对一道调考题的解法探究

题目2009年武汉市二月调考数学试题第19题(理)已知椭圆P的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与P交于A、B两点,|AB|=2且∠AOB=π2·(1)求椭圆P的方程;(2)若M、N是椭圆P上两点,满足OM·ON=0,求|MN|的最小值.解法1(命题人给出的参考答案)(1)设直线l:x+3y=3与椭圆x2a2+by22=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2).由∠AOB=2πx1x2+y1y2=0.而x1=3(1-y1),x2=3(1-y2),代入上式得4y1y2-3(y1+y2)+3=0,①而|AB|=21+k12|y1-y2|=2|y1-y2|=2·不妨设y2>y1,则y2=y1+1,②由①②解得y1=0,y2=1,或y1=21,y2=23,所以A(23,12),B(-23,32)或A(3,0),B(0,1)·若A(23,12),B(-23,23)代入椭圆方程无解,故舍去;若A(3,0),B(0,1),则椭圆方程为x32+y2=1·(2)∵M、N是椭圆x32+y2=1上的点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r2sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ)·于是r12...     

对一道线段比值为定值联考题的探究

1.试题呈现(东北师大附中等六校2020届高三联考)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点(1,3/2),且离心率为1/2.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A、B,左焦点为F,过F的直线l与C交于M、N两点(M和N均不在坐标轴上),直线AM、AN分别与y轴交于点P、Q,直线BM、BN分别与y轴交于点R、S,求证:|RS|/|PQ|为定值,并求出该定值.     

圆的重要定理在椭圆上的推广

1　一道高考题启示2 0 0 3年高考北京试卷有如下题目 :如图 1 ,椭圆的长轴A1 A2 与x轴平行 ,短轴B1 B2 在 y轴上 ,中心为M( 0 ,r) (b>r >0 ) .图 1　椭圆1 )写出椭圆的方程 ,求椭圆的焦点坐标及离心率 ;2 )直线y =k1 x交椭圆于两点C(x1 ,y1 ) ,D(x2 ,y2 ) ( y2 >0 ) ;直线 y =k2 x交椭圆于两点G(x3,y3) ,H(x4,y4) ( y4>0 ) .求证 :k1 x1 x2x1 +x2=k2 x3x4x3+x4;3)对于 2 )中的C ,D ,G ,H ,设CH交x轴于点P ,GD交x轴于点Q .求证 :|OP| =|OQ| .(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形 )解　 1 )椭圆方程为 x2a2 + ( y -r) 2b2 =1 ,焦…     

一组有趣的圆锥曲线轨迹方程

文[1]的结论令人赏心悦目,颇有趣味,现将该文中条件“|OA|2 |OB|2=|OP|2”改成“1/|OA|2 1/|OB|2=1/|OP|2”与“|OP|2=|OA||OB|”之后,结论同样喜人.定理1设椭圆C1:Ax2 By2=1(0相似文献   

参数几何意义的选择题

1 直线l的参数方程为{x=-1+1/2t,y=2-3(1/2)/2t}。 M_0(-1,2)和M(x,y)分别为l上的定点和动点,则t的意义是 (A)M_0m,(B)MM_0,(C)|M_0M|。 2 设点M(4cosθ,3sinθ)是椭圆x~2/16+y~2/9=1在第一象限的点。∠MOX=a、且a、θ为锐角,则有     

射影几何背景下的2019年北京高考解析几何试题

<正>1试题呈现(2019年北京卷文科)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q.直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2.求证:直线l经过定点.     

新题征展(33)

A　题组新编1 .( 1 )已知平面上的点 P( - 2 ,- 2 )、Q( 0 ,- 1 ) ,若点 R( 2 ,m)使 | PR| | QR|最小 ,则 m =,| PR| | QR|的最小值是.( 2 )已知直线 l:x y =8,点 F1( - 4,0 )、F2 ( 4 ,0 ) ,在直线上取一点 M,过 M作以F1、F2 为焦点的椭圆 ,求长轴最短时该椭圆的方程 .( 3)抛物线 y2 =4 x上一个动点 P,抛物线的焦点为 F,又知定点 A( 3,1 ) ,则 | AP| | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是.( 4 )已知点 A( 3,2 ) ,F是双曲线 x2 - y23= 1的右焦点 ,P为双曲线上任意一点 ,则| PA| 12 | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是 …     

充分认识解析几何的一个图形

<正>在解析几何中有这样的一个图形:椭圆的左右顶点为A(-a,0)、B(a,0),直线MN与椭圆交于M (x_1,y_1)、N (x_2,y_2)两点,与x轴交于D(m,0)(|m|a)相交于点P(t,p),直线BM与直线x=t (|t|>a)相交于点Q (t,q),连接PB、BN,AN (如图1),以m>0,t>0来说明.     

大胆类比 谨慎求证

<正>在一次习题课中,我们做了一道解析几何习题,同学们大胆类比探索,热情很高,得出了一些结论,现展示如下:2原题已知椭圆C:x2/4+y2=1的左右顶4点分别是A1、A2,直线l:x=2(2)^(1/2)与x轴交于点D,点P是椭圆上的异于A1、A2的动点,直线A1P、A2P分别交l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|恒为定值.证明设E(2(2)(1/2)与x轴交于点D,点P是椭圆上的异于A1、A2的动点,直线A1P、A2P分别交l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|恒为定值.证明设E(2(2)^(1/2),e),     

一道高考试题解题错因分析

(2005上每高考理科第19题)如图,点A、B分别是椭圆x236+2y20=1长轴的左右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.易求得P32,5 32,M(2,0).对于求椭圆上的点到点M的距离d的最小值问题:生错解1:联想到课本上第46页的近地点问题,负迁移到d=|MB|=a-2=4生错解2:联想到短轴与长轴垂直,短轴的端点到原点的距离最小,负迁移到过M作椭圆长轴AB的垂线,交椭圆于C,D两点,d=|MC|=|MD|=4 103分析:1.从数学知识的角度上…     

关于圆锥曲线的一类轨迹

文[1]给出了圆锥曲线与等差数列的一个性质,文[2]给出了圆锥曲线与等比数列的一个性质,本文给出圆锥曲线的一类轨迹问题,其中|OA|,|OB|,|OP|构成以|OP|为斜边的直角三角形的三边长.图1定理1图定理1设椭圆C1:xa22 yb22=1(a>b>0),椭圆C2:mx22 ny22=1(m>n>0),过原点O引射线分别交C1,C2于A,B两点,P为射线上的一点,则|OA2| |OB|2=|OP|2的充要条件是P点的轨迹为C3:1x2a2 by22 mx221 yn22=1.证设直线AB的参数方程为:x=tcosθ,y=tsinθ,其中θ(0≤θ≤π)为直线AB的倾斜角,t为参数,|t|的几何意义为原点O到直线上相应的距离(下同).设A,B…     

新千年一道联赛题的多种解法与推广

20 0 1年全国高中数学联赛第 7题是 :椭圆 ρ=12 -ｃｏｓθ的短轴长等于 .笔者对其作深入的研究 ,得到了四种解法 ,现说明如下 ,供读者参考 .解法 1　将其化成标准式ρ(θ) =ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ.由此知原方程可化为 ρ =121 - 12 ｃｏｓθ.故有ｅｐ =12ｅ=12 ｃａａ2ｃ-ｃ =12ｃａ=12 ａ =23 ,ｃ=13 .从而ｂ2 =13 ,故短轴长 2ｂ =23 3 .图 1　解法 2用图解法 2　因为方程是以椭圆的左焦点Ｆ为极点 ,Ｆｘ为极轴推导出来的 ,如图 1 ,设 |Ａ1Ａ2 |为长轴 ,由已知方程和极径的几何意义知 :ａ -ｃ=|Ａ1Ｆ|=ρ(π) =12 -ｃｏｓπ=13 ,ｃ +ａ =|Ａ2 …     

从一道参数方程的习题的错解中得到的启示——直线上的定点问题

原题 已知直线l的参数方程为 ｛x=-1+√2/2 y=√2/2t(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ=sinθ/1-sinθ以极点为原点,极轴为z轴,正方向建立直角坐标系,点M(1,2),直线l与曲线C交于A、B两点. (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程; (2)线段MA,MB长度分别记为|MA |,|MB|,求｜MA|·|MB|的值.     

关于圆锥曲线与等比数列的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线与等差数列的一个性质,本文给出圆锥曲线与等比数列的一个性质.图1定理1图定理1设椭圆C1:xa22 yb22=1(a>b>0),双曲线C2:mx22-ny22=1(m>0,n>0),过原点O引射线分别交C1,C2于A,B两点,P为线段AB上的一点,则|OA|,|OP|,|OB|成等比数列的充要条件是P点的轨迹为C3:(ax22 yb22)(mx22-ny22)=1.证设直线AB的参数方程为:x=tcosθ,y=tsinθ,其中θ(0≤θ<π)为直线AB的倾斜角,t为参数,|t|的几何意义为原点O到直线上相应点的距离.设A,B,P三点的坐标分别为:A(t1cosθ,t1sinθ),B(t2cosθ,t2sinθ),P(tcosθ,tsinθ).因A点在…     

高中数学同步训练 第七章 直线

§1 直角坐标系·定比分点一、选择题 1.ABCD是一个四边形,顶点是A(-5,-1),B(15,-6),C(8,12),D(-2,7),P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点,则PR和QS的交点T的坐标是( ) (A)(5,4) (B)(4.5) (C)(4,3) (D)(3,4) 2.x~2 y~2—2axcosθ-2lysinθ-a~2sin~0=0在x轴上截得的弦长是( ) (A)2a (B)4|a| (C)2~2(1/2)|a| (D)2|a| 3.点P把线段P_1P_2分成P_1P与PP_2两线段的比λ=P_1P/PP_2,如果λ=-1那么( ) (A)P与P_1重合 (B)P与P_2重合 (C)P在线段P_1P_2之外 (D)P点不存在     

一道高三联考试题的探究与推广

湖北省部分重点中学2009届高三第一次联考数学试卷(理科)第10题:设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点为F,在x轴上F的右侧有一点A,以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点,则|FM|+|FN|/|FA|的值为……     

椭圆焦半径的性质

椭圆=1(a>b>0)或ρ=ep/(1-cosθ)(P为焦参数,(相似文献   

一道高考题的反思——用平面向量来研究二次曲线的切线与割线

它短轴长为2√2,相应于焦点F(c,0)(c＞0)的准线L与x轴相交于A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点.     

由圆生成三种圆锥曲线

众所周知 ,三种圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹 :当 0 1时为双曲线 ,有趣的是 ,在圆中 ,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线 ,有如下一个结论 .定理　给定圆O :x2 +y2 =r2 (r >0 ) ,A (a ,0 ) ,B (b ,0 ) (b≠0 ,b≠a)是x轴上的两个定点 ,P是圆O上的一个动点 ,Q是P在y轴上的射影 ,直线AP与BQ的交点为M ,则点M的轨迹 :( 1 )当 |a-b| =r时为抛物线 ;( 2 )当 |a -b| >r且b≠a2 -r22a 时为椭圆 ,当b =a…     

一个椭圆定值问题的研究

有这样一个问题: 若椭圆x2/a2+y2/b2=1上任一点M(但非短轴端点)与短轴两端点B'、B的连线交x轴于N和K,则ON·OK(O为原点)为定值. 若设N(xN,0),K(xk,0)则不难知道 ON·OK=xN·xk=a2.