排序法解数学竞赛题

排序法解数学竞赛题罗方红（福建省周宁县一中）在解一些涉及多个元素、较难入手的数学竞赛题时，如元素之间的地位是对称的，可考虑利用实数的有序性，将题中出现的多个元素按一定规则进行排列并与一个实数列相对应，这样增加限制条件，有利于发现规律，寻找解题途径．这...     

运用联想构造法解竞赛题

解答数学竞赛题需要独特的思维方式和创新思维能力.否则,面对数学竞赛题时,就会一筹莫展,望题兴叹.近几年来,全国初中数学竞赛题不断凸显联想的构造的解题方法.下面列举几例,供同学们参考.     

利用三角代换法解竞赛题

在鹪有关竞赛问题时．常引进三角函数．利用三角函数的变换和性质进行求鹪．是一种很有效的解题方法．对思路的显明，难点的突破，典型实用．同时也是一种技巧性很强的鹪题方法．     

利用构造法巧解竞赛题

许多专业杂志都对此题的解法进行了研究，同时也提供了一些精彩的解法，但其中一些解法值得商榷：如文[1]、文[2]．本文将通过构造法，利用三角形的有关知识给予说明，同时给出一个简洁的证明．     

利用构造法巧解竞赛题

2005年全国高中数学联赛数学联合竞赛加试题第二大题:设正数a,b,c,x,y,z满足cy bz= z;az cx=b;bx ay=c.求函数f(x,y,z)=(x~2)/(1 x) (y~2)/(1 y) (z~2)/(1 z)的最小值.许多专业杂志都对此题的解法进行了研究,同时也提供了一些精彩的解法,但其中一     

利用向量法巧解竞赛题

向量是高中教材的新增内容 .由于向量具有几何和代数的双重属性 ,以向量为工具 ,改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系 ,使几何问题彻底代数化了 ,使数形结合思想体现得更深刻、更完善 .本文试图以向量为工具 ,来探究一些竞赛试题的新解法 .1　 代数试题例 1　 ( 2 0 0 3年全国联赛试题 )设32 ≤ x≤ 5,证明不等式2 x + 1 + 2 x - 3+ 1 5- 3x <2 1 9.证明　设　 v=( 1 ,1 ,1 ,1 ) ,u=( x + 1 ,x + 1 ,2 x - 3,1 5- 3x ) ,由 u.v≤ | u| .| v| ,得2 x + 1 + 2 x - 3+ 1 5- 3x≤( x + 1 ) + ( x + 1 ) + ( 2…     

利用三角代换法解竞赛题

在解决有关的竞赛问题时,常借助于题目显现的某些结构特征,引入三角代换,将所给问题转化为含有角的问题,然后运用三角函数的变换和性质进行求解．三角代换法是一种实用有效的解题方法,同时具有技巧性强的特征．     

例谈构造法解竞赛题

“构造法”是最富活力的数学转化方法之一 .恰当地运用这一方法解题 ,能收到以简驭繁、化难为易、事半功倍之效 ,且有助于发展创造性思维品质和探索创新能力 .本文以各类竞赛题为例 ,对常用的构造法予以说明 .一构造方程例 1　若ａｂ≠ 1,且有 5ａ2 + 2 0 0 1ａ + 9=0及 9ｂ2 + 2 0 0 1ｂ + 5 =0 ,则 ａｂ的值是 (　　 ) .　 (Ａ) 95 (Ｂ) 59(Ｃ) -2 0 0 15 (Ｄ) -52 0 0 1(2 0 0 1年全国初中数学联赛题 )分析　抓住题设两等式的结构特征 ,对其中一等式稍加变形 ,即可利用方程根的定义构造一个一元二次方程 ,再由韦达定理迅速获解 .解　∵　…     

一道竞赛题的又一解法

题目　已知当ｘ∈ [0 ,1]时 ,不等式ｘ2 ｃｏｓθ -ｘ( 1-ｘ) ( 1-ｘ2 )ｓｉｎθ >0恒成立 ,试求θ的取值范围 .这是 1999年高中联赛一试中的第三题 ,属于带有参数的不等式在某区间上恒成立的问题 .参考答案给出一构造性的解法 ,但湖北赛区未发现一人按此法解答 .下面给出一种更自然 ,让学生容易上手的解法 .图 1　例题图解　将ｘ2 ｃｏｓθ -ｘ( 1-ｘ) ( 1-ｘ) 2 ｓｉｎθ >0整理得( 1 ｓｉｎθ ｃｏｓθ)ｘ2 ( -1-2ｓｉｎθ)ｘ ｓｉｎθ >0 .设ｆ (ｘ) =( 1 ｓｉｎθ ｃｏｓθ)ｘ2 ( -1-2ｓｉｎθ)ｘ ｓｉｎθ .∵原不等式在ｘ∈ […     

一道竞赛题的不等式法巧解

第三届全国“希望杯”数学邀请赛高一组第二试有这样一道赛题:已知“、声为锐角,且吟十蝗Sln一P COS一P一1,求证:。 刀一要 乙分析:要证。 刀一要 乙,即要eosa~sin刀 又‘:a渭为锐角.亦即eosZa=sin,(或sinZa~eosZ刀)①②证明1…黯 S‘·’”)ZcQS’“ 瑞 。oS’”)25‘nZ“由①     

用补形法解立体几何竞赛题

在去年十月份举行的全国高中数学联赛中有这样一道题: 例1 三棱锥S—ABC中,侧棱SA,SB,SC两两互相垂直,M为△ABC的重心,D为AB中点,作与SC平行的直线DP,证明: (1)DP与SM相交;(1993年高中联赛题) (2)设DP与SM的交点为D＇,则D＇为三棱锥S—ABC的外接球球心。     

另解竞赛题

看了本刊2010年1月上P31《从一道智慧窗的巧解说起》,本刊7月下P29《一道竞赛题的另解》及P40《也谈一道竞赛题的解法》,感到多位作者热情关注此类赛题,各出奇招,巧妙解答,真是百花齐放,满目玲珑.本人也提供另一种解法,想让百花丛中增添一朵鲜花.     

另解竞赛题

看了本刊2010年1月上P31《从一道智慧窗的巧解说起》,本刊7月下P29《一道竞赛题的另解》及P40《也谈一道竞赛题的解法》,感到多位作者热情关注此类赛题,各出奇招,巧妙解答,真是百花齐放,满目玲珑.本人也提供另一种解法,想让百花丛中增添一朵鲜花.     

构造法解一类数学竞赛题例谈

请看下面问题的解法. 问题:设c是直角三角形斜边的长,另两边的长是a和b.求证a+b≤(2c)~(1/2) .等式什么时候成立?(加拿大第一届中学生数学竞赛第3题)     

三解一道竞赛题

题目已知α为锐角,求证：1/sinα＋3√3/cosα≥8.     

构造二次函数解竞赛题

有些非函数问题,直接求解或解答困难或难以入手.但若依据题设条件中与二次函数特征间的相互联系,巧妙构造二次函数,然后应用二次函数的知识可使问题得以迅速的解答.下面以竞赛题为例,作以说明介绍,供参考. 一、与函数值联系例一已知,设a、b、c为实数,且4a-4b c>0,a 2b c<0,试比较b2与ac的大小. 分析已知的两个不等式酷似某一个二     

构造直角三角形解竞赛题

直角三角形是三角形家族中的“骄子”。现行教材将勾股定理与面积单成一章,也说明编者对它格外钟爱。在中外数学竞赛中直角三角形倍受青睐。正因为它有许多独特的性质,所以它又是解题的“利器”。本文着重谈谈构造直角三角形解竞赛题。     

巧取倒数解竞赛题

对于有些数学竞赛问题,若能根据题目的结构特点,采用先取倒数的办法进行处理,往往能收到良好的解题效果.     

用向量解竞赛题

向量是数学中的重要角色 ,是沟通数和形内在联系的有力工具 ,也有着深刻的物理背景 ,用它来解决复数问题既简捷又直观 ,不仅免去了冗长的运算 ,而且能直接抓住问题的本质 ,是数形结合不可多得的例证 ,对学生数学能力的培养及数学素养的养成都具有重要的作用 .例 1　 (1999年全国高中数学联赛加试第二题 )给定实数ａ ,ｂ ,ｃ ,已知复数ｚ1,ｚ2 ,ｚ3满足|ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1,ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .解　∵ |ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1,∴ |ｚ1ｚ2|=|ｚ2ｚ3|=|ｚ3ｚ1|=|- 1|.又ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1,∴ ｚ1ｚ2 ｚ2…     

巧用配对法解竞赛题

在解一些数学问题时,通过构造一个同类结构的式子（或图形）和原式（或图形）相互作用,使问题获得解决的方法称为“配对法”．配对的方式是多种多样的,有对称配对、互余配对、和差配对或整体配对等．用配对法解题的一般程序是：