一道综合题的解法探讨

<正>题目(2015·宁波)如图1,在平面直角坐标系中,点M是第一象限内一点,过M的直线分别交x轴,y轴的正半轴于A,B两点,且M是AB的中点.以OM为直径的☉P分别交x轴,y轴于点C,D两点,交直线AB于点E(位于点M右下方),连结DE交OM于点K.(1)若点M的坐标为(3,4).     

正方形中的一个结论及其应用

<正>1.基本图形结论如图1,在正方形ABCD中,E、G、F、H分别为边AB、BC、CD、AD上的一点,若(1)EF=GH;(2)GH⊥EF,垂足为I,则由其中(1)■(2),也可以由(2)■(1).下证(1)■(2).证明如图2,过B作BM∥GH,交AD于点M,交EF于点K;过点C作CN∥EF,交AB于点N,交BM于点P.因为MH∥BG,     

经过三角形顶点的直线的一个性质与推论

<正>性质如图1,O是△ABC的外心,经过A点的直线交直线BC于点D (O,B,C不在直线AD上),P是直线AD上任意一点(A,P不重合),以PA为直径的圆分别与AB,AC的另一个交点为E,F,PM∥AO交EF于点M.则BD/CD=EM/FM.证明延长PM交以PA为直径的圆于点Q,连接QE,QF.过O点作OG⊥AB于G,     

一道中考题的评析与反思

题目(衢州市2004年中考压轴题)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(m,0),其中m>0,以OB,OC为直径的圆分别交AB于点E,交AC于点F,连结EF.(1)求证:△AFE∽△ABC.(2)是否存在m的值,使得△AFE的等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.(3)观察当点C在x轴上移动时,点F移动变化的情况,试求点C1(3,0)移动到点C2(33,0)时,点F移动的行程.解(1)证明:易证AO是两圆内的公切线,∴AO2=AE·AB=AF·AC,∴AEAF=ACAB,又∠FAE=∠BAC∴△AFE∽△ABC.(2)∵△AFE∽△ABC.∴AFAB=AEAC=FE…     

一道中考压轴题的探究

笔者有幸参加了2006年宁波市中考数学试卷的批卷及评析工作,对试卷中的第26题感触颇深,现把自已对该题的分析、探索、反思、感悟撰文如下,供同行参考.题目:已知⊙O过点D(4,3),点H与点D关于y轴对称,过H作⊙O的切线交y轴于点A(如图1).(1)求⊙O的半径;(2)求sin∠HAO的值;(3)如图2,设⊙O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点(与点P不重合),连结并延长DE、DF交⊙O于点B、C,直线BC交y轴于点G,若△DEF是以EF为底的等腰三角形,试探索sin∠CGO的大小怎样变化?请说明理由.图1图2一、试题的背景特色本题以直角坐标系为载体,融几何、…     

一道2005年全国高中数学联赛试题的根源探析

1问题的提出过抛物线y=x2上一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交x轴于D,交y轴于B.点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足EAEC=λ1;点F在线段BC上,满足FBCF=λ2,且λ1 λ2=1,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.2问题的解决解抛物线在点A处的切线斜率为y′=2x|x=     

一道中考题的演变与拓展

<正>(2011年乐山)如图1,直线y=6-x交x轴、4y轴于A、B两点,P为反比例函数y=x的图像上位于直线下方的一点,过点P作x轴垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,交AB于点F,则AF·BE=.     

有心圆锥曲线的一个共线点性质

本文给出椭圆、双曲线的一个共线点性质.先约定:若椭圆、双曲线的两条弦分别与该圆锥曲线的一对共轭直径平行,则称这两条弦是一对共轭弦.引理:若过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线与直线l:Ax+By+C=0交于点P(P≠B),则P分有向线段AB的比λ=AAxx12++BByy21++CC.定理1:△ABC内接于椭圆,P为椭圆上异于A、B、C的任意一点,过P作△ABC三边的共轭弦分别交AB、BC、CA于D、E、F,则D、E、F三点证共明线:设.椭圆b2x2+a2y2=a2b2,当AB、BC、CA都不与x轴、y轴垂直时,设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),C(acosγ,bsinγ),P(acosθ,bsin…     

对数学问题1720的研究性学习

<数学通报>(文[1])2008年2期问题1720为: △ABC中,以BC为轴(长轴或短轴均可)作一椭圆交AB于E,交AC于点F.设M、N分别是点E、F关于直线BC的对称点,EN交FM于点D,求证:AD⊥BC.     

费尔马问题在圆锥曲线中的拓广

对费尔马问题有一组有趣的等比关系式. 性质1 如图1,OX轴上方是圆x2+y2=a2的上半部分,OX轴下方是正方形ABCD,边长等于圆的直径2a.在半圆上任取一点P(端点A、B除外),连结PC、PD分别交AB于点E、F.则|AF|·|BE|=|EF|2.     

一道竟赛题的思考

第十五届"希望杯"全国数学邀请赛(高二)第十六题:已知点A(3,1),点M在直线x-y=0上,点N在x轴上,求△AMN周长的最小值.解如图1,求作点A分别关于直线x-y=0和x轴的对称点E(1,3)和F(3,-1),连接EF分别交直线x-y=0和x轴于M和N,则△AMN周     

一道训练学生发散思维的试题

在一次学校月考中,笔者命制了一道试题如下如图,⊙M与x轴交于A、D两点,与y轴正半轴交于B点,C是⊙M上一点,且A(-2,0),B(0,4),AB=BC.(1)求圆心M的坐标;(2)求四边形ABCD的面积;(3)过C点作弦CF交BD于E点,当BC=BE时,求CF的长.图1图2笔者在阅卷和考后试卷评讲过程中,发现学生有许多新     

两个锐角三角形外心性质的别证与拓展

<正>1性质呈现^([1])(1)如图1,O是锐角△ABC的外心,∠BAC是锐角,AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF、FD、DE分别交AO、BO、CO于点D′、E′、F′,则1/OD-1/OD′=1/OE-1/OE′=1/OF-1/OF′.(2)如图2,O是锐角△ABC的外心,AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F,记∠ADC=α,∠BEA=β,∠CFB=γ,则BCcosα+ACcosβ+ABcosγ=0.     

数学问题解答

2012年6月号问题解答(解答由问题提供人给出)2066点E、F分别是△ABC的边AC、AB上的点,BE和CF交于点D,AD和EF交于点G,过点D作BC的平行线分别交AB、BG、CG和AC于点H、K、N和M.试证:KN=1/2HM.(四川成都金牛区西林巷18号华鑫园A601宿晓阳610031)     

圆锥曲线一个有趣的关系式

性质1 如图1,Ox轴上方是椭圆x2/a2+y2+b2=1(a＞b＞0)的上半部分,Ox轴下方是矩形ABCD,其中矩形的长AB等于椭圆的长轴长、矩形的宽等于椭圆的短轴长.在椭圆上任取一点P(端点A、B除外),连结PC、PD分别交AB于点E、F,则AE2+BF2＜AB2.……     

一组平行线三种不同视角下的证明

<正>如图1,2,直线AB交双曲线y=k/x(k>0)x于A,B两点(A,B可能在同一支上,也可能分别在两支上),交x轴,y轴于C,D两点,过点A作AE⊥x轴于点E,AF⊥y轴于点F;过点B作BG⊥x轴于点G,AH⊥y轴于点H.AE与BH相交于点M,则AB∥EH∥FG.(k>0或k<0结论都成立,方便起见,此处仅给出k>0时的图形.)如何来证明这一组直线平行?问题来自于双曲线,"问渠那得清如许,为有源头活水来",因此就从反上例函数图像的性质以及直线和反比例函数的图像的位置关系来展开证明.     

等腰梯形底上一点的性质

<正>性质1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E是BC上一点,若直线AE与☉ECD的另一个交点为F,则AB²=BE·EC+EF·AE.证明连结DF并延长交BC于点G,显然∠AEB=∠GDC,因为四边形ABCD是等腰梯形,所以∠ABE=∠GCD,于是△ABE∽△GCD,     

一个平几命题的推广

命题1 设p为△ABC内点,过P作直线DE∥BC,交AB于D、AC于E;作FG∥CA ,交BC于F,AB于G 、HK∥AB,交CA于H,BC于K,则有此命题及其关联的图形被改编成数十道题目出现于国内外赛题,若P为平面任一点呢?把线段比改为有向线段比,仍然成立。命题2 设P为△ABC所在平面内任一点,过P作直线DE∥BC,交直线AB于D,CA于E;作FC∥CA,交直线BC于F,AB于G;作     

联想探路——对一道中考试题的解析

题目(2011年北京中考题)在ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.(1)在图1中证明:CE=CF;(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连结DB、DG(如图     

图证三角等式二例

图证三角等式,直观具体,深刻地揭示了数形间的联系,兹举两例,以示一斑。例1 设α、β为锐角,α>β,tga=2tgβ,求证:sin(α β)=3sin(α-β) 证明构造△ABC,AD⊥BC,D、E三等分BC,设∠BAD=β,∠CAL=a。满足题设要求。连结AE,则△ABE为一等腰三角形,且∠CAE=α-β。如图,作BC⊥AC,EF⊥AC则 sin(α β)=BG/AB=BG/AE,sin(α-β)=EF/AE, 由BG=3EF →sin(α β)=3sin(α-β)。例2 求证:1/sin12°=1/sin24° 1/sin48° sin96°证明构造Rt△ABC,使∠A=12°,作AB的垂直平分线交AC于D,连结BD,作BD的垂直平分线交AC于E,连BE,作BE的垂直平分线交AC的延长线于F,连BF,设BC=1,则