一类圆台缺的体积

所谓圆台缺是指一个圆台与一个平面相截后所剩的立体图形,同时我们假定平面与圆台大圆相交一点.本文目的是在已知大圆半径 R、小圆半径 r、倾角(?)和斜角α的条件下,求圆台缺的体积.     

平面图形的等积变换

把紧密相连的圆环构成的圆盘以渐开线展开成等面积的直角三角形,得出了较为直观的由周长和半径表示的圆面积公式.更一般地可以得出:圆扇形由弧长和半径表示的面积公式,面积与其弧长的原函数关系;圆扇形与三角形之间、圆扇环形与梯形之间进行的等积变换,以及它们中弧长半径和边角间的对应关系,而对于曲边是变曲率的曲边扇形不具有这些关系和结论.     

编拟数学题容易忽视的问题举例

先看1987年高考填空题最后一题: 一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高。编题者给出的一种绕过求台体高的解法     

巧用极限思想解决小圆在大圆内侧运动问题

<正>在许多数学课外读物或者相关试题中,常见有一类关于小圆在大圆内侧做无滑动滚动问题,例如:已知大圆半径是小圆半径的4倍,小圆在大圆内侧做无滑动滚动,问:小圆从起点再回到出发点自转了几圈?相关答案已有人给出,但严格的证明却鲜有人涉及.要解决这个问题,我们不妨先思考下列问题.     

一道不规则图形面积问题的解法探究

<正>不规则图形的面积问题是初中数学中一类常见的题型,这种问题的常见解法是转化,即将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来解决,能很好地考查学生的分析问题和解决问题的能力,体现数形结合的思想,下面以一道题目为例,谈谈此类问题的解法.如图1,大圆的半径等于小圆的直径,且大圆的半径为4,则图中阴影部分的面积是____.方法一:割补法如图2,过大圆的圆心O     

降“奥”十八掌之声东击西

招式剖析 名称:声东击西 用途:主攻求面积看似条件不够的题目. 威力指数: 速记口诀:声东击西真是妙,打得难题呱呱叫! 例1 两个同样的直角梯形如图排列,你能求出阴影部分的面积吗?(单位:厘米) 知己知彼 要求——不规则的阴影部分的面积 已知——3个数据都与小梯形B相关 我知道—S梯形=(上底+下底)×高÷2 猜想——阴影部分与梯形B有什么关系?     

也谈“想一想”问题

九年义务教育教材《几何》第三册有一道“想一想”的问题：有一个半径为１０ｃｍ的大圆，另一个半径为２ｃｍ的小圆分别内切和外切滚动大圆一周，为什么内切小圆转动４周而外切小圆转动是６周．有文说，有些教师来信说想不通，叫大家作实验去．笔者拙想，有什么想不通呢？...     

看不见的"滑动"——轮子悖论探秘

1一个疑问将两个半径不等的圆A、圆B分别沿直线滚动一周,如图1、图2所示,可知CC′与DD′的长度应与圆A和圆B的周长分别相等,均等于两个圆的直径与圆周率的乘积.图1图2但是如果将圆A和圆B的圆心固定在一起(A),再使两圆(大圆、小圆)同时沿直线滚动一周,如图3,那么待大圆滚动一周后,小圆也恰好滚动了一周,此时两圆的周长同样分别为CC′和DD′.但是此时的DD′与CC′长度相等,也即圆A与圆B的周长相等!图3由上述两种推导过程可以得出两个完全相反的结论:(1)圆的周长取决于它的直径长度.(2)圆的周长与其直径长度无关.其实关于圆周长的计算…     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.已知:3(送申猴迎酉鸡)=4(迎酉鸡送申猴)2,试求:送申猴迎酉鸡.(吉林省公主岭市教育六号楼四单元(136100)李玉程)2.如图,小圆的直径是大圆的半径,设中间阴影部分为花瓣,其余阴影部分为花边.求证:S_(花瓣)=S_(花边).     

消失的“长度”——车轮悖论之我见

<正>1问题与初步分析2300多年前,古希腊哲学家亚里士多德在教科书《论力学》中提出了“车轮悖论”:在轮子上有两个同心圆,轮子滚动一周,从A点移动到B点,这时|AB|相当于大圆的周长．此时小圆也正好“转动”一周,并走过了长为|AB|的距离,这不是表明小圆的周长也是|AB|吗?     

数学问题解答

796.已知圆的外切梯形的两底分别等于常数m、n,试确定圆面积的极大值;当圆面积取得极大值时,梯形的两腰各长若干?     

截梯形和台体的公式

我在校办工厂劳动时,工人师傅问我,把梯形的铁板剪成面积相等的几份(每块一份,不能几块拚成一块),应如何画线?我推导出下面的公式一,由类比联想又推出公式二、三。一、设梯形的上、下底分别为a、b,高为h,作直线平行于梯形的底,把梯形分为两部分,上部分的面积为梯形面积的m/n。则上底与截线的距离。证明:如图1,延长梯形的两腰交点为P,设△PAD的高为x,则     

有学识的无知

"如果用小圆代表你们学到的知识,用大圆代表我学到的知识,那么大圆的面积是多一点,但两圆之外的空白都是我们的无知面.圆越大其圆周接触的无知面就越多."     

初三几何第二学期自测题

注 :本组题可作为复习几何第三册内容后的综合测练用 ,测练时间建议用 1 0 0分钟 .　　一、填空题 (每小题 2分 ,共 2 4分 )1 .已知sinα=25 (∠α是锐角 ) ,则cosα =,tanα = ,cotα =.2 .两个以点O为圆心的同心圆中 ,大圆的弦AB与小圆相切 ,如果AB的长为 1 2 ,大圆的半径为 1 0 ,那么小圆的半径为 .3 .在离旗杆 1 5米的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α ,如果测角仪高为 1 .4米 ,那么 ,旗杆的高为米 (用含α的三角比表示 ) .4.在⊙O中 ,弦AB所对的圆心角为 60°,⊙O的半径为 3cm ,则AB的长为 ,AB的弦心距为.5 .一个正六边形的边长…     

第二十九届IMO试题与解答

1.在同一平面上,有两个团心为O的同心圆,半径分别为r与R(,(R),尸是小圆上一个固定点,B是大国上个动点,B尸交大圆于另一点C,过尸作刀C的垂线交小圆于点A, (1)求S“月B“+BC“+CA忍所取值的集合: (幻求月B中点轨迹,(若尸月勺小目相切,则月二P). 解(1)如图1.廷长尸月交大圆分别于M、N,设材尸,“,B尸=二,尸N=口,尸C=y.,.i MN土BC,:.““+沪+二,+夕2二(ZR),.(l)设A尸=。,在Rt△刁尸C与Rt△月尸B中应用勾股定理得:月C:二m忿+少2,月B名=m“+x气一S=2川么+、“+y:+(二+y)“=2(。一v)“+2(x忍+y忍)+2二夕二:(。1+t,,+二“+夕2)一4。。+…     

(周長×周長×8)/100更接近πγ~2

数学通报(1958,12)刊载的“数学大革命”一文中介绍北京师大数学系同学整理的来自农民的求圆面积公式:周长×周长/12,给我们启示很大。它不仅简单,而且实用。经过研究,我们认为还可以这样表示: 周长×周长×8/100,     

统一性的联想与类比

一、三角形面积公式统一性三角形的面积公式:S=1/2ah．其中a是一边的长,称作底,h是这边上的高,简称高．三角形的另一个面积公式:S=1/2pr．其中p是三角形的周长,可视为“底”,是“周底”;r是三角形的内切圆的半径,可视为“高”．     

高中数学课程中的《球面几何》(续)

这是一个很有趣的问题.由于球面三角形的每条边长都是大圆的劣弧,都小于大圆周长的一半,因此,球面三角形的周长小于3/2个大圆周长,不能任意长.实际上,球面三角形的周长可以更小,其周长小于大圆周长.这个结论很重要,我们给出它的证明.证明如图10,设球面△ABC的三条边分别为a,b,c,球心为O,连结OA,OB,OC,那么O-ABC是一个三面角.在三面角O-ABC中,连结AB,BC,AC.由于球面三角形的边长与三面角的面角之间的对应关系,我们把球面三角形的边长问题转化为三面角的面角问题.因为∠AOB=π-(∠OAB ∠OBA),∠BOC=π-(∠OBC ∠OCB),∠COA=…     

过圆锥顶点的最大截面选择题

圆锥的母线长为5,按以下条件求过顶点的截面的最大面积. 1.底半径为3时 (A)12;B)10;(C)8;(D)6. 2.底半径为4时'A)25亿丁,'B,誓;(C)25,(D,6.".底半径为号"忿时(A)12多(B)4。底半径为2时丝.4了(C)附:本期"一望而解"揭底:     

对一道高考试题的变式与探究

2011年江西省高考数学试卷第10题:如图1,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一