看图筛选 多退少补——例谈构造集合求解排列组合问题

从集合的角度看,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列（组合）,可以组成一个集合,其中每一个排列（组合）是它的一个元素,其排列数（组合数）就是这个集合中的元素的个数．因此在许多排列组合问题中适当构造集合,将问题中的条件关系转化为可用集合图形表示出来的集合间的运算关系,运用看图筛选,多退少补的方法求出符合条件的集合中的元素个数,     

以集合的观点再看排列、组合与古典概率

以集合的观点再看排列、组合与古典概率严士健，杨妍梅（北京师范大学数学系１００８７５）（北京市教育局教材编审部）排列与组合是高中数学的一项重要的基础内容．排列数与组合数的计算在很多方面都有应用．目前，在我国的高中数学课中主要探讨的是无重复排列或组合．排...     

分步计数中的“顺序”

“顺序”是区别排列、组合问题的关键词，这使得一些同学认为只有排列才有顺序，殊不知在解答排列、组合问题时，若用分步计数原理解答，分步时也带来“顺序”，请看下面的例子。     

排列、组合中常见疑难题型的解答策略

排列、组合是高中阶段的重要内容，是学习概率内容的必备基础．排列、组合中几类常见的疑难题型往往让同学们感到棘手，本文特对它们加以归类并提供相应的解答策略，供参考．     

环型排列与连贯的计数

本文应用纯粹组合推理,研究了在广泛的贯长与贯数限制下多重集合排列的枚举问题。建立了在恒等群、循环群和二面体群作用下的环型连贯的计数公式。给出了无限制条件的平面及空间的环型交错排列与连贯的计数结果。     

例析正方体中的计数问题

在排列、组合和概率的内容中有一类重要题型．即“正方体”中的计数问题,解决这类题不仅涉及排列、组合、概率等知识,还涉及立体几何中的点线面的位置关系和计数的两个原理,将知识与方法有机地融为一体．因此,近年来以正方体为背景的试题在各省市的高考和竞赛中屡屡现身,本文采撷几例作分类解析．     

条件概率中的“条件”与事件发生的“条件”的关系剖析

在解答条件概率问题的过程中,厘清条件概率中的“条件”与事件发生的“条件”是关键一环,解题者往往对条件概率中的“条件”与事件发生的“条件”之间的关系分析不到位,认识不明晰,导致问题的关系不清,解答产生意想不到的错误．下文对条件概率中的“条件”与事件发生的“条件”的常见关系举例剖析,供读者参考．     

这个游戏中谁获胜的概率最大

我很喜欢看中央电视台经济频道的“购物街”栏目,里面有很多有趣的游戏,这些游戏几乎都是与数字有关的．在一期节目中,给我印象最深的就是有一个选手常常将“按概率,应该是我赢了”这句话挂在嘴边,而最后她还是没能幸运地拿到奖品．的确,“购物街”栏目中的很多游戏都是与概率有关的,这不由地让我想——在这么有趣的游戏中隐藏着的概率问题会不会也很有趣呢？     

分类解析等可能事件概率问题

概率是高中阶段新增的内容之一 ,而概率的计算又要用到排列、组合的知识来解答 ,也要用到排列、组合的解题思路 ,这部分内容是排列、组合知识的直接应用及延伸 .学生在学习过程中普遍觉得比较抽象、不易理解 ,而等可能事件的概率问题在求解过程中 ,基本事件数 m、n的计算更是一大难点 .本文从常见的几种等可能事件概率问题进行分类解析 .1　“在与不在”问题考虑优先法某些元素或某些位置有特殊的作用 ,解题时必须对这些特殊元素或特殊位置优先考虑 .例 1　 5个同学任意站成一排 ,求 :甲、乙两人恰好站在两端的概率 .解　甲、乙两个人恰好站…     

数学竞赛中的概率问题

概率研究的是确定性现象和随机现象,概率的计算既要用到排列、组合的知识来解答,也要用到排列、组合的解题思路．概率统计的内容进入高中数学以后,使教学内容增添了更多的变量数学,也为数学竞赛增添了新的考点和应用的领域,主要考查概率和数学期望的计算．     

集合与逻辑

集合是一个原始的不定义的概念．在高中数学竞赛中，有关集合的问题主要分两类，一类是利用集合的性质处理代数、数论等问题，另一类则是分析某个集合的子集、拆分等组合结构的组合问题．处理这两类问题，一方面要求解题者能紧抓集合元素的特性（互异性，无序性），并具有良好的代数变形、转换命题的基本功，另一方面，还应掌握极端原理、抽屉原理等组合思想方法．     

巧用查字典法解题

数字排列问题是常见的条件排列问题,而数字比较大小问题备受高考命题专家青睐,常用的解题方法是“分类讨论法”,但做题时往往容易重复或遗漏,令学生望而生畏．本文介绍一种用“查字典法”来解决数字比较大小的排列问题的思路和方法,供读者参考．     

排列、组合和二项式定理

本单元的研究对象和研究方法比较独特。高考考查的重点是：①分类、分步计数原理的应用；②带有附加条件的排列、组合的应用题和几何题（不只是简单考查排列、组合数公式）；③二项式定理的应用（不只是考查与系数、项相关的问题。还有整除性、近似值。以及与不等式、数列等的综合性应用问题）．它们既被单独考，又常在后续学习的概率问题中顺带考查．     

排列、组合和二项式定理

分类计数原理和分步计数原理是排列组合的核心内容，它既是推导排列数、组合数公式的基础．也是解决排列组合问题的重要方法．分类是把复杂的问题分解成互相排斥的几类，然后逐类解决，分步是把解决问题的方法分解成几个相互联系且相互独立的步骤，较复杂的排列组合问题的解决常先分类再分步．解决带有附加条件的排列组合问题的方法主要有：（1）特殊元素分析法：优先安排特殊元素，再安排其它元素；（2）特殊位置分析法：优先安排特殊位置，再安排其它位置；（3）去杂法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数；（4）插空法：对于要求某些元素不相邻的问题，可以先排好没有限制条件的元素，然后将要求不相邻的元素插入到排好的元素所产生的空档之中；（5）捆绑法：对于要求某些元素必须排在一起的问题，可以将要求相邻的元素合并为一个大元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也要作排列；（6）先分组后分配即先选后排；（7）隔板法；（8）去序法；（9）列举法，特别要注意利用“树形图”不漏不重地列举；（10）集合法．     

插空法：“不相邻”排列问题的专项工具

插空法是解决“不相邻”排列问题的专项工具，正如一句口诀：相邻问题用捆绑，非邻问题用插空。一般地说，使用插空法时，应先将无限制条件的元素排列好，再将不相邻的元素插入到已经排好的元素之间或者两端。应用插空法时，要注意所插空元素的特点、细节、要求，采取配套的方法和策略，才能一举攻克“不相邻”排列问题。     

六、排列组合、二项式定理

知识要点］一、掌握加法原理和乘法原理．会用这两个原理解决实际问题．二、理解排列与组合的概念．排列是与“顺序”有关的,而组合是与“顺序”无关的．三、解排列与组合问题,一般基本思路有直接解答（即直接法）与间接解答（即间接法）．在复习中注意体会,对于一个具...     

排列、组合和二项式定理

1．本单元重、难点分析 本单元从分类计数原理与分步计数原理入手，展开对排列组合问题及二项式定理的研究，为以后学习概率及统计打下基础． 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本定理，也是推导排列数公式和组合数公式的基础，在应用时要注意二者的区别．学习的难点是两个原理的综合与灵活应用．     

看清“身份”始作答

解决集合问题时，首先要从认清元素的“身份”开始．往往需要看清楚是哪个方程或不等式的解集；分析清楚点集中的点在什么曲线上运动，考虑能否利用集合性质解题．     

浅谈排列组合中的分组分配问题

1998年高考理科试题第(11)题，是一道涉及将所给不同元素分组后再分配的排列组合应用问题．对这类问题，许多学生普遍感到棘手，分不清“排列’’还是“组合”，极易出错．本文拟对此类问题进行分类探讨，并总结方法，以供参考．     

立体几何中的排列组合与概率问题的解题策略

在近几年的高考试题中,出现了以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题．这类问题情景新颖,题型多样,思路灵活,综合性强．它不仅考查了相关的基础知识,而且还注重对数学思想方法及数学能力的考查．这类题一般作为高考选择填空题的压轴题出现．下面谈一谈这类问题的解题策略．