 b1 ) ,满足a21 +b21 =a22 +b22 时 ,两直线方程相加减可得 .证明设 (x ,y)为…     

一道习题的推广及证明

习题　已知 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,求证 :a2 + b2 >3 a3 + b3 .证明　原命题等价于( a2 + b2 ) 3 >( a3 + b3 ) 2 ,展开很易证明 .推广　已知 a,b,m,n∈ R+ ,且 a≠ b,m >n,求证 :n an + bn >m am + bm .证明　构造函数 y =f( x) =x ax + bx( a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ) ,两边取对数得　 lny =ln( ax + bx)x ,两边取导数 ,得y′y =x( axlna + bxlnb) - ( ax + bx) ln( ax + bx)x2 ( ax + bx) .∵　 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ,∴　 ( ax) ax . ( bx ) bx <( ax + bx ) ax+ bx,∴　 x( axlna + bxlnb)　　 <( ax + bx) ln( ax + bx) ,∴　 y′…     

有限元求解一维奇异摄动问题

1 问题的引入 考虑边值问题 L_y≡-εy″+p(x)y′+q(x)y=f(x),x∈I≡(o,1), y(0)=y(1)=0, (1,1)其中ε是一常数,ε∈(0,1),p(x),q(x),f(x)是[0,1]上的光滑函数,且满足p(x)≥a_1>0,q(x)≥0,q(x)-(1/2)P′(x)≥a_2>0.以下用C和d表示一常数,仅依赖于p(x),q(x),f(x),与ε无关,在不同的地方它们可能代表不同的数. 引入双线性形式 B(u,v)=integral from n=0 to 1(εu′v′+pu′v +quv)dx,u,v∈H~1(I),及范数     

直线与椭圆位置关系的三角判断法及应用

<正>众所周知,在解析几何中,直线与椭圆位置关系的判断,常选择代数法和几何法.设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A²+B2+B²≠0),椭圆E的方程为:x2≠0),椭圆E的方程为:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x2=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,消去x或y利用判别式判断,当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ<0时,直线与椭圆相离.而几何法是利用仿射变换将椭圆变为圆,比较圆心到直线的距离与圆的半径大小进行     

例谈数形结合求解二元函数的极值问题

二元函数的极值问题的初等解法很多，一般都采用降维法转化为一元函数来处理．但有些极值问题，若题中的数量关系能赋予某种几何意义，则可采用数形结合的观点，凭借图形的直观优势，结合解析几何的知识求解，解法往往显得简捷、直观、从以下数例，我们将得到数形结合求解二元函数的极值问题的常用方法，并从中体会到数形结合的独特偏力．1当目标函数形如f（x，y）＝ax＋by＋c时．可考虑利用直线的截距求解例1已知a、b∈R＋，方程x2＋ax＋2b＝0，x2＋2bx＋a＝0都有实数根，试求2a＋b的最小值．分析问题可化为，若a、b满足求2a＋b的最小值．…     

三点共线条件在解题中的应用

由解析几何知 ,三点P1(x1,y1) ,P2 (x2 ,y2 ) ,P3(x3,y3)共线的充分必要条件是 :(x3-x1) (y2 - y1) - (x2 -x1) (y3- y1) =0 .这一结论除用于判定或求解有关解析几何的共线问题外 ,也可用于求解一些三角以及代数中的问题 ,其解法具有一定的启发性 ,下面举几例说明 .例 1　已知一次函数 f(x) =ax +b ,且 - 1≤f(- 1) ≤ 2 ,- 2≤f(2 )≤ 3,求 f(3)的取值范围 .解　由已知 f(- 1) =-a +b ,f(2 ) =2a +b ,f(3) =3a +b ,整理即-a - f(- 1) +b =0 ,2a - f(2 ) +b =0 ,3a - f(3) +b =0 ,上式表明点P1(- 1,f(- 1) ) ,P2 (2 ,f(2 ) ) ,P3(3,f(3) …     

抛物线的性质

定理1　抛物线y2=2px(p>0)的焦点是F(p2,0).如果P(x0,y0)是抛物线上一点,那么以FP为直径的圆与y轴相切.切点是Q(0,y02).并且直线PQ是抛物线的切线.(如图1).证明　易求以FP为直径的圆的方程为x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0由方程组x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0x=0消去x得关于y的一元二次方程y2-y0y 12px0=0(1)考虑到P(x0,y0)点在抛物线y2=2px上,显然方程(1)的判别式Δ=y20-2px0=0,所以,以FP为直径的圆与y轴相切.易求切点是Q(0,y02).由两点式方程,考虑P(x0,y0)点在抛物线上,可求得直线PQ的方程为y0y=p(x x0),此即一般教科书上抛物线的切线…