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一类分式不等式的新证法 总被引:1,自引:0,他引:1
一类分式不等式的新证法郭慧清(广东深圳市深圳中学518025)设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则有(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(a1b1+a2b2+…+anbn)2这是众所周知的柯西不等式,若令ai=xiyi... 相似文献
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近年来,中学数学刊物和数学竞赛题中经常出现大量新颖的三元对称分式不等式.其证明方法也较独特巧妙,如利用均值不等式、柯西不等式、排序原理等.它们一般不易被中学生想到或接受.为此,笔者在教学中向学生介绍了证明不等式的原始方法——作差比较法,结合恒等变形,构造完全平方式,学生反应此方法简单易行.下面列举数例,供同行教学时参考.例1 设a、b、c∈R+.求证:ab+c+bc+a+ca+b≥32.证明 左边-右边=2a-b-c2(b+c)+2b-c-a2(c+a)+2c-a-b2(a+b)=a-b+a-c… 相似文献
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几个常见不等式的加强210044江苏南京市大厂中学汪杰良文[1]、[2]分别对基本不等式给出了如下加强:定理1若a、bER,0<A<1,则a’+b’>Zab+A(a—b)’.定理2若a、b、cER-,0<入运1(i一1,2,3),则a‘+b‘+c‘>... 相似文献
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一类分式不等式的证法——柯西均值法 总被引:3,自引:3,他引:0
一类分式不等式的证法—柯西均值法陶兴模(重庆市铜梁中学632560)众所周知,柯西不等式(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai∈R,bi∈R,ai=kbi时取等号,i=1,2,3,…... 相似文献
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一类分式不等式的统一证法 总被引:1,自引:1,他引:0
不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)及其变形的应用已被人们广泛研究,笔者在教学中发现:如用ab、bλ分别代替a、b得一含参数的不等式a2b≥2aλ-bλ2 (b>0,λ>0,a∈R)()利用()可得一类分式不等式的统一证法:首先对要证的不等式进行适当变形,然后通过待定系数法求出λ,即得要证的不等式.这种证明方法具有思路单一,操作方便,学生易接受的特点.现以竞赛题、征解题为例进行说明.例1 设a、b、c∈R+,试证:a2a+b+b2b+c+c2a+c≥a+b+c2.(《数学通报》1995年第… 相似文献
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高中《代数》下册(必修本)第12页例7:已知a,b,m∈R+,并且a<b,则a+mb+m>ab.对此不等式,我们将条件a<b换作a>b,则相应地有结论:如果a,b,m∈R+,且a>b,那么ab>a+mb+m.利用分析法很容易证明,此处略.这两个结论在... 相似文献
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作为|a|+|b|≥|a+b|的应用,不等式|a|1+|a|+|b|1+|b|≥|a+b|1+|a+b|的证明是大家熟知的;事实上,它可推广成:|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|≥|a+b+c|1+|a+b+c|;利用f(x)=x1+x在(0,+∞)上是增函数及|a|+|b|≥|a+b|不难给其证明,从略;通过类比,有以下重要结论:定理 若|a|<1,|b|<1,|c|<1,则(1)|a|1-|a|+|b|1-|b|+|c|1-|c|≥|a+b+c|1-13|a+b+c|;若|… 相似文献
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一道课本不等式的加强及推广魏华(成都七中610015)现行教材高中《代数》下册P32第5题.已知a,b,c>0,求证2(a3+b3+c3)a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).笔者发现:可将此不等式加强和推广为如下命题.已知a,b,c>0... 相似文献
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我在教学中发现:对有些不等式的证明,可根据不等式的特点,用构造二次函数的方法加以解决;本文结合具体例子,谈谈怎样构造二次函数证明不等式;1 确定主元构造例1 设a、b都是实数,求证:a2+b2≥a+b+ab-1.分析 求证结论是二元二次对称不等式,可以a(或b)为主元构造二次函数;证明 设f(a)=a2-(b+1)a+b2-b+1.因二次项系数大于零,且Δ=〔-(b+1)〕2-4(b2-b+1)=-3(b-1)2≤0故f(a)≥0,即a2+b2≥a+b+ab-1.2 根据判别式构造例2 设实数a… 相似文献
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一个不等式的简洁证明 总被引:2,自引:1,他引:1
在江苏省吴县市召开的’99全国不等式研究学术会议上,中国科学院成都计算机应用研究所杨路教授应用通用软件BOTTEMA给出以下不等式的一个“机器证明”:若a、b、c为正数,则ab+c+bc+a+ca+b>2.这里,笔者给出此不等式的一个简洁的“可读证明”.证明 ∵ (b+c-a)2≥0,∴ (a+b+c)2≥4a(b+c),∴ 1b+c≥4a(a+b+c)2,∴ ab+c≥2aa+b+c,同理可得 bc+a≥2ba+b+c,ca+b≥2ca+b+c.以上三式相加,且注意到三式等号不同时成立,便得a… 相似文献
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高中教材上有这么一组重要的不等式:a2+b2≥2ab(a,b∈R),a+b2≥ab(a,b∈R+),a3+b3+c3≥3abc(a,b,c∈R+),a+b+c3≥3abc(a,b,c∈R+).我们对这组不等式的次数作如下分析:当我们把a,b,c都看成变量时,上述不等式左右两边的次数相同;当我们把a看成变量,而把b,c看作常数时,则上述不等式左右两边的次数不同.基于这些认识,当我们在证明某些左右次数不同的不等式时,可采用如下对策.1.同次转化:利用已知条件,将待证的不等式转化为左右同次式,再来求证… 相似文献
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构造二次方程证明不等式 总被引:3,自引:3,他引:0
利用一元二次方程根的分布的充要条件,可以证明一类不等式.例1已知a>13,b>13,ab=29.求证:a+b<1.证明设a+b=t,∵ab=29.∴a,b为一元二次方程x2-tx+29=0的二根,由于a>13,b>13,记f(x)=x2-tx+29,... 相似文献
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与匹多不等式有关的一个等式方明(四川平昌二中635400)约定a,b,c,△和a′,b′,c′,△′分别表示△ABC和△A′B′C′的边长和面积,H=a′2(b2+c2-a2)+b′2(c2+a2-b2)+c′2(a2+b2-c2).著名的匹多不等式... 相似文献
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从威森波克不等式的证明谈起武爱民(河南鹤壁四矿中学458010)威氏不等式:a2+b2+c243△(其中a,b,c和△分别为△ABC的边和面积).目前人们已发现了它的十多种证法,而且被加强为a2+b2+c243△+(a-b)2+(b-c)2+(c... 相似文献