等腰三角形性质与判定的应用

1.复习提问师:前面我们研究了等腰三角形,请大家回顾,等腰三角形有哪些性质?生:等腰三角形的两条腰相等,两个底角相等,顶角的平分线、底边上的高、中线互相重合.师:判定一个三角形是等腰三角形的方法有哪些?生:有两条边相等或有两个角相等的三角形是等腰三角形.     

探究学习的有效铺垫

1 引言探究学习是学生学习数学的重要方式,它需要教师通过合适引导进行有效的铺垫.下面试通过几个教学片断的案例及分析说明如何对探究学习进行有效铺垫.2教学片断实录与点评2.1 等边三角形探究学习中的类比铺垫师:我们在研究等腰三角形时先研究了什么?生1:首先学习了等腰三角形的概念.师:然后接下来我们研究什么?生2:同一三角形中等边对等角,等角对等边师:等腰三角形还有哪些重要性质?生3:等腰三角形的三线合一,师:是哪三线合一?生3:等腰三角形的角平分线、中线、高线.师:是等腰三角形中的任意三线(前面不带条件)都可以吗?     

等腰三角形的综合研究(上)

<正>(一)基础知识提要有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰,第三边叫做底边.底边对的角叫做顶角,其余两个角叫做底角.一、等腰三角形的基本定理定理1等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称为,三角形中等边对等角,等角对等边).定理2等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线、高线和垂直平分线.即等腰三角形的内心、重心、垂心和外心在一条直线上,     

旋转与四点共圆

<正>贵刊2017年8月下,刊发了《例谈旋转角的确定及其在解题中的应用》,我读后收获良多,进一步思考:由旋转角相等带来等角的条件证明四点共圆,借助圆可便捷地导角,更灵活地解几何综合题.现与同学们分享如下.1旋转共顶点相似三角形与等角在初二学习全等三角形时,我们遇到这样的题目:共顶点的等边三角形可证得全等三角形(如图1);将条件弱化,共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形(即相似的两个等腰三角形),仍可得全等三角形(如图2);将条件再一般化,共顶点的相似三角形,仍可得相似三角形(如图3).至此,三个图可化归为图3.在初三学习旋转后,从动态角度看,     

等顶角、共顶角顶点的等腰三角形

<正>三角形是平面几何中的基本图形之一,等腰三角形又是特殊的三角形,如果两个等腰三角形顶角相等且共顶点,又能产生什么样的"火花"呢?问题一已知:C是线段AB所在平面内任意一点,分别以AC、BC为边,在AB同侧作等边三角形ACE,等边三角形BCD.如图1,当点C在线段AB上移动时,AD=BE是否总成立?证明你的结论.证明∵△ACE是等边三角形,∴AC=CE,∠ACE=60°.∵△BCD是等边三角形,∴BC=CD,∠BCD=60°.∴∠ACE=∠BCD.     

正三角形综合练习(上)

<正>三条边长相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.正三角形每个内角都等于60°.正三角形是特殊的等腰三角形,它有三条对称轴.它的内心、外心、重心、垂心是同一点,叫做正三角形的中心.正三角形的性质极为丰富,因此在几何练习题中经常出现.注意:等腰三角形中有一个内角为60°,这个三角形是正三角形.例1 P为正三角形ABC内任一点,则P点到正三角形三边距离的和等于定值     

聚焦竞赛中的等边三角形

等边(正)三角形以其独有的三边相等,三个内角都等于60°的性质而受到各类竞赛的青睐,除此之外,等边三角形还具有一些其它的特殊性质:三线合一将等边三角形分成含有30°角的直角三角形;重心、外心、内心、垂心四心合一;等边三角形内任一点到三边的距离之和等于重心到三边的距离之和也等     

浅谈初中数学观点下的“相等”与“不等”关系

新人教版八年级上《数学》教科书第十二章《轴对称》有一个"实验与探究"材料《三角形中边与角之间的不等关系》,它是在学习了三角形中"等边对等角"和"等角对等边"性质后提出来的反思:如果三角形的边(角)不相等,那么它们所对的角(边)的大小关系怎样?大边所对的角也大吗?     

等边三角形性质在证几何题中的应用

等边三角形具有下述基本性质:1.三边相等,2.三内角都等于60’,3.三条高(也是中线)相等且等于江。;4.面积为它了。2。(。表边 艺4长)。 这些性质在平面几何、立体几何的求解与证明中经常用到。当证明角相等,线段相等时,灵活运用它,容易打开思路,便于找出规律。在解决极值间题时,使用旋转的方法很有效。然而旋转60。,实质就是作一个辅助等边三角形,使思考过程由繁变简,由难变易,效果很好,在有关曲边形计算问题中,若把复杂图形视作某些基本图形的组合体,等边三角形常常是重要的奠基石,分解组合后,问题便由隐变显了,思路豁然开朗。因此,等边三角…     

关于两条直线平行的证明

两条直线平行的问题”是几何的基本内容 ,在初中几何中占有重要的地位 .有关两条直线平行的证明有许多灵活的方法 .下面就证明两条直线平行的方法作一归纳 ,供大家学习 .一、证明两条直线平行常用的方法1.利用平行线的判定定理来证明 .2 .利用比例式来证明 .3.利用三角形 (或梯形 )的中位线定理来证明 .除以上方法外有时也利用平行四边形的定义来证明 ,或者利用三角形的等积关系等来证明 .二、应用例子例 1　已知 :如图 ,⊙Ｏ是等腰三角形ＡＢＣ的外接圆 ,过顶点Ａ作⊙Ｏ的切线ＡＥ .求证 :ＡＥ∥ＢＣ .证明 :∵ＡＥ是⊙Ｏ的切线 ,∴∠ＥＡＣ =∠Ｂ .又∵△ＡＢＣ是等腰三角形 ,∴∠Ｂ =∠Ｃ .∴∠ＥＡＣ =∠Ｃ .∴ＡＥ∥ＢＣ .例 2　如图 ,Ｃ是线段ＡＢ上一点 ,分别以ＡＣ ,ＣＢ为一边作等边三角形ＡＣＤ和等边三角形ＣＢＥ ,ＡＥ交ＣＤ于Ｍ ,ＢＤ交ＣＥ于Ｎ .求证 :ＭＮ∥ＡＢ .分析 :要证明两直线平行 ,结合已知条件△ＡＣＤ和△ＣＢＥ是等边三角形 ,所以应该用平行线的判定定理来证明 .解 :∵△ＡＣＤ和△ＣＢＥ是等边三角形 ,∴ＡＣ =ＣＤ ,ＣＥ =ＣＢ .又　∠ＡＣＤ =∠ＥＣＢ =6 ...     

义务教育三年制初中几何第二册 第三章 “三角形”简介

三角形是最常见的一种几何图形,在生产和生活中到处可见。三角形又是一种最简单的多边形,是学习几何以及其他科学的基础。所以,这一章的内容是每个公民必须掌握的最基础的知识,在整个几何中占有重要位置。下面介绍一下这一章编写时的一些想法和做法。一、总体设想和安排 1.本章的内容和重点、难点本章的主要内容有:一般三角形的概念、性质;两类特殊三角形——等腰三角形、直角三角形的定义、判定、性质;全等三角形的定义、判定、性质。另外,利用全等三角形还证明了一些有关图形的性质,介绍了尺规作图的简单知识。在这些内容中,三角形的性质,包括等腰三角形和直角三角形的性质是这一章的重点,它们在理论上和实践中都占有重要地位,要求学生切实掌握。全等     

等腰三角形性质的MM方式的教学设计

1.教材分析 :“等腰三角形性质”是平面几何中的一个重要内容 .九年义务教育人教版教材将其放在全等三角形、基本作图与对称之间 ,是作为三角形全等的一个应用 ,同时也是研究轴对称图形的一个原型 .从本质上讲 ,等腰三角形的性质是其关于顶角平分线的对称性 .“等腰三角形性质”学习后 ,将使题目的难度有明显的增加 .因此这一部分是一个重要的承前启后的内容 .2 .设计思想与方法指导思想是 :体现 MM方式 ,力图使数学技术教育和数学文化教育两个功能水乳交融 ,相得益彰 .设计方法是 :1挖掘等腰三角形性质所蕴含的数学思想 . 2沟通等腰三角形…     

九年级数学(北师大版)第一学期期中自测题

一、选择题(每小题2分,共20分)1.下列命题正确的是().A.等腰三角形的角平分线与高及中线互相重合B.等腰三角形只有两边相等C.等腰三角形底边上的中线上的任一点到两腰的距离相等D.有一个角为45°的等腰三角形是直角三角形2.等边三角形的高为2,则它的面积是().A.2B.4C.43D.4333.某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元.如果平均每月的增长率为x,则根据题意列出的方程应为().A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000D.200+200×3x=10004.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个…     

由等腰三角形性质探究等腰三角形的判定

<正>同学们,在几何的学习中,经常要学习一个图形的性质与判定.怎样区别一个图形的性质与判定呢?我们以平行线的性质与判定为例体会一下.平行线的主要性质有:(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.平行线的主要判定有:(1)同位角相等,两直线平行:(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行.平行线的性质与判定是不同的,从命题结构的角度看,若命题的条件是"两直线平行",     

图形轴对称变换中的解法探究

<正>1知识回顾初中几何所学内容,哪些基本图形具有轴对称的特征?线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、圆抛物线等,从轴对称的观点去重新审视这些图形,沿对称轴翻折后能够完全重合,从而有相等的边、相等的角.2典型例题分析例1在等腰直角△ABC中,     

关于线段相等问题的证明

平面几何中证明线段相等是我们经常遇见的问题之一 ,解决它的方法有很多 ,但归纳起来较为常见的方法主要有以下几种 :①在同一个三角形中利用等角对等边来证 .②在不同的三角形中利用全等三角形来证 .③利用角平分线的性质来证 .④利用线段的垂直平分线的性质来证 .⑤利用特殊四边形的性质来证 .⑥利用同圆或等圆中等弧 (弦心距 )对等弦来证 .⑦利用比例的性质来证 .⑧利用平行线等分线段定理及其推论来证 .⑨利用垂径定理及其推论来证 .⑩利用直角三角形斜边上的中线 ,或等腰三角形底边上的高和顶角的平分线的性质来证 .面对上述众多种方法 ,我们如何根据题目中所给的图文信息 ,选择恰当的方法来证两条线段相等呢 ?现举例给予说明 ,供读者参考 .例 1　如图 1,已知在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｄ是ＡＢ上一点 ,ＤＥ⊥ＢＣ ,Ｅ是垂足 ,ＥＤ的延长线交ＣＡ的延长线于点Ｆ .求证 :ＡＤ =ＡＦ .分析 :欲证ＡＤ =ＡＦ ,观察图形知ＡＤ ,ＡＦ是同一△ＡＤＦ的两边 ,即本题属于证同一三角形的两边相等的问题 ,故优先考虑利用“在同一三角形中 ,等角对等边”证之 ,从而把问题转化为证∠ＡＤＦ =∠Ｆ .因为从所给条件看 ...     

三角形全等的综合应用(二)

掌握了用三角形全等证明线段相等和角相等的知识以及添线构造全等三角形的基本方法后,我们将限于利用“全等三角形”、“等腰三角形”的有关定理,综合解证一些问题, 从中可以锻炼综合分析推理的能力.     

例谈等腰三角形的性质及其应用

定理1:等腰三角形的两个底角相等(简称"等边对等角").定理2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称"三线合一").     

关于两角相等问题的证明

在几何中 ,证明两角相等是我们经常遇见的问题之一 ,它所涉及的知识内容十分广泛 ,是平面几何中一项重要的基本技能 ,因而成为中考的一个热点问题 .解决此类问题的依据很多 ,本文拟给予归类说明 ,供读者参考 ,愿能对读者有所启迪 .一、利用三角形中“等边对等角”来证 .当所要证相等的两个角是一三角形中的角时 ,我们优先考虑的是能否利用“等边对等角”来证 .例 1　已知 :如图 1 ,在四边形ABCD中 ,AD =BC ,P ,M ,N分别为AB ,AC ,BD的中点 .求证 :∠PMN =∠PNM .分析 :欲证∠PMN =∠PNM ,观察图形 ,可以发现∠PMN和∠PNM都是△PMN的内角 ,因此 ,只要证出它们所对的边相等 ,即PN =PM ,然后利用“在同一三角形中 ,等边对等角”即可推出结论 .证明 :∵P ,M ,N分别为AB ,AC ,BD的中点 ,∴PN =12 AD ,　PM =12 BC .又∵AD =BC ,∴PN =PM .∴∠PMN =∠PNM .二、利用“全等三角形的对应角相等” ,或“相似三角形的对应角相等”来证 .当所要证相等的两个角分别是两个三角形的内角时 ,我们首先考虑的是能否...     

等腰三角形“三线合一”逆命题的证明及应用

等腰三角形的三线合一性质,学生都易掌握并能正确应用,但是围绕等腰三角形逆命题的证明及应用,学生就理解的不那么透彻.笔者认为,因为这种逆命题虽然不能作为定理用,但它在解题中非常常见.掌握了它,可以为我们解题增加一种重要思路.它有以下几种形式:①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.(线段垂直平分线的性质)②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.③一边上的中线与这边所对角的平分线