例析平面向量最值问题的解决策略

<正>最值问题(或范围问题)是高中数学中的一类常见问题.处理最值问题的思路一般有三种:一是函数最值视角,二是代数不等式视角,三是几何不等式视角.处理以平面向量为背景的最值问题,这三种方法依然适用.本文通过2017年高考两道试题的一题多解,介绍高考中平面向量最值问题(或范围问题)的处理策略.题目1(2017年浙江省数学高考试题第     

“正“”误”例说类比思想的运用

类比是根据两个(或两类)对象之间具有(不具有)某些相同或相似的性质,而且其中一个(或一类)还具有(或不具有)另一性质,由此推出另一个(或另一类)对象也具有(或不具有)这一性质,类比法是研究数学问题的重要方法,也是掌握知识的好方法,正如玻利亚所言:"类比是     

不定式定值法的几点注记

1.等价无穷小代换问题在求0/0型不定式的极限过程中,有时为了方便运算,而进行等价无穷小代换,但当0/0型不定式的分子(或分母)是两个无穷小量相加减时,应如何代换?我们分4种情况来归纳这个问题.1.0/0型不定式的分子(或分母)是两个无穷小量a_1、a_2相加,并且当lim（a_1/a_2）≠-1时,可分别用各自的等价无穷小代换,特别是相加的两项中一项比另一项高阶时,可以删去高阶项(其结果都相当于把分子(或分母)作为整体进行了等价无穷小代换).     

关于两个一元二次方程有公根的问题解法及其应用

关于两个一元二次方程有公根的问题,很多刊物文章都有论述。尤其发表在本刊84年4月号的熊曾润文章,论述得较好,读后受益非浅。但需用到有关行列式的知识,对于初中学生,则无法让其弄懂。而这类题初中已经出现,现将我们在初中处理这类问题的作法,介绍如下,供初中教师及学生参考。一、关于两个方程仅有一个公共根的问题解这类问题步骤如下: 1.首先作差消去二次项,解出公共根表达式(或公根)。 2.把公根表达式(或公根)代入原方程的任一个,求出系数(或关系式)。     

对立统一帮你解题

矛盾的双方互相依赖、互相排斥 ,并在一定条件下向各自的对方转化 .用此规律统帅解题思想和解题方法 ,不仅能巧辟思路 ,而且有利于创新意识的发展 .一、正与反若问题的正面情况复杂 ,入手较难 ,或出现一些逻辑困境 .可从问题的反面去思考和探索 ,利用正、反面的相互转化求解 .例 1　一元二次方程 (ｋ + 1)ｘ2 -4ｘ +ｋ-2 =0至少有一个正根 ,试求ｋ的取值范围 .析与解　正面求解要分三种情况 :两根均为正 ;两根中一正一负 ;两根中一正一零 .求法较繁 ,运算量大 .可考虑反面情况 .若两根均为负 ,或一负一零 ,则应有Δ =(-4 ) 2 -4 (ｋ + 1) (…     

一题多解 妙探『中点弦』问题

一、“中点弦”问题 “中点弦”问题是指圆锥曲线上两点的中点(已知或待求)一类问题的统称,在平面解析几何中与“中点弦”有关的类型是典型且重要的.     

平面向量架桥梁

平面向量给我们提供了一种研究问题的有效方法. 一、基底法用基底法来解证问题(主要是平面几何问题),一般可分为三个步骤: 第一步:在所论平面图形中选取两条(或多条)不共线的线段分别表示向量a、b(或a、b、c等);     

关于大学生某些敏感性问题的调查与统计分析

(一) 为较真实地了解到大学生目前政治思想状况,我们采用随机化选答的方式就大学生 某些较敏感性问题作了调查和统计分析,并已将结果提供给有关领导. 人们在进行社会调查中经常会碰到一些敏感性或高度私人机密的问题。如“你高考 中作弊了吗!”“你拥护共产党吗!”等等·对这类问题,若直受询问被访者或采用匿 名答卷(被访者担心会从字迹中被辨认出来)的方式都很难于得到真实地回答.文献〔1〕 (2)介绍了随机化选答的方法来处理这类问题. 所谓“随机化选答”,就是对某一敏感性问题,向被访者提出两个问题.如调查政 治信仰,可向学生提如下两个问…     

谈恒成立问题的求解方法探讨

恒成立问题是指题设中含有恒成立条件 (如不等式、等式 )的问题 .由于此类问题具有“变”中有“不变”的特点 ,其题型涉及到高中数学中的多个分支 ,且容易与相关问题混淆而产生错误 ,因而成为近年来命题测试中的常见题型 .为了对恒成立问题的解题方法有全面认识 ,本文试对此类问题的求解策略作一提炼总结 .1　构建函数构建适当的函数 ,将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题 .1 1　构建一次函数众所周知 ,一次函数的图象是一条直线 .要使一次函数在某一区间内恒大于 (或小于 )零 ,只需一次函数在其区间的两个端点处恒大于 (或小…     

二阶非线性方程的两点边值问题

本文证明了二阶非线性方程的两点边值问题(Ⅰ)或(Ⅱ)至少有一个解.因而推广了文[1、2]的结果.本文首先得到修正问题的解的先验估计,并证明修正问题的解存在,及原问题的解存在.     

两类不同的轴对称问题

下面是两道常见于各类复习资料或高考试卷的题型: 1.设x∈R,函数 y=f(1-x)和y=f(1 x)的图象关于直线_成轴对称. 2.函数y=f(x)(x∈R)满足x(1-x)=f(1 x),则y=f(x)的图象关于直线_成轴对称. 这是两类不同的轴对称问题,很多同学混淆不清,常常认为两题答案相同,其实不然.为了彻底弄清这类问题,本文给出两个定理,以作说明.     

满足条件的移动时间问题

在数学中考题中,我们常常会碰到下列移动问题:即一个(或两个)点在线段上移动,当移动时间是多少时,使这两个动点之间的距离等于已知量,或使某两条线段相等,或使某两个三角形相似等等这样的问题.解决这类问题的基本方法     

关于行列式的若干应用

在二期课改教材中 ,引进了行列式的内容 ,众所周知对于三阶行列式的计算除了按某一行或某一列的代数余子式展开以外 ,还有对角线法则展开 ,而以下三个性质起到关键作用 :性质 1.把行列式的某一行 (或一列 )的所有元素同乘以某个数K ,等于用数K乘原行列式 .性质 2 .如果行列式某两行 (或两列 )的对应元素成比例 ,那么行列式的值等于零 .性质 3.把行列式一行 (或一列 )的所有元素同乘以一个数k ,加到另一行 (或另一列 )的对应元素上 ,所得行列式与原行列式相等 .本文将利用上述的性质 ,通过几个实例给出行列式在代数和几何中的一些应用 .一、…     

三角形中构造等腰三角形问题

<正>在三角形所在平面内画一条直线,使分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形.拿一张特殊等腰三角形纸片剪两刀,使剪成的三个三角形都是等腰三角形.近年来中考中,出现了上述两种情况的问题.这类问题看似是画图问题或操作问题,实质上仍是推理分析问题.解答它们,离不开等腰三角形的有关知识.现举例介绍如下:例1(2014年无锡市)已知△ABC的三条边长分别为3、4、6,在△ABC所在平面内     

平面图形交集的面积计算

在实践中,常常会碰到计算两个(或若干个)平面图形公共部分的面积问题.我们知道,一个平面图形可以看作为平面上点的集合,两个平面图形的公共部分也就是相应的两个平面点集的交集.求两个平面图形公共部分的面积,也就是求作为这两个图形交集的图形的面积.     

max[f(x),g(x)]、min[f(x),g(x)]型函数问题三则

所谓ｍａｘ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]或ｍｉｎ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]型函数 ,是指在ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的公共定义域的不同部分 ,取这两个 (或两个以上 )函数值最大的函数式 (或最小的函数式 )作解析式的函数 ,解这类函数有关的问题的最佳方法是数形结合 .本文例举几例说明求解策略 .例 1　已知ｆ(ｘ) =3 -ｘ,ｇ(ｘ) =( 2ｘ +5) 12 ,则ｙ =ｍｉｎ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]的最大值为.分析　本题属于非常规性问题中的信息迁移题 ,需要同学们在掌握基本初等函数的图像与性质的基础上 ,根据新定义新信息重新构造新函数 .图 1在同一坐标系内分别画出ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的图…     

利用定义巧添辅助线解几何题

为了证明的需要 ,在原来的图形上添画的线叫做辅助线 ,添辅助线是解决几何问题不可缺少的重要手段 .而利用定义巧添辅助线就是当几何问题中的条件或结论中出现直接和某一基本概念有关的性质 (如线段或角的和差倍分问题等 )时 ,就可以根据这些要领的定义添加辅助线 下面举例说明 1 要证明一条线段等于两条线段的和 ,可根据线段和的定义将这两条线段接起来 ,然后证明所得的线段和长的线段相等 ;也可以在长的线段上截取一条线段和短的两条线段中的一条相等 ,证明留下来的部分和另一条线段相等 (角的和差问题类似 ) 例 1　如图 1 .已知P是…     

相交线、平行线目标检测(二)

一、单项选择题(每小题4分,共20分) 1.在同一平面内,两条直线的位置关系是( ) (A)平行 (B)平行或相交 (C)相交 (D)平行或垂直 2.如图6-25,直线PG、MN被直线EF所截,则( )     

等差数列与等比数例

在高中数学竞赛中,关于等差数列与等比数列的问题常见的有两类,一是求数列的通项以及若干项之和,二是判断数列是不是等差数列或等比数列.处理这些问题时,要紧紧围绕公差(或公比)这些不变的量做文章.数列与不等式、方程、函数等知识的交汇题也是竞赛的热点,要注意加强数学知识的     

简单线性规划问题的图解法

在生产实践和商业往来中 ,经常遇到以下两类问题 :(1)怎样有效地利用一定的人力、物力资源去完成最大的任务 (最值问题 ) ;(2 )怎样进行合理安排 ,才以最少量的人力、物力资源去完成一定的任务 (合理匹配问题 ) ,这就是所谓线性规划问题 .一般的线性规划问题 ,要用专门的数学知识来解决 .简单的线性规划问题 ,可借助二元一次不等式的区域画图来解 .1　最值问题　诸如寻求最高产值、最大利润、最大能量、最低耗损等 ,这类问题的基本解题步骤是 :设出欲求变量ｘ ,ｙ ;依题意列出关于ｘ ,ｙ的二元一次不等式组 (或混合组 ) ,并画出不等式组的区…