应用二次不等式求函数的最值

应用不等式的解集可以求一些简单函数的最大值和最小值。一、二次函数y=ax~2+bx+c(a0), 将原式变为ax~2+bx+c-y=0, 因为x∈R,故有不等式b~2-4a(c-y)≥0     

二次函数极值公式的一个应用

二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),经过配方整理后得: y=a(x+b/2a)~2+(4ac-b~2)/4a 这个公式叫二次函数的极值公式。把这个公式稍加变形得: y=a〔(x+(b/2a))~2+(4ac~2-b~2)/4a~2〕=a〔(x+(b/2a))~2-(b~2-4ac)/4a~2〕。这个变形后的公式,不仅可以求二次函数的极大值或极小值,而且还可以用来求抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)在x轴上所截得的线段的长度。定理:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)与x轴交于两点A(x_1,0)、B(x_2,0),(x_1≠x_2)则抛物线在x轴上所截得的线段长为:     

求函数y=ax^2＋bx＋c／px^2＋qx＋r值域的方法探讨

求形如函数y =ax2 +bx +cpx2 +qx +r px2 +qx +r≠ 0的值域问题是众多求函数值域中的基本类型 ,其方法也是学生必须掌握的 ,分析探讨如下 :一、当函数的定义域D为全体实数时 ,即x∈R时 ,px2 +qx +r≠ 0 ;可以采用判别式法求函数的值域 ,即原函数可化为关于x的一元二次方程(yp -a)x2 + (yq -b)x +yr -c =0　 ( )(1)当yp -a =0时 ,即y =ap 时 ,若 ( )有解 ,则y可取到 ap ,若 ( )无解 ,则y不能取到 ap;(2 )当yp -a≠ 0时 ,一元二次方程 ( )有实根 ,所以其判别式△≥ 0 ,即 (yq -b) 2 - 4(yp -a) (yr -c)≥ 0 ,可解得y的取值范围 ;综全 (1) (2 …     

利用图象破解二次函数的最值问题

<正>一般地,二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),如果自变量x的取值范围是全体实数,那么二次函数的顶点是最高(低)点,当x=-b/2a时,二次函数的最大(小)值是(4ac-b~2)/4a.如果自变量的取值范围不是全体实数,即自变量在限定的范围内,那么二次函数的最值问题又如何解决呢?现以近几年中考题为例,浅析说明利用图象破解二次函数最值问题的思路、方法、技巧.     

判别式法解题举例

<正>在解数学题时,常常先构建一元二次方程,用判别式的性质讨论一元二次方程根的情况来解题的方法叫判别式法,它应用十分广泛,现举例说明.一、求分式函数的值域例1求函数y=(x2+1)/(x2-x+1)的值域.解∵x2-x+1=(x-1/2)2+3/4>0恒成立,∴x∈R,原函数变形为(y-1)x2-yx+(y-1)=0.当y≠1时,方程为x的一元二次方程,∵x∈R,∴Δ≥0,即Δ=y2-4(y-1)2≥0,解得2/3≤y≤2.注意到y=1∈[2/3,2],故函数的值域为[2/3,2].     

The Function Concept(二)

The domain of linear function f(x)=ax b(a≠0) is R, its range is R. The domain of inverse proportion function f(x)=(k/x)(k≠0) is {x|x≠0}, its range is B ={y|y≠0}. The domain of quadratic function, f(x)=ax~2 bx c(a≠0)is R, its range is B. B={y|y≥(4ac-b~2)/4a},when a>0;B={y|y≤(4ac-b~2/4a)},     

解题切莫忽视自变量的取值范围

建立二次函数模型求最值时,很多同学极易受"当x=-b/2a时,二次函数y=ax2+bx+c有最值(4ac-b2)/(4a)"的结论影响,而不认真分析自变量x的取值范围,导致出错.下面通过两道例题,谈谈自变量的取值范围在求函数最值时的作用,希望对同学们有所帮助.     

从一道习题出发组织的一次课外活动

高中代数上册课本复习参考题一中有这样一道习题:“写出二次函数y=ax~2 bx c(a>0)的单调区间,以及在每一个单调区间上,函数是增函数还是减函数。”这道题的解法并不困难,同学们先画出函数y=ax~2 bx c(a>0)的图象,结合图象直观地写出:在区间(-∞,-b/2a)上,y是减函数;在(-b/2a, ∞)上,y是增函数。     

实系数一元三次方程实根的一个判别法

1一元三次方程根的判别法的内容及证明定理一元三次方程f(x)=ax~3+bx~2+cx+d=0(其中a≠0),导函数f′(x)=3ax~2+2bx+c的判别式为△=4b~2-12ac,定义f(x)=ax~3+bx~2+cx+d=0的判别式为△′=(b~2-4ac)(c~2-4bd)-ad(27ad-2bc).则(1)当△≤0,或△>0且△′<0时,f(x)=     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

二次函数解析式的确定

根据已知条件确定二次函数的解析式是教学中的重点,解题时,灵活性大,综合性强,也是教学中的难点。它不仅要求学生能熟练掌握二次函数的各种表达式、图象特点、性质、二次函数与二次方程之间的关系,而且要能熟练地解方程或方程组。加强这方面的教学,可以提高学生灵活解题的能力,分析问题和综合解题能力。确定二次函数y=ax~2+bx+c常用到下面的知识: (1)二次函数的图象是抛物线,其顶点坐标是(-b/(2a),4ac-b~2/(4a));对称轴方程x=-b/(2a);当a>0时,图象开口向上,函数有最小值     

用二次函数的性质证明不等式

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质可从二次函数的图像中由二次项系数a、判别式△、函数y三者之间的内在联系而得到: (1)若a>0且△=b2-4ac≤0.则y=ax2+bx+c≥0; (2)若a<0且△=b2-4ac≤0,则y=ax2+bx+c≤0. 应用上述性质(1)、(2)去证明一元二次不     

一道2005年全国联赛试题的别解

2005年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题为: 设正数a、b、c、x、y、z满cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数f(x,y,z)=(x2)/(1 x) (y2)/(1 y) (z2)/(1 z)的最小值.     

试谈根的判别式的应用

一元二次方程ax~2+bx+c=0(a、b、c∈R,a≠0)的根的判别式Δ=b~2-4ac有着极为广泛的应用,应用它解决某些问题,可起到化繁为简、化难为易的作用,本文举例说明根的判别式在解题方面的应用。 1 求值例1 求使A=(x~2-2x+4)/(x~2-3x+3)为整数的一切实数x。(1983年苏州市中学生数学竞赛题) 解A=(x~2-2x+4)/(x~2-3x+3)=1+(x+1)/(x~2-3x+3) 令a=(x+1)/(x~2-3x+3),     

巧用抛物线对称轴解题

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-b/2a,它在求函数值、比较函数值的大小、求抛物线的解析式中有着重要的作用,如果在解题中善于利用它,可以起到事半功倍的作用,下面我们一起欣赏一下:     

二次函数的极值

极值指极大值或极小值 ,也称为最大值或最小值 .二次函数一般式y=ax2 +bx +c(a≠ 0 )的极值有极大值或极小值 .当a >0时 ,二次函数的图象开口向上 (如图① ) ,图象上有最低点C ,即为抛物线的顶点 ,顶点坐标 ( -b2a,4ac-b24a ) ,函数y有极小值 ,即y =4ac-b24a ;当a <0时 ,二次函数的图象开口向下 (如图② ) ,图象上有最高点F ,即为抛物线的顶点 ,顶点坐标为 ( -b2a,4ac-b24a ) ,函数y有最大值 ,即y =4ac-b24a .二次函数的极值与a ,b ,c的值有关 .极值的大小就是抛物线顶点的纵坐标的值 .若给出二次函数的顶点式 :y=a(x-h) 2 +k,抛物线的顶点…     

注意严密准确的数学语言

“不是正数则必定是负数。”“绝对值总归是正的。”“x~2总大于零。”“求函数定义域时要根号内为正数。”“方程ax~2+bx+c=0有实根,则判别式△≥0。”“要使一元二次不等式ax~2+bx+c>0对于任何实数x恒成立,则判别式△<0。“a的零次幂为1”“R=R~+∪R~-”其中R表示实数集合,而R~+与R~-分别表示正数集合与负数集合。     

利用判别式求函数值域的探讨

利用一元二次方程的判别式求某些函数值域和极值的方法,由于求解过程中采用了某些变形等缘故,往往使函数值的范围发生变化,这就导致此法的不可靠性。本文想就这个问题作一些讨论。 (一) 若函数y=f(x)由下面隐函数形式给出: a(y)·x~2+b(y)·x+c(y)=0 (1)此时可把方程(1)看作x的二次方程。因为x应取实数值,也即方程(1)应有实数根,所以其判别式△=[b(y)]~2-4·a(y)·C(y)≥0 (2)解不等式(2)所得到的y值范围(我们用集合M来表示)有可能是函数y=f(x)的值域。但M是否为函数y=f(x)的值域还应分别不同情况加以讨论: 1.若对于任意的y∈M,有a(y)(?)0,由一元二次方程根的判别式可知,方程(1)有实根与(2)是互为充要的条件,所以y=f(x)的值域为M。     

用三角法求 y=(ax+b)~1/2±(cx+d)~1/2型函数的值域

一、关于,*而不兀.+杯舀了万型函数的值域ax+吞二犷sin22.cx+J二犷eos4a注意到y>o,就可得到以sinZa消去x,就可得到以sec“a(或tg“a)为白变量,以y为函数的三角函数式,从而直接求出原函数的值域。 (2)当g<0时,令一y=夕‘.cx+J二夕Zsee4aax+b“夕佗tg4a设设消去x,cosZ。)为自变量,以g为函数的三角函数式,而直接求出原函数的值域。(或从求函数,二万二万+丫反二厄的值域。3x+5二犷sin4ax一2=犷eos月a(o<。‘李) 乙消去x,仿(l)就可求得夕‘的范.围,从而求出原函数的值域。 2.如果a。<0,应分g)()和夕‘0两种情况,仿照l中的(z)、(2)分别求出夕〕(…     

复系数一元二次方程的根的判别

实系数一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的根的情况可以通过判别式△=b~2-4ac的符号来确定: 当△>0时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程有两个相等的实数根; 当△<0时,方程有两个共轭虚根。 进一步,如果方程的系数可以是虚数,那么根的判别式还能不能用?如不能用,应该怎样判别?