上期课外练习解答

高一年级1.设 ｆ(ｔ) =ｔ3 +2 0 0 3ｔ,易证 ｆ(ｔ)在Ｒ上是奇函数且递增函数 ,由题意可知 :ｆ(ｘ - 1) =- 1,　ｆ(ｙ - 1) =1.即　ｆ(ｘ - 1) =-ｆ( ｙ - 1) =ｆ( 1-ｙ) .∴　ｘ - 1=1-ｙ ,故ｘ +ｙ =2 .2 .由条件知 :ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ,ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 中必有一个不大于 1,一个不小于 1.不妨设　 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ≤ 1,　 ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 ≥ 1.∵　α ,β∈ ( 0 ,π2 ) ,又ｙ=ｓｉｎｘ在 ( 0 ,π2 )上递增 .∴　ｓｉｎα≤ｃｏｓβ且ｓｉｎβ≥ｃｏｓα .∴　ｓｉｎα≤ｓｉｎ( π2 - β)且ｓｉｎβ≥ｓ…     

一类三角恒等式的“特值验证法”

命题　若 ｆ(ｘ) =Ａｓｉｎｘ Ｂｃｏｓｘ满足ｆ(ｘ1) =ｆ(ｘ2 ) =0 ,且ｘ1-ｘ2 ≠ｋπ (ｋ∈Ｚ) ,则ｆ(ｘ) ≡ 0 .证　∵ Ａｓｉｎｘ1 Ｂｃｏｓｘ1=0Ａｓｉｎｘ2 Ｂｃｏｓｘ2 =0 (1 )而Ｄ =ｓｉｎｘ1　ｃｏｓｘ1ｓｉｎｘ2 　ｃｏｓｘ2=ｓｉｎｘ1ｃｏｓｘ2 -ｃｏｓｘ1ｓｉｎｘ2 =ｓｉｎ(ｘ1-ｘ2 )≠ 0 (∵ｘ1-ｘ2 ≠ｋπ ,ｋ∈Ｚ) ,故关于Ａ ,Ｂ的齐次线性方程组 (1 )只有零解Ａ =Ｂ =0 ,则ｆ(ｘ) ≡ 0 .据此命题可知 :对于某些三角恒等式证明题 ,若能转化为ｓｉｎｘ ,ｃｏｓｘ的一次齐次式ｆ(ｘ) =Ａｓｉｎｘ Ｂｃｏｓｘ ,只需取特殊值…     

约分时应注意公因式的取值范围

许多同学碰到等式或不等式两边有公因式时 ,不管公因式的取值范围如何就马上约去 ,从而造成解题失误 .请看下面例子 .例 1( 1990年高考试题 )方程ｓｉｎ2ｘ =ｓｉｎｘ在区间 ( 0 ,2π)内的解的个数是 (　　 )(Ａ) 1.　 (Ｂ) 2 .　 (Ｃ) 3.　 (Ｄ) 4 .误解 :原方程可化为　　　　 2ｓｉｎｘｃｏｓｘ =ｓｉｎｘ ( 1)两边约去ｓｉｎｘ ,得 2ｃｏｓｘ =1,即ｃｏｓｘ =12 ,∵ｘ∈( 0 ,2π) ,∴ｘ =π3或5π3,故应选 (Ｂ) .辨析　∵ｓｉｎｘ =0在 ( 0 ,2π)内有解ｘ =π ,∴等式 ( 1)两边约去了公因式ｓｉｎｘ ,就导致失去解ｘ =π .此题应选 (Ｃ)…     

综合题新编选登

题 2 6　已知 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘｃｏｓｘ - 3ｃｏｓ2 ｘ + 32 ,ｘ∈ [0 ,π],当方程 ｆ(ｘ) =ｍ有两个不相等的实根时 ,1)求ｍ的取值范围 ;2 )求方程的两实根之和 .解　 1) ｆ(ｘ) =12 ｓｉｎ2ｘ - 3·1+ｃｏｓ2ｘ2 + 32=ｓｉｎ(2ｘ - π3) .又∵ｘ∈ [0 ,π],　∴ - π3≤ 2ｘ - π3≤5π3.图 1　题 2 6图在同一坐标系中 ,作出函数 ｙ =ｓｉｎｕ(- π3≤ｕ≤5π3)的图象和直线 ｙ =ｍ的图象 .易见 ,两图象有两个公共点时 ,ｍ的取值范围为(- 32 ,1)∪ (- 1,- 32 ) ,又由于ｕ =2ｘ - π3是ｘ与ｕ的一一对应 ,故上述范围即为所求 .2 ) [方法 1…     

一道三角题的三种解法

题目　方程 3ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =ｍ在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解 ,求实数ｍ的范围 .图 1　解法 1图解法 1　 (数形结合思想 )原方程可变为ｓｉｎ(ｘ π6) =ｍ2 .设 ｙ1=ｓｉｎ(ｘ π6) ,ｘ∈ ( 0 ,π) ,ｙ2 =ｍ2 .在同一直角坐标系中作出其图象 (如图 ) .原方程在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解等价于两函数的图象有两个交点 .则有 12 <ｍ2 <1,∴ 1<ｍ <2 .解法 2　 (函数思想 )设ｃｏｓｘ =ｔ,∵ｘ∈ ( 0 ,π) ,∴ｔ =ｃｏｓｘ∈ ( - 1,1) ,ｓｉｎｘ =1-ｃｏｓ2 ｘ =1-ｔ2 .原方程变为 3· 1-ｔ2 ｔ=ｍ .∴ 3( 1-ｔ2 ) =ｍ -…     

两道代数题的几何解法

文 [1]日本高考题 :设θ∈ [0 ,π2 ],ｃｏｓ2 θ 2ｍｓｉｎθ - 2ｍ - 2 <0恒成立 ,求ｍ的取值范围 .原解答摘录如下 :解　原不等式等价于2 (1-ｍ) (1-ｓｉｎθ) <(1-ｓｉｎθ) 2 2 .令ｘ =1-ｓｉｎθ ,则 0≤ｘ≤ 1且2 (1-ｍ)ｘ <ｘ2 2 .1)若ｘ =0 ,不等式对任何ｍ总成立 .2 )若 0 <ｘ≤ 1,则2 (1-ｍ) <ｘ 2ｘ记 ｆ(ｘ) (1)由ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ 1ｘ ≥ 2 1=3知 ,当ｘ =1时 ,[ｆ(ｘ) ]ｍｉｎ=3,于是不等式 (1)对 0 <ｘ≤ 1恒成立当且仅当2 (1-ｍ) <[ｆ(ｘ) ]ｍｉｎ=3,即ｍ >- 12 .图 1　抛物线综合 1) ,2 )知ｍ的取值范围是 (- 12 , ∞…     

两个重要极限，函数的连续性

两个重要极限选择题1　当ｘ→ 0时 ,函数 ｆ(ｘ) =ｃｏｓｘｘ ·ｓｉｎｘ的极限是(　　 )(Ａ) 0 .　　　　　　 (Ｂ) 1.(Ｃ) ∞ . (Ｄ)不存在 .2　当ｘ→ ∞时 ,ｆ(ｘ) =ｘ·ｓｉｎ 3ｘ的极限是 (　　 )(Ａ) 1. (Ｂ) 0 .(Ｃ) 3. (Ｄ)不存在 .3　当ｘ→π时 ,ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘｘ -πｃｏｓｘ的极限是 (　　 )(Ａ) 1. (Ｂ) - 1.(Ｃ) 0 . (Ｄ)不存在 .4　当ｘ→ 0时 ,ｆ(ｘ) =(1 ｓｉｎ2ｘ)1ｘ的极限是(　　 )(Ａ)不存在 .　　　　(Ｂ) 1.(Ｃ)ｅ. (Ｄ)ｅ2 .5　当ｘ→ 0时 ,ｆ(ｘ) =(1- 2ｘ) - 1ｘ的极限是 (　　 )(Ａ)不存在 .　　　　 (Ｂ)…     

由f[g(x)]求f(x)的思考

在中学数学中复合函数是一种很常见的函数 .各种资料、杂志上对它的研究很多 ,但其中由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域和求ｆ(ｘ)的问题在各种资料中常常写法不一 ,存在着疑问 ,给教学带来了困惑 ,值得商榷 .第一个问题 :由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域 .问题 1　已知ｆ(1 -ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ2 ｘ,求ｆ(ｘ)的定义域 .对这类问题各种教学参考书的处理一般都是 :令 1 -ｓｉｎｘ =ｔ得ｓｉｎｘ=1 -ｔ,ｓｉｎ2 ｘ=(1 -ｔ) 2 =1 -ｃｏｓ2 ｘ即ｃｏｓ2 ｘ =2ｔ-ｔ2 ,所以ｆ(ｔ) =2ｔ-ｔ2 ,又因为 -1 ≤ｓｉｎｘ=1 -ｔ≤ 1所以 0≤ｔ≤ 2 ,所以ｆ(ｘ)…     

数学问题解答

20 0 1年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 331　解方程 :8ｘ3- 6ｘ 1 =0(山东省新泰一中九九级 1 0班南区学生　田茂江　 2 71 2 0 0 )解 :将方程变形为 :12 =3ｘ - 4ｘ3ｓｉｎ( π6 2ｋπ) =3ｘ - 4ｘ3 ①由三倍角公式得ｓｉｎ( π6 2ｋπ) =3ｓｉｎ( π1 8 2ｋπ3)- 4ｓｉｎ3( π1 8 2ｋπ3)②由①②得ｘ =ｓｉｎ( π1 8 2ｋπ3)即ｘ1 =ｓｉｎ π1 8,ｘ2 =ｓｉｎ1 3π1 8,ｘ3=ｓｉｎ2 5π1 8又∵三次方程最多有三个根 ,∴以上即为原方程的全部根1 332　函数ｆ(ｘ) ,ｘ∈ [0 , ∞ ) ,ｆ(ｘ)不恒等于0 ,对任意ｘ ,ｙ∈ [0 , …     

三角问题常见错解剖析

思维的严密性和深刻性是良好思维品质的基本特征 ,也是高考对学生思维能力的基本要求 .三角函数一单元中由于缺乏思维的严密性和深刻性而使问题错解的例子比比皆是 .本文拟举以下几种错解情形 ,并对此进行剖析、纠正 ,目的是引起同学们深入思考 ,周密考虑 ,以纠正和预防三角解题中的类似错误 .1　忽视三角函数的定义域而致错例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ +ｓｉｎ3ｘｃｏｓｘ +ｃｏｓ3ｘ的最小正周期 .错解 :∵ ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ +ｓｉｎ3ｘｃｏｓｘ +ｃｏｓ3ｘ=2ｓｉｎ2ｘｃｏｓｘ2ｃｏｓ2ｘｃｏｓｘ=ｔｇ2ｘ ,∴周期Ｔ =π2 .剖析　注意…     

高一数学同步测试题

三角函数的图象与性质　　选择题1　若α为第一象限角 ,那么ｓｉｎ2α ,ｃｏｓ2α ,ｓｉｎ α2 ,ｃｏｓ α2 中必定取正值的有 (　　 )(Ａ) 0个 .　 (Ｂ) 1个 .　 (Ｃ) 2个 .　 (Ｄ) 3个 .2　已知1 ｓｉｎｘｃｏｓｘ =- 12 ,则 ｃｏｓｘｓｉｎｘ - 1的值是 (　　 )(Ａ) 12 .(Ｂ) - 12 .　 (Ｃ) 2 .(Ｄ) - 2 .3　已知ｓｉｎαｃｏｓα =18且 π4 <α <π2 ,则ｃｏｓα -ｓｉｎα的值等于 (　　 )(Ａ) 32 .(Ｂ) 34.(Ｃ) - 32 .(Ｄ)± 32 .4　下列函数中 ,在 (0 ,π2 )上为增函数 ,且以π为周期的奇函数是 (　　 )(Ａ) ｙ =ｓｉｎｘ .(Ｂ) ｙ =…     

一个反三角恒等式的应用

在反三角函数中,有一个重要的恒等式:ａｒｃｓｉｎｘ ａｒｃｃｏｓｘ=π2,其中ｘ∈[-1,1].本文例举这一恒等式的应用.1　求值例1　(1996年全国高考题)若0<α<π2,则ａｒｃｓｉｎ[ｃｏｓ(π2 α)] ａｒｃｃｏｓ[ｓｉｎ(π α)]等于(　　)(Ａ)π2.　　　　　　(Ｂ)-π2.(Ｃ)π2-2α.　　　　(Ｄ)-π2-2α.解法1　原式=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) ａｒｃｃｏｓ(-ｓｉｎα)=π2.故选(Ａ).解法2　原式=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) π2-ａｒｃｓｉｎ[ｓｉｎ(π α)]=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) π2-ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα)=π2.故选(Ａ).2　解反三角不等…     

综合题新编选登

题 1　已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象的一条对称轴为直线ｘ =1 ,若将函数 ｙ =ｆ(ｘ)图象向下平移 3个单位 ,再向右平移ｂ个单位后得到ｙ =ｓｉｎｘ的图象 .1 )求满足条件的所有的ｂ值及ｆ(ｘ)的解析式 ;2 )设ｚ =ｆ(ｘ 1 ) - 3ｘ ｉｓｉｎｘ ,ｗ =3ｚ2 1ｚ2 在复平面ｕ Ｏ ｖ上对应点为Ｐ ,求动点Ｐ的轨迹 .解　∵ ｙ =ｓｉｎｘ 向左平移ｂ个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 向上平移 3个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 3.1 )∵ｘ =1为其对称轴 ,而其对称轴的一般形式为ｘ ｂ =ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ,∴ｘ=1应是此方程的解 ,故ｂ =ｋπ π2 - 1 (ｋ…     

反三角函数和三角方程

选择题1　下列各等式成立的是 (　　 )(Ａ)ａｒｃｓｉｎ π3=32 .(Ｂ)ｃｏｓ(ａｒｃｃｏｓ π3) =π3.(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｔｇ 3) =3.(Ｄ)ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｓ12 ) =12 .2　下列命题不正确的是 (　　 )(Ａ)函数 ｙ =ａｒｃｃｏｓｘ - π2 是奇函数 .(Ｂ)当ｘ∈ ( 22 ,1)时 ,ａｒｃｓｉｎｘ >ａｒｃｃｏｓｘ .(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｃｏｓ0 ) =0 .(Ｄ)当ｘ∈ ( -∞ ,0 )时 ,ａｒｃｃｔｇｘ >ａｒｃｔｇｘ .3　若 π4 <α <5π4 ,则ａｒｃｓｉｎ[22 (ｓｉｎα ｃｏｓα) ]的值为(　　 )(Ａ) π4 -α .　　 (Ｂ)α - π4 .(Ｃ)α - 3π4 . (Ｄ) 3π4 -…     

讨论a^x=x根的另一途径

文 [1 ]就方程ａｘ =ｘ根的分布情形作了讨论 ,本文把方程ａｘ =ｘ变形为ａ=ｘ1 ｘ(ｘ>0 ) ,通过函数ｆ(ｘ) =ｘ1ｘ 性质的讨论也可得出方程ａｘ=ｘ根的分布规律 .函数ｆ(ｘ) =ｘ1ｘ(ｘ>0 )有如下性质 :( 1 )当 0 <ｘ<ｅ时 ,ｆ(ｘ)递增 ;当ｘ>ｅ时ｆ(ｘ)递减 .( 2 )在ｘ =ｅ处ｆ(ｘ)取最大值ｅ1ｅ.( 3)ｌｉｍｘ ∞ｆ(ｘ) =1 ,ｌｉｍｘ 0 ｆ(ｘ) =0 ,证　 ( 1 )因为ｆ′(ｘ) =ｘ1ｘ1 -ｌｎｘｘ2 ,显然0 <ｘ <ｅ时 ,ｆ′(ｘ) >0 ,ｆ′(ｘ) >ｅ时 ,ｆ′(ｘ) <0 .所以当 0 <ｘ <ｅ时 ,ｆ(ｘ)递增 ,ｘ>ｅ时 ,ｆ(ｘ)递减 .( 2 )据 ( 1 )的结…     

方程思想在解三角问题中的运用

我在学习的过程中 ,发现一些三角函数问题可以利用方程的思想来解决 ,避免了由于公式不熟或其它原因造成的错误 .以下举例说明 .例 1　已知 2ｓｉｎ2 ｘ -ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎｘｃｏｓｘ - 6ｓｉｎｘ +3ｃｏｓｘ =0 ,求解 2ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎ2ｘ1+ｔａｎｘ 的值 .解　观察已知条件 ,可把等式看作关于ｃｏｓｘ的一个方程 :-ｃｏｓ2 ｘ + (ｓｉｎｘ + 3)ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ(ｓｉｎｘ - 3) =0 ,即 (-ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ) (ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3) =0 .∵ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3≠ 0 ,∴ -ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ =0 ,得ｔａｎｘ =12 .又由　…     

由三角函数图象求解析式的方法及误解剖析

给出三角函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的图象一部分 ,确定其解析式是同学们感到很头痛的一类题目 ,特别是ω和 φ的确定 ,稍一疏忽就会出错 .例　已知函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 ,ω >0 ,|φ|<π)的图象如图 1所示 ,试确定该函数的解析式图 1　例题图误解 1　∵ ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 )的值域为区间[-Ａ ,Ａ] ,由图象表明 -2≤ｙ≤ 2 ,∴Ａ =2 ,即函数ｙ =2ｓｉｎ(ωｘ φ) .∵函数图象过点Ｐ( -7π12 ,0 )和Ｑ( 0 ,1) ,∴ｓｉｎ( -7π12 ω φ) =0 ,ｓｉｎφ =12 .∵ |φ|<π ,ｓｉｎφ =12 ,∴φ =π6或 φ =5π6.当 …     

数学问题解答

20 0 3年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 1　求大于 1的整数ｋ,使ｆ(ｘ) =ｓｉｎｋｘ·ｓｉｎｋｘ+ｃｏｓｋｘ·ｃｏｓｋｘ-ｃｏｓｋ2ｘ为常值函数 .(湖北省襄樊市一中　王必廷　 441 0 0 0 )解　取ｘ=0 ,得ｆ(0 ) =0 ,故ｆ(ｘ) =0取ｘ =π/ｋ ,则ｓｉｎπ·ｓｉｎｋ πｋ +ｃｏｓπ·ｃｏｓｋ πｋ -ｃｏｓｋ2πｋ =0所以 -ｃｏｓｋ πｋ =ｃｏｓｋ2πｋ所以ｋ为奇数 ,且 -ｃｏｓ πｋ =ｃｏｓ2πｋ所以ｃｏｓ2πｋ =ｃｏｓπ - πｋ所以π- πｋ =2ｎπ±2πｋ所以 1ｋ =2ｎ - 1或3ｋ =1 - 2ｎ　　ｎ∈ｚ所以ｋ=1或 3经检验知…     

解题中的定义域意识

定义域、对应法则和值域是构成函数的三个基本要素 .其中定义域是首要“构件” ,是处理函数问题的前提条件 .因此 ,在解有关函数问题时 ,要优先考虑定义域 ,并注意发挥定义域在解题中的简化与监控作用 .1 .定义域优先意识考虑函数问题 ,往往需要分析多方面的情况 ,但首先考虑定义域则是最基本的一点 .例 1　判断下列函数的奇偶性 :( 1 )ｆ(ｘ) =ｘ2 - 1 + 1 -ｘ2 ;( 2 )ｆ(ｘ) =1 +ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ.解　 ( 1 )由 ｘ2 - 1≥ 01 -ｘ2 ≥ 0 　得　ｘ =± 1 ,即函数定义域为 { 1 ,- 1 },∴　ｆ(ｘ) =0 ,即原函数既是奇…     

构造法分析一高考函数题的单调性

20 0 0年高考 (理工农医类 )第 19题第Ⅱ问 :“设函数ｆ(ｘ) =ｘ2 1-ａｘ ,其中ａ >0 ,求ａ的取值范围 ,使函数ｆ(ｘ)在 [0 , ∞ )上是单调函数 .”1　转化为等价问题处理若令ｘ =ｔｇθ ,θ∈ (-π2 ,π2 ) ,则高考题等价于 :设函数ｇ(θ) =(1-ａｓｉｎθ)ｃｏｓθ ,其中ａ>0 ,求ａ的取值范围 ,使函数ｇ(θ)在 [0 ,π2 )上是单调函数 .下面用构造法比较直观地给出等价问题的分析 :ｇ(θ) =(-ａ)·(ｓｉｎθ -1ａ)ｃｏｓθ =(-ａ)·ｋ(θ) ,其中ｋ(θ) =(ｓｉｎθ -1ａ)ｃｏｓθ ,ａ >0 ,θ∈[0 ,π2 ) .构造两点Ｍ (0 ,1ａ) ,Ｎ (ｃｏｓ…