一类不定方程恒有正整数解的条件

一类不定方程恒有正整数解的条件简超（武汉铁路成人中专４３００１２）文［１］，［２］用构造法给出几种恒有正整数解的不定方程，本文说明这类佳构并非偶然巧合，它们仅是下述结论（定理１）的特款，并进而推广到更一般的情形（定理２）。定理１设对于不定方程若方程Ｈ...     

几个不定方程的一组正整数解

这样一类不定方程。柯召教授在1中证明了当x>1,y>1,z>1且(x,y)=1时的方程(1)——(3)都没有整数解,同时指出:当x>1,y>1,z>1且(x,y)>1时方程(1)——(3)都有     

不定方程x^2＋y^2＋z^2＋w^2正整数解的结构与表示

对于四元不定方程ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =ｗ2 ,显然 ,若 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =(ｋｘ0 ,ｋｙ0 ,ｋｚ0 ,ｋｗ0 )(ｋ≠ 0 )是它的一个解 ,则 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ ) =(ｘ0 ,ｙ0 ,ｚ0 ,ｗ0 )也必是它的一个解 .故只须考虑 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =1 ,即ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ四数互质的情况 .定理 1　 (解的结构 )若正整数ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =ｗ2 ,且 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =1 ,则ｘ ,ｙ ,ｚ三个数中 ,必定是一个奇数、二个偶数 .证　ｘ ,ｙ ,ｚ三个数的奇偶性 ,共有四种情况 :①全为偶数 ;②全为奇数 ;③二奇一偶 ;④一奇二偶 .①若ｘ ,ｙ ,ｚ全是偶数 ,则ｗ也…     

关于不定方程7x(x+1)(x+2)(x+3)=5y(y+1)(y+2)(y+3)

利用Pell方程基本解性质、递推序列、同余思想以及二次剩余等初等方法得到并证明了在(M,N)=(7,5)时不定方程Mx(x+1)(x+2)(x+3)=Ny(y+1)(y+2)(y+3)仅有正整数解(x,y)=(10,11).同时给出了不定方程x2-35 (y2+3y+1)2=14的全部整数解.     

方程x2-Ny2=c的正整数解

利用数学归纳法和初等方法给出方程x2-Ny2=C(N是非平方正数,C是非零整数)正整数解的表达式     

多元欧拉函数方程ψ(x1x2…xn)=k1ψ (x1)+k2ψ(x2)+…+knψ(xn)±l的解

设ψ(x)是Euler函数.讨论了Euler函数方程ψ(x1x2…xn)=k1ψ(x1)+k2ψ(x2)+…+knψ(xn)±l的可解性问题,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解的较为精确的上界.作为应用,对于一些给定的正整数k1,…,kn,l,求出了此时方程的全部正整数解.     

关于不定方程x^2—Dy^2=c的最小正整数解

给出一般二元二次不定方程最小正整数解的一个判定准则，确定了几类二元二次不定方程和Pell方程的最小正整数解，推广了[1]、[2]中的两个结果。     

关于方程φ(abc)=2(φ(a)+φ(b)+φ(c))

设n为任意正整数,φ(n)是Euler函数.主要研究了方程φ(abc)=2(φ(a)+φ(b)+φ(c))的可解性问题,利用数论中的理论和方法,获得了该方程的所有正整数解.     

一特殊不定方程的拓展

《中学生数学》2011年4月（上）期刊登了《一道特殊不定方程的六种解法》,文中对不定方程2（x＋y）=xy的正整数解提出了6种解法．读后受益匪浅,于是进一步思考,能否对此不定方程进行拓展呢？即能否求出不定方程4（x＋y＋z）=xyz的正整数解呢？     

关于不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2

设P为素数，利用同余及高次丢番图方程的一些结果证明了不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2仅有正整数解（p，x，y，z）=（7，22，1，13）。     

不定方程x^3＋2y^3—4z^3=0没有正整数解的一类推广

数学通讯2007（1）最小数原理一文曾介绍过：不定方程x^3＋2y^3-4z^3=0没有正整数解,受其启发,这里自然要问,下列不定方程：（1）x^4＋2y^4—4z^4=0;（2）z^5＋3y^5=9z^5等等是否有正整数解．更一般的情况是,若p为质数,p≥3为正整数,则不定方程     

一类方程的正整数解问题

利用初等数论知识证明不定方程1/x＋1/y=1/z解的结构定理,并据此探讨方程1/x＋1/y=1/n（其中n为正整数）的正整数解数及其正整数解的构造性求法。     

一个不定方程以及它的实数解

研究了一类不定方程 ,并获得了它的所有实数解     

一个不定方程的正整数解与Evans问题的解公式

本文给出不定方程满足一定条件的正整数解公式,进而得到Evans问题的解公式,并举出6个Evans三角形的应用实例.     

关于不定方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=9y(y+1)(y+2)(y+3)

运用pell方程、递归序列、二次平方剩余的方法,并使用数学软件Mathematica的计算,求出了丢番图方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=9y(y+1)(y+2)(y+3)的所有20组整数解,其中只有一组正整数解为(x,y)=(6,5).     

关于不定方程x~2-kxy+y~2+px=0

设p为奇素数.讨论了不定方程x~2-kxy+y~2+px=0,给出了这类方程求解的一些必要条件.     

关于不定方程x~2+4~n=y~(13)(n=4,5,6)的整数解

在高斯整环中,利用代数数论与同余理论的方法,讨论了不定方程x~2+4~n=y~(13)(n=4,5,6)的整数解问题,得出了当n=4,5时无整数解;n=6是仅有整数解(x,y)=(64,2)和(x,y)=(-64,2)的结论,推进了不定方程整数解的研究.