柏拉图的多面体世界

正小五我们都知道,正多边形是由一些线段围出来的各边相等、内角也相等的平面图形。这样的图形我们见得很多,比如:如果问大家,这样的正多边形有多少个,大家一定都猜得出,有无穷个。正三角形、正四边形、正五边形……这当然很好理解。正多边形在三维世界里对应的东西是正多面体,也就是由正多边形组成的、各面各内角相等的立体图形。现在问题来了,大家觉得,这世界上,有多少个正多面体呢?     

正多面体的分类定理的一个初等证法

在平面几何中，把各边等长而且诸内角皆相等的多边形定义为正多边形，易见正多边形有一个对称中心，它和其各顶点距离相等，而且正多边形的另一特征性质乃是其顶点共圆的等边多边形，同样地，在立体几何中，把各个面皆为互相全等的正多边形，而且各棱的两面角皆相等的多面体定义为正多面体（regular polyhedron）。     

正多边形的密铺问题

<正>所谓密铺(也可以叫做平面图形的镶嵌),是用大小和形状都一样的一种或几种平面图不留空白也不重叠地拼接在一起,比如地板、蜂巢、马赛克、砖瓦的墙,都是生活中常见的密铺图案.以往在学校接触到的密铺,多是以习题的形式询问某正多边形或两种正多边形否可以平铺,没有系统的知识讲解和讨论分析.本文是我校的研究性课题之一,在老师的指导下,通过不定方程的讨论并结合"几何画板"软件,研究总结了一种正多边形和两种正多边形的平铺规     

用超级画板探究正多边形性质

1 引言 正多边形就是各条边相等,各个内角也相等的多边形,既是轴对称图形又是中心对称图形,是非常优美的几何图形.它有什么优美的几何性质呢?通过对一道几何习题进行探究论证,从另外一个角度对该问题进行推广得出了正多边形的重要几何性质.     

平面2N体问题的正多边形套周期解

研究了平面2N体问题存在正多边形套周期解的必要条件, 证明了在两个正多边形的顶点上的天体质量必须分别相等.     

一类定值问题在圆锥曲线中的推广

文[1]将一些特殊平面图形或空间几何体的定值性质的一系列研究([2]?[4])结论推广到三角形、四边形、正多边形、四面体的“重心圆(或重心球)”,即命题1[1]以三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)的重心为圆(球)心的任意圆周(球面)上的点到三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)各顶点的距离的平方和为定值.     

巧作近似正多边形

如何来作正多边形?许多人都能给出一些构思不同的答案．然而很少有人能作出或是想出作正多边形的通用的方法来．当然,这里所作的正多边形大部分都是近似的．作正多边形方法有很多,普遍的做法却没有几种．其中的一种是：算出正多边形内角或外角的度数,再用量角器进行测量,最后再根据角度画出图形．然而这种方法的局限性较大：其一,当所要作的正多形的边数较多时,做出的图形误     

利用圆外(内)角和圆周角的大小关系解题

<正>圆是平面几何中的基本图形,看似朴实无华,实则魅力无穷.我们把顶点在圆上,且两边都和圆相交的角叫圆周角;圆外角指顶点在圆外,且两边都和圆相交的角;圆内角指顶点在圆内的角.这三种角之间有大小关系:一条弧所对的圆内角>它所对的圆周角>它所对的圆外角.如图1,圆周角∠C>圆外角∠D,这是因为∠C=∠AEB>∠D;图2中同理有圆周角∠C<圆内角∠ADB.     

关于三角形垂心的探讨

命题三角形的垂心到各顶点的距离与对应顶点内角的余弦值的绝对值的比都相等,都等于三角形外接圆的直径. 设△ABC的垂心为H,外接圆的半径为R,记A、B、C为△ABC的三个内角,则     

用等距平行线把平面封闭图形涂成阴影的线段条数及总长度

1 用平行线把平面封闭图形涂成阴影 在画图时,通常要把平面上的封闭图形涂成阴影(比如求阴影部分的面积时):用一组间距相等的平行线(即这组平行线中每两条相邻平行线 图1 用平行线涂阴影间的距离都相等)涂满这个封闭图形,如图1     

与圆有关角的性质

<正>我们知道与圆有关的两种角即圆心角和圆周角,它们之间的数量关系是"同弧或等弧所对的圆周角都相等,都等于该弧所对圆心角的一半或者等于该弧度数的一半".其实还有一些与圆有关的角如图1中的∠P,它的顶点在圆外,并且两边都和圆相交,我们把这样的角叫圆外角;像图2中的∠APD、∠DPB、∠BPC和∠CPA等,顶点在圆内,并且两边都和圆相交的角称为圆内角,当圆内角的顶点     

数学天才——蜜蜂

蜂房是世界上最奇妙的一项建筑工程.蜜蜂建巢时,先由青壮年工蜂分泌片状的蜂蜡,后由另一些工蜂将这些蜂蜡整齐排列,形成竖直的六面柱体.六面隔墙的宽度完全相同,墙之间的角度正好120度,形成一个完美的几何图形.有趣的是正六边形是能铺满平面的三种正多边形之一. 下面简单地证明,铺满平面的正多边形只有三种.因为正n边形内角和为(n-2)180°,     

正棱柱、锥、台及正多面体上的最大点

我们知道,正多边形的最大点(到各顶点距离之和最大的点)在顶点;正多面体的最小点(到各顶点距离之和最小的点)在它的中心.基于同正多边形的类比和"最大点应离最小点尽可能远"这样的认识,我们可做出     

斜高相等的棱锥顶点在底面的射影问题

斜高相等的棱锥顶点在底面的射影问题,不少书刊作了不同的论述。但并没有得出正确的结论。例如。 1.《立体几何》课本第52页第18题(2):平面ABC外一点P到△ABC三边的距离相等,O是△ABC的内心。求证:OP⊥平面ABC。 2.《数学通报》1984年第一期《关于三棱锥顶点在底面上射影的位置》一文中给出:当三棱锥的三条侧高相等时,顶点在底面上的射影为底面的内心。 3.一九八五年上海市高考数学试卷理科及文科第二大题(4)小题:若一个棱锥的底面是边数大于3的凸多边形。它的顶点到底面各边的距离都相等。     

初三几何第二学期期中自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .圆和圆的位置关系有五种情况 :① ;②;③ ;④ ;⑤ .2 .设两圆的半径分别为Ｒ和ｒ(Ｒ >ｒ) ,圆心距为ｄ .①两圆外离 ｄ ;②两圆 ｄ =Ｒ +ｒ;③两圆相交 ｄ ;④两圆 ｄ =Ｒ -ｒ;⑤两圆内含 ｄ .3 .相交两圆的重要性质是 .4 .已知两圆外离 ,那么它们的公切线有条 ,两条外公切线的长 ,两条内公切线的长 .5.若两圆只有两条公切线 ,则两圆的位置关系是.6.的多边形叫正多边形 ,正多边形都是对称图形 .7.正ｎ边形的每个内角为 ,中心角为.8.任何正多边形都有一个圆和一个圆 ,这两个圆是圆 ,这个圆的…     

第四章 多面体和旋转体

1 棱柱、棱锥、棱台一、选择题 1.下列命题中正确的有( )。 (1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥 (2)侧棱与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥 (3)侧棱都相等,底面是正多边形的棱锥是正棱锥 (4)侧棱都相等,侧面与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥 (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个 2.设M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体}则这些集合     

一类有趣的几何题及其解法

在近几年来的数学竞赛中,经常可以见到已知某一多边形的各个内角都相等的一类几 120°,何题,它们的解法大体是一致的,就是根据各内角相等添加辅助线,使其成为一个特殊的几何图形(如正三角形、正方形、矩形等),以便利用这些特殊的图形的性质,使问题顺利地得到解决,下面举数例予以说明。例1 (1988年上海市初二数学竞赛题)一个六边形的六个内角都是120°,连续四边的长依次是1、3、3、2,求此六边形的周长。解如图1,AB、BC、CD、DE的长分别是1、3、3、2,双向延长AF、ED、BC得△GHI。∵六边形ABCDEF的每一内角都是120°。∴这个六边形的每个外角都是60°。∴△AGB、△FHE、△CDI都是正三角形,从而△GHI也是正三角形。设EF=x,AF=y,由CH=HI=GI,得     

坐标平面内等腰三角形顶点的确定方法

我们知道:(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;(2)线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等;(3)圆上的点到圆心的距离都等于半径R(定值).如果把这些知识交叉糅合,结合圆规操作,就可以很好地在坐标平面内确定出等腰三角形的顶点位置.下面就此结合两例予以说明.     

談談正棱柱、正棱錐、正棱台直观图的合理画法

画好正棱柱、正棱锥、正棱台的直观图,关键之一是怎样画好在水平平面的底面。而画好这个底面正多边形,又取决于底面上的轴测轴Ox,Oy的选择。一般地,在底上选取Ox轴,Oy轴的方法有三种: (1) 以底面正多边形的一边或与这边平行的对角线所在的直线为Ox轴,而以这边上的垂线为Oy轴(图1中的<2>,<5>)。 (2) 以一边上的垂线为Ox轴,而以这边或与这边平行的对角线所在的直线为Oy轴(图1中的<1>,<4>,<6>)。 (3) 正方形还可以以两条对角线所在的直线分别为Ox轴和Oy轴(图1中的<3>)。选定了轴测轴后,由正多边形的各顶点向Ox轴,Oy轴引垂线,得到一些横线段和纵线段,然后按照直观图的画法原则,就可以得到这些正多边形在水平平面内的绘象(图2)。对应于上面的底的绘象,所画出的正棱柱、正棱     

一道课本习题与费马点

<正>一、问题提出:苏科版实验教科书九年级上册第一章第39页《图形与证明二·复习题》第14题如下(图1):三个城市A、B、C分别位于一个等边三角形ABC的三个顶点处,要在这三个城市之间铺设通信电缆,现设计了三种方案:(1)连接AB、BC;(2)连接BC,连接点A与BC的中点D;(3)找出到△ABC三个顶点距离相等的点